
Comp_Arith.ppt
- Количество слайдов: 64
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (СС)-1 а – k-значная цифра d – числовой эквивалент цифры ПОЗИЦИОННЫЕ СС 2 -, 10 -чная СС Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 22=20+2 НЕПОЗИЦИОННЫЕ СС Римская СС XXII=X+X+I+I Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная aрифметика-1
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (СС)-2 ОДНОРОДНЫЕ СС СМЕШАННЫЕ СС Количественный эквивалент числа: НА ПРАКТИКЕ: f: “ ” или “+” Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-2
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (СС)-3 Вес: ВЕСОМОЗНАЧНЫЕ СС -125=-1000+875 1. 875 Знак числа имеет вес = -103 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 НА ПРАКТИКЕ: НЕВЕСОМОЗНАЧНЫЕ СС -125 Знак числа не имеет веса Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-3
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (СС)-4 ЕСТЕСТВЕННЫЙ ПОРЯДОК ИСКУССТВЕННЫЙ ПОРЯДОК СЛЕДОВАНИЯ ВЕСОВ k – основание СС КАКУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ ВЫБРАТЬ ДЛЯ МОЕГО ПРОЦЕССОРА? Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-4
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (СС)-5 ОБЩЕПРИНЯТАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ: ПОЗИЦИОННАЯ ОДНОРОДНАЯ ВЕСОМОЗНАЧНАЯ С ЕСТЕСТВЕННЫМ ПОРЯДКОМ СЛЕДОВАНИЯ ВЕСОВ Аддитивная СС: база СС (натуральный код) основание СС Наиболее распространенный вариант: 1). k 0 2). 0 а k - 1 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-5
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-1 ЗНАК НА УРОВНЕ ЦИФР-1 k = 2 m Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-6
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-2 ЗНАК НА УРОВНЕ ЦИФР-2 1). Записать общее выражение числа для k = 6, r=3, h=0. База (+)-несимметричная. 2). Вычислить +Аmax и –Amax 3). Представить в данной СС число (104)10 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-7
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-3 ЗНАК НА УРОВНЕ ЦИФР-3 k = 2 m Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-8
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-4 ЗНАК НА УРОВНЕ ЦИФР-4 k = 2 m+1 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-9
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-5 ЗНАК НА УРОВНЕ ЧИСЕЛ (СЛОВ)-1 ПРЯМОЙ КОД Специальный разряд -125=(1 -2· 1)125 = -125 Особенности ПК: 1. Два значения 0: +0 = 0. 00… 0 и -0 = 1. 00… 0 2. Симметричная числовая шкала Каково максимальное количество чисел отрицательных, положительных и общее существует при записи их в ПК? Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-10
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-6 ЗНАК НА УРОВНЕ ЧИСЕЛ (СЛОВ)-2 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОД-1 Определение 1 -125=-1. 000+0. 875 = 1. 875 kr kr-1 kr-2 . . k 1 k 0 m. A Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-11
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-7 ЗНАК НА УРОВНЕ ЧИСЕЛ (СЛОВ)-3 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОД-2 Определение 2 -125 = 2. 000 – 0. 125 = 1. 875 +125 = 2. 000 – 1. 875 = 0. 125 1). Доказать, что использование определений 1 и 2 дает одинаковый результат – каждый раз получается одно и то же число. 2). Для k=2 и r=4 записать в дополнительном коде -1, -6 и -8. Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-8 ЗНАК НА УРОВНЕ ЧИСЕЛ (СЛОВ)-4 ОБРАТНЫЙ КОД -125 = (1 -0)(9 -1)(9 -2)(9 -5) = 1. 874 Для k=2 правило преобразования выглядит так: Аок = 111… 11 – А. 1). Какой логической функции, выполняемой над каждым разрядом числа, это соответствует? 2). Доказать аналитически и подтвердить примером. Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-13
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-9 · Форма представления числа – это алгоритм, алгоритм устанавливающий взаимное соответствие между записью числа и его количественным эквивалентом Приближение чисел Представление чисел Точность приближения: Диапазон: - абсолютная ошибка: Точность представления: - относительная ошибка: - абсолютная разность: - относительная разность: ПП: Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Хорошее приближение: “ 0”: Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-14
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-10 ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ-1 Фиксированная точка (Fixed Point) Естественная точка A A 1 A 2 A 12345, , 12345 123, 45 A N: ПП при умножении A R: ПП при сложении/вычитании Калькуляторы Невозможно оперировать очень БОЛЬШИМИ или очень МАЛЫМИ числами Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Масштабирование ЭВМ 1. 2. 3. 4. Сложное программировани 2. Сложная программа Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-15
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-11 ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ - 2 Плавающая точка (Floating Point)-1 Se e SA m. A -нормализованное число Порядок: Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-16
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-12 ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ - 3 Плавающая точка (Floating Point)-2 Se e SA m. A Example FP SA e m. A FP NP A 1 A 2 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-17
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-13 ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ - 4 Плавающая точка (Floating Point)-3 Sequential numbers: Representation accuracy for normalized mantissa depends on S ONLY ! e P p Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 SA m. A S s Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-18
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ-14 ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ - 5 Плавающая точка (Floating Point)-4 !Assumption! Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Архитектура ЭВМ и систем. Компьютерная арифметика-19
ROUNDING-OFF NUMBERS - 1 ROUNDING-OFF TO ZERO-1 “rnd 0” 00…………… 00 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-20
ROUNDING-OFF NUMBERS - 2 ROUNDING-OFF TO ZERO-2 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 “rnd 0” Computer systems architecture. Computer arithmetic-21
ROUNDING-OFF NUMBERS - 3 ROUNDING-OFF FROM ZERO “rnd 0 ” Carry through all digits may be overflow * 0 00…………… 00 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-22
ROUNDING-OFF NUMBERS - 4 ROUNDING-OFF BY LACK * “rnd lack” Logic 00…………… 00 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-23
ROUNDING-OFF NUMBERS - 5 ROUNDING-OFF BY EXCESS * “rnd excess” Logic 00…………… 00 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-24
ROUNDING-OFF NUMBERS - 6 ROUNDING-OFF BY COMPLEMENT-1 * “rnd complement” Logic 00…………… 00 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-25
ROUNDING-OFF NUMBERS - 7 ROUNDING-OFF BY COMPLEMENT-2 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 “rnd complement” Computer systems architecture. Computer arithmetic-26
ROUNDING-OFF NUMBERS - 8 ROUNDING-OFF BY COMPLEMENT ADVANCED-1 “rnd complement advanced” All digits of remainder part: Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-27
ROUNDING-OFF NUMBERS - 9 ROUNDING-OFF BY COMPLEMENT ADVANCED-2 “rnd complement advanced” * Logic 00…………… 00 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-28
ROUNDING-OFF NUMBERS - 10 ROUNDING-OFF BY COMPLEMENT ADVANCED-3 * Logic 00…………… 00 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-29
ROUNDING-OFF NUMBERS - 11 ROUNDING-OFF BY COMPLEMENT ADVANCED-4 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-30
ROUNDING-OFF NUMBERS - 12 ROUNDING-OFF WITHOUT CARRY-1 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 “rnd no carry” Computer systems architecture. Computer arithmetic-31
ROUNDING-OFF NUMBERS - 13 ROUNDING-OFF WITHOUT CARRY-2 “rnd no carry” v w Logic 00…………… 00 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-32
ROUNDING-OFF NUMBERS - 14 PROBABILISTIC ROUNDING-OFF-1 “prob rnd” Key element – generator of random numbers Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-33
ROUNDING-OFF NUMBERS - 15 PROBABILISTIC ROUNDING-OFF-2 Key element – generator of random numbers + Gen Random Num 00…………… 00 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-34
ROUNDING-OFF NUMBERS - 16 PROBABILISTIC ROUNDING-OFF-3 Key element – generator of random numbers Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-35
ROUNDING-OFF NUMBERS - 17 PROBABILISTIC ROUNDING-OFF-4 Key element – generator of random numbers + Quasi-uniform Logic Gen Random Num 00…………… 00 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-36
ROUNDING-OFF NUMBERS - 18 COMPARATIVE ANALYSIS Method Carry rnd 0 - - - rnd 0 + - - - rnd lack + + + - - - rnd exc + + + - - - rnd comp + - + rnd compa + - - rnd no car - - - + prob rnd 1 + - - - prob rnd t + - - - + - Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Sign Tail “ 0” analysis a-h-1 a-h analysis Computer systems architecture. Computer arithmetic-37
HOME TASKS FIRST RAW SECOND RAW THIRD RAW Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 OBTAIN ERROR EQUATION FOR MULTIPLICATION (RELATIVE ERRORS) OBTAIN ERROR EQUATION FOR DIVISION (RELATIVE ERRORS) OBTAIN EQUATION FOR CONERSION NUMBER BASE K 1 TO K 2 Computer systems architecture. Computer arithmetic-38
HOME TASKS THIRD RAW OBTAIN EQUATION FOR CONERSION NUMBER BASE K 1 TO K 2 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-39
HOME TASKS FIRST RAW Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 OBTAIN ERROR EQUATION FOR MULTIPLICATION (RELATIVE ERRORS) Computer systems architecture. Computer arithmetic-40
ADDITION-1 ONE-BIT ADDER 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 0 0 Complement codes 0 1 1 Computer systems architecture. Computer arithmetic-41
ADDITION-2 COMPLEXITY-1 ·Non-constructive (abstract) complexity estimations: · Turing machines · Number of operations ·Constructive estimations: Number of functional elements of circuits Upper bound of complexity estimation Low bound of maximum Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-42
ADDITION-3 COMPLEXITY-2 1. Hardware complexity – Lh Number of functional 2. elements. This is upper bound of complexity. As usual we 3. have O( 1, 2, . . , n), i – parameters of algorithm (function 2. Time complexity – Lt. Delay from input cycles (may be bits) to last output cycles (bits) 12 … N 12 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 … M FOR AUTONOMOUS COMPUTATIONS ! Computer systems architecture. Computer arithmetic-43
ADDITION-4 r-DIGIT ADDER - 1 12 t 9 t 11 t Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 6 t 8 t 3 t 5 t 2 t Computer systems architecture. Computer arithmetic-44
ADDITION-5 r-DIGIT ADDER - 2 G – generate P - propagate Simple school task Obtain expressions for C 2 and C 3 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-45
ADDITION-6 r-DIGIT ADDER - 3 3 t 3 t 2 t 2 t 3 t 2 t Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 3 t Computer systems architecture. Computer arithmetic-46
ADDITION-7 r-DIGIT ADDER – 4 School task Design circuits for C 2 and C 3 3 t Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 3 t 3 t Computer systems architecture. Computer arithmetic-47 3 t
ADDITION-8 FULL r-DIGIT ADDER WITH PARALLEL CARRY-1 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-48
ADDITION-9 FULL r-DIGIT ADDER WITH PARALLEL CARRY-2 THE ADDER CONSIDERED ABOVE IS NOT HOMOGENOUS BECAUSE OF ALL DIGITS HAVE DIFFERENT STRUCTURES. MAY BE THIS TYPE OF ADDER HOMOGENOUS (I. E ALL DIGITS ARE THE SAME) ? Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-49
MULTIPLICATION-1 CLASSICAL ALGORITHM (FROM LOWER DIGIT)-1 Simple school task Algorithm How many digit need for full product between r-digit cofactors? Obtain expressions. Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-50
MULTIPLICATION-2 CLASSICAL ALGORITHM (FROM LOWER DIGIT)-2 Correction for sign-multiplication 2 -complement numbers Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-51
MULTIPLICATION-3 CLASSICAL ALGORITHM (FROM LOWER DIGIT)-3 Architecture of classical (sequential) multiplier Each cycle of multiplication consists of three actions: 1. Conjunction A on b(i), ` 2. i=0, 1, 2, 3 3. 2. Addition “A·b(i)” with 4. ADDER 5. 3. Right shift ADDER on one bit Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-52
MULTIPLICATION-4 CLASSICAL ALGORITHM (FROM LOWER DIGIT)-4 microprogram: Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-53
MULTIPLICATION-5 CLASSICAL ALGORITHM (FROM LOWER DIGIT)-5 Example: 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 1 0 0 0 1 1 Computer systems architecture. Computer arithmetic-543
MULTIPLICATION-6 CLASSICAL ALGORITHM (FROM LOWER DIGIT)-6 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-55
MULTIPLICATION-7 PARALLEL MULTIPLICATION Simple school task Propose some method for production correction in matrix multiplier 19 t 17 t 15 t 13 t Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 11 t 7 t 3 t 1 t Computer systems architecture. Computer arithmetic-56
DIVISION-1 CLASSICAL ALGORITHM-1 Architecture of classical (sequential) multiplier Division with remainder Peculiar properties: 1. Unsigned division 2. A C 3. |A|, |C| < 1 4. Sign of (2 Bi-C) = carry from MSB Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-57
DIVISION-2 CLASSICAL ALGORITHM-2 Example Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-58
DIVISION-3 CLASSICAL ALGORITHM-3 Testing Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-59
DIVISION-4 CLASSICAL ALGORITHM-4 Example (continued) Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-60
DIVISION-5 CLASSICAL ALGORITHM-5 Example (continued) Complexity: Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-61
DIVISION-6 Subtractor FAST DIVISION-1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 0 1 1 Computer systems architecture. Computer arithmetic-62
DIVISION-7 FAST DIVISION-2 Adder-Subtractor Input is tuning. B is carry if = 0 and B is borrow if = 1 Relatively simple school task Obtain equation for B Another question For what D on previous slide? Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-63
DIVISION-8 FAST DIVISION-3 Fast Parallel Homogenous Divider Nick A. Lookin, ACS-RTD-USTU, 2005 Computer systems architecture. Computer arithmetic-64