Системы счисления
Выберите тему для изучения: • • Общие сведения о системах счисления Непозиционные системы счисления Позиционные системы счисления Системы счисления для общения с компьютером Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную Перевод целых чисел из десятичной системы в любую другую Перевод десятичных дробей в любую систему счисления Задания
Общие сведения о системах счисления Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Различные системы счисления служат различными языками, то есть по разному называют, обозначают и обращаются с одними и теми же числами. Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления. Системы счисления позиционные. бывают непозиционные Меню Назад Далее и
Непозиционные системы счисления В непозиционных системах вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Примером непозиционной системы счисления служит римская система. Правило чтения чисел в римской системе счисления: Значение цифр складываются, если цифры записаны в порядке убывания; если меньшая цифра записана перед большей, то из значения большей цифры нужно вычесть значение меньшей цифры. Цифры, используемые в римской системе счисления: I - 1 V - 5 X – 10 L – 50 C - 100 D - 500 M – 1000 Пример: XLVI = (50 -10)+5+1 = 46 Меню Назад Далее
Позиционные системы счисления В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757, 7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757, 7 означает сокращенную запись выражения 700 + 50 + 7 + 0, 7 = 7 • 102 + 5 • 101 + 7 • 100 + 7 • 10 -1 = 757, 7. Меню Назад Далее
Позиционные системы счисления Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т. д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т. д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения an-1 qn-1 + an-2 qn-2+. . . + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a-1 q-1 +. . . + a-m q-m, где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно. Меню Назад Далее
Системы счисления для общения с компьютером Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно: • двоичная (используются цифры 0, 1); • восьмеричная (используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7); • шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, . . . , 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F). Меню Назад Далее
Системы счисления для общения с компьютером Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: • для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т. п. ), а не, например, с десятью, — как в десятичной; • представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво; • возможно применение аппарата алгебры логики для выполнения логических преобразований информации; • двоичная арифметика намного проще десятичной. Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Меню Назад Далее
Системы счисления для общения с компьютером Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2). Меню Назад Далее
Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления в двоичную и обратно Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр). Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответ -ствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Меню Назад Далее
Таблицы двоичных триад и тетрад 8 2 16 2 0 0000 8 1000 1 001 1 0001 9 1001 2 010 2 0010 A 1010 3 011 3 0011 B 1011 4 100 4 0100 C 1100 5 101 5 0101 D 1101 6 110 6 0110 E 1110 7 111 7 0111 F 1111 Меню Назад Далее
Примеры перевода Меню Назад Далее
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную При переводе числа из любой позиционной системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления и выполнить вычисление. Меню Назад Далее
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q– 1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4 B 16. Меню Назад Далее
Перевод десятичных дробей в любую другую систему счисления При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения. Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Меню Назад Далее
Перевод десятичных дробей в любую другую систему счисления. Примеры Ответ: 0, 3510 = 0, 010112 = 0, 2638 = 0, 5916. Меню Назад Далее
Задание 1. 2. 3. 4. 5. Перевести число 45, 625 из десятичной системы счисления в двоичную. (Подсказка, Ответ) Число 1 A 3, F перевести из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления. (Подсказка, Ответ) Перевести число 35 из восьмеричной в десятичную систему счисления. (Подсказка, Ответ) Какие числа записаны с помощью римских цифр: MMMD, IV, XIX, MCMXCI? (Подсказка, Ответ) Перевести двоичное число 110000110101, 1010101 в восьмеричную систему счисления. (Подсказка, Ответ). Меню Назад Далее
Ответы к заданию 1. 2. 3. 4. 5. 101101, 101 11010001, 1111 29 3500, 4, 1991 6065, 524 Меню Назад Далее
Скачать презентацию Системы счисления Выберите тему для изучения
3dd45cc8a6a1ff9bcc2fea24adc558ed.ppt