Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций 3

Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций 3. 11. 2016

«Все науки настолько связаны между собою, что легче изучать их все сразу, нежели какую-либо одну из них в отдельности от всех прочих» . Рене Декарт

Методы решения систем уравнений: - подстановки; - алгебраического сложения; - введения новых переменных; - графический.

Алгоритм решения задачи с помощью системы уравнений: 1. Обозначить неизвестные элементы переменными; 2. Составить по условию задачи систему уравнений; 3. Определить метод решения системы уравнений; 4. Выбрать ответ, удовлетворяющий условию задачи.

Этапы решения задачи: • Первый этап. Составление математической модели. • Второй этап. Работа с составленной моделью. • Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Л. Н. Толстой «Арифметика» У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец? Iэтап. Обозначим х - число овец у первого мужика, у – у второго. х + у = 35 х–у=9 IIэтап. (решаем методом алгебраического сложения). IIIэтап. Ответ: 13 и 22. Рулева Т. Г.

Илья Ильф и Евгений Петров «Двенадцать стульев» Рулева Т. Г.

Задача. «Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей» . Сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил? Ну, а чтобы обеспечить единственность решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Теперь найдите решение. Рулева Т. Г.

Решение: а) Пусть взято x трехрублевок и y пятирублевок 3 x+5 y=50 5 и 7 10 и 4 15 и 1 б) а – осталось трехрублевок b – осталось пятирублевок 3 а+5 b=20 5 и 1 0 и 4 Получим: 5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10 трехрублевок и 4 пятирублевок взял отец Федор. Рулева Т. Г.

Задачи от Н. Носова Рулева Т. Г.

Задача № 1. «Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал каждый из них? » Решение: Iэтап. Пусть мальчик сорвал х ор. , а девочка у ор. х =2 у х + у=120 IIэтап. (решаем методом подстановки). IIIэтап. Ответ: мальчик сорвал 80 ор. , а девочка сорвала 40 ор.

Задача № 2. «В магазине было 8 пил, а топоров в три раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и три пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила? » Решение: Iэтап. Пусть топор стоит х руб. , а пила стоит у руб. 12 х +3 у=84 12 х +5 у=100 IIэтап. (решаем методом алгебраического сложения). IIIэтап. Ответ: топор стоит 5 руб. и пила стоит 8 руб.

А. П. Чехов «Репетитор» «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого сукна, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб. ? » 1 аршин ≈ 71 см Рулева Т. Г.

Решение: Iэтап. Пусть черного сукна приобрел купец – х м и синего сукна – у м. Так как синее сукно стоит 5 руб. за 1 м, а черное – 3 руб. за 1 м, то составим и решим систему уравнений: x + y = 138 5 x + 3 y = 540 IIэтап. x = 138 – y 5(138 – y) + 3 y = 540 690 – 5 y +3 y = 540 -2 y = -150 y = 75 x = 138 – 75 = 63. IIIэтап. Ответ: 63 (аршина) – синего и 75 (аршин) – черного сукна приобрел купец.

Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200 г сплава, содержащего 30% меди? Iэтап. Пусть первого сплава взяли х г и второго – у г. М С 15% 65% 30% + = х(г) у(г) 200(г) IIэтап. (метод подстановки) х + у = 200 0, 15 х + 0, 65 у =0, 3*200 х = 140 и у = 60 IIIэтап. Ответ: 140 г меди и 60 г свинца.

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%? Переведем проценты в дроби: 6%=0, 06; 11%=0, 11; 8%=0, 08 Iэтап. Пусть надо взять х т «бедной» руды и у т «богатой» руды. Первое уравнение: х + у = 20. «Бедная» руда будет содержать 0, 06 х т меди, «богатая» руда будет содержать 0, 11 у т меди. Получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0, 08 = 1, 6 т меди. Получим второе уравнение: 0, 06 х + 0, 11 у = 1, 6. IIэтап. (метод подстановки) х + у = 20 0, 06 х + 0, 11 у = 1, 6 Решим систему уравнений, получим х = 12 и у = 8. IIIэтап. Ответ: 12 т руды с 6% содержанием меди.

Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11? Золото: Серебро = 2: 3 Золото: Серебро = 3: 7 Х кг У кг Золото: Серебро = 5: 11 Iэтап. По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава. Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение *х + *у = *1 Аналогично массу серебра и получаем уравнение *х+ *у= *1 IIэтап. Записываем одну из систем: *х + *у = х+у=1 х+ у= IIIэтап. Решая ее, получаем х = 0, 125 и у = 0, 875. Ответ: 125 г и 875 г.

Задания из тестов ОГЭ 1. Найти пары чисел, являющиеся решением системы уравнений xy = 6, 2 x − y = 11. 1) (1; 6); (6; 1) 2) (6; 1); (− 0, 5; − 12) 3) (1; 6); (− 12; − 0, 5) 4) (6; 1); (− 1; − 6) Ответ: 2)

2. Прямая y=2 x-3 пересекает параболу y=x 2 -x-7 в двух точках. Вычислите координаты точки B. у y=2 x-3 y=x 2 -x-7 x 1=-1 x 2=4 А 0 х x=-1 y=2 • (-1)-3=-5 В (-1; -5)

3. Вычислите координаты точки B. 2 x-3 y=-9 x-4 y=-8 *(-2) у x+y=5 2 x-3 y=-9 А x-4 y=-8 В 5 y=7 y=1, 4 С 0 2 x-3 y=-9 -2 x+8 y=16 х x-4 • 1, 4=-8 x=-8+5, 6=-2, 4 (-2, 4; 1, 4)

Домашнее задание: задачник под ред. Мордковича А. Г. п. 7 № 2, 8, 19, 23). Спасибо всем за урок! Удачи! И помните! Учение без размышления бесполезно, но и размышление без учения опасно. Конфуций.