Скелетон л 2
й» ы «Умная» м школа до мн «У 2 № ция ек Л Системы счисления Содержание (навигатор): • История систем счисления • Перевод чисел из одной СС в другую • Арифметические действия над двоичными числами • Шестнадцатеричная система счисления Рогальский Евгений Сергеевич
• Вавилонская шестидесятеричная (2 тысячи лет до н. э. ) - десятки Нет разницы в записи различных чисел! - единицы - 601, 602, 603, . . - число 32 - число 92 (60 + 30 + 2) - число 3632 (602 + 30 + 2)
• Римская система I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 XXXII = X+X+X+I+I = 32 CDXLIV = (D – C) + (L – X) + (V – I) = 444 MCMLXXIV = M + (M – C) + L (+ X + X) + (V – I) =1974
АЛФАВИТНЫЕ СИСТЕМЫ • Славянская • Ионийская (греческая) • Финикийская
Славянская система Древней Руси (до конца XVII века) 1 2 3 4 5 - А - аз - В - веди – Г - глаголь - Д - добро - Є - есть(**) 6 – S – зело (*) 7 8 9 – З – земля (**) – И – иже (**) - Ω - фита 10 20 30 40 50 60 70 80 90 – I – и (*) – К - какао – Л - люди – М - мыслете – N – наш (**) – - кси – О - он – П - покой – Ч - червь 100 - Р - рцы 200 - С - слово 300 - Т - твердь 400 - У - ук(**) 500 - Ф - ферт 600 - Х – хер 700 - ψ - пси(*) 800 - ω - омега(*) 900 - Ц - цы * - буквы, исключённые впоследствии из русского алфавита ** - буквы, у которых изменилось начертание ~ ~ AI = 11 BI = 12 ~ ~ ЛВ = 32 УМД = 444 ~ ~ #A = 1000 # В = 2000 ~ ΩI = 19 (девять над десять) 10 000 - «тьма» 100 000 - «легион» 1 000 - «леорд» 1050 - «колода»
Выполните следующие задания • Используя римскую СС, запишите числа 48, 1799; • Запишите числа от 15 до 25 в старой русской СС; • Запишите число 14 во всех СС, о которых сказано выше • Прочитайте это число в старой русской СС
(числа с целой и дробной частью) Проставляем разрядные единицы влево и вправо от запятой Пример 1 3 2 1 0 -1 -2 1101, 112 10 = х0=1 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 + 1 · 2 -1 + 1 · 2 -2 = 8 + 4 + 0 + 1/2 + 1/4 = 13, 7510 1 х-у = ху Правило перевода Чтобы перевести число из двоичной СС в десятичную нужно двоичное число представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами-цифрами и найти эту сумму.
(числа с целой и дробной частью) Пример 6 Перевести данное число, получив 4 знака после запятой. 96, 67510 2 1100000, 10102 0, 675 2 1, 350 2 96 48 2 0 48 24 2 0 24 12 2 0 12 6 2 0 6 3 2 0 2 1 1 , 0, 700 2 1, 400 2 0, 800 Правило перевода Чтобы перевести число, имеющее целую и дробную части из десятичной СС в двоичную СС, необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную часть
Сложение 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1 + 1 = 10 . 100101 + 10001 100101 + 10010 110111 110110 . . 110101 + 10101 1001010 . . 1011 + 11 1110 Точка указывает на то, что единица переходит в старший разряд. 1 + 1 = 11 Примечание. Числа в двоичной СС складываются как и в десятичной, начиная с младшего разряда, т. е. справа налево
Вычитание 0 -0=0 1 -0=1 1 -1=0 10 - 1 = 1 - . 101 10 . . . 100101 1011 11 11010. . . 10101 - 1110 . . . 100000 1101 10011 Точка указывает на то, что единица берётся в старшем разряде. 100 - 1 = 11 Примечание. Числа в двоичной СС вычитаются как и в десятичной, начиная с младшего разряда, т. е. справа налево
Умножение 0· 0=0 1· 0=0 0· 1=0 1· 1=1 101101 х 101. . + 101101 000000 101101 11100001 Примечание. Умножение многозначных чисел сводится к умножению на 0 и 1 и сложению.
Деление 0: 0=0 1: 0=0 0: 1=0 1: 1=1 -1110011 101 010 0 0 - 101 0011 1 - 101 10111 101 0 Примечание. Деление многозначных чисел сводится к умножению на 1 и вычитанию.
Арифметические операции в двоичной системе
Шестнадцатеричная система счисления • 16 -ая СС 1. Основание - 16 2. Алфавит - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F 3. Базис - 160, 161, 162, 163 и т. д. 4. Представление числа • 8 FA 16 = 8 · 162+ F · 161 + A · 160