Системы счисления Системой счисления называется способ записи

Системы счисления • Системой счисления называется способ записи чисел при помощи ограниченного числа символов (цифр).

Позиционные системы счисления-1 • Позиционные системы счисления — это те системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе. • Они позволяют легко производить арифметические расчёты

Позиционные системы счисления-2 • Количество цифр используемых в системе счисления называется «основанием» . • В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе основание равно двум, в восьмеричной и шестнадцатеричной соответственно восьми и шестнадцати. • То есть в b-ичной системе счисления количество цифр равно b и используются цифры от 0 до b -1.

Позиционные системы счисления-3 • В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом: (anan − 1. . . a 0)f • где a 0, a 1, . . . , an — цифры, где ak —удовлетворяющие неравенству • а f — основание системы счисления. • Если используется десятичная система, то f — можно опустить.

Пример • Примером позиционной формы записи чисел является та, которой мы пользуемся (так называемая арабская форма чисел). • Так, в числах 123 и 321 значения цифры 3, например, определяются ее положением в числе: в первом случае она обозначает три единицы (т. е. просто три), а во втором – три сотни (т. е. триста)

• Число x записывают в виде последовательности его b-ичных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо: • Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

Полное число В современной информатике используются в основном три системы счисления (все – позиционные): двоичная, шестнадцатеричная и десятичная. Где l – количество разрядов числа, i – порядок разряда, m – основание системы счисления, ai – множитель, принимающий любые целочисленные значения от 0 до m-1, и соответствующий цифре i-го порядка числа.

Примеры чисел • 110012 — число в двоичной системе счисления, a 0 = 1, a 1 = 0, a 2 = 0, a 3 = 1, a 4 = 1; • 2213 — число в троичной системе счисления, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 2; • 318 — число в восьмеричной системе счисления, a 0 = 1, a 1 = 3; • 2510 — число в десятичной системе счисления, a 0 = 5, a 1 = 2;

Преобразование чисел • Чему равны числа из примеров. Используем приведённую формулу:

Как получить число? • У нас есть некоторое число A, и мы хотим получить его представление в системе по основанию f. Как нам это сделать? • Число A можно представить в виде • (anan − 1. . . a 0)f, и остаток от деления a 0.

Почему a 0? • Все члены суммы делятся на f без остатка, а последний член a 0 в результате деления даёт 0 и a 0 в остатке, так как максимальное значение цифры всегда на единичку меньше основания системы. • Мы получили самую правую цифру a 0 как остаток от деления и число (anan − 1. . . a 1)f как результат деления числа A на f. • Если мы так будем продолжать делить, то получим все остальные цифры a 1, a 2. . . an.

Пример • Чтобы лучше понять перевод в различные системы счислений, посмотрим, какие трансформации происходят внутри числа 456710. • Представим это число в виде • . • • • Последовательно разделим на 10: делим на 10, и получаем 7 в остатке; делим ещё раз на 10, и получаем 6 в остатке; и ещё раз делим на 10, получаем 4 и 5 в остатке; делим в последний раз на 10, получаем 0 и 4 в остатке.

Пример • Получим число 25 в двоичной системе счисления: • 25 / 2 = 12, остаток 1 – а 0; • 12 / 2 = 6, остаток 0 –а 1; • 6 / 2 = 3, остаток 0 -а 2; • 3 / 2 = 1, остаток 1 -а 3; • 1 / 2 = 0, остаток 1 -а 4. • Получили: 110012.

Пример • Представим число 25 в троичной системе счисления: • 25 / 3 = 8, остаток 1; • 8 / 3 = 2, остаток 2; • 2 / 3 = 0, остаток 2. • Получили число: 2213

Пример • Для восьмеричной и десятичной систем счисления Восьмеричная система счисления: 25 / 8 = 3, остаток 1; 3 / 8 = 0, остаток 3. Результат: 318. Десятичная система счисления: • 25 / 10 = 2, остаток 5; • 2 / 10 = 0, остаток 2. Результат: 2510.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений • Компьютерам очень удобно оперировать двоичными числами, но люди не привыкли работать с большим количеством цифр. Например, чтобы представить в двоичном виде число 1234 потребуется больше 10 двоичных цифр (10011010010). • Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они удобны как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов. А по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой. Это как будто мы двоичное число разбили на группы по три или четыре разряда и каждой двоичной комбинации придумали значок.

Шестнадцатеричная система • Шестнадцатеричная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала. • Используемые знаки для представления числа – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F. • для обозначения шестнадцатеричных чисел вводят нижний индекс справа от числа в виде числа 16 или букв H либо h (hexadecimal – шестнадцатеричный), либо знак H или h справа от числа. • Например, 3 AB 16 = 3 ABH = 3 ABh

Таблицы 8 -ричных и 16 -ричных цифр

Таблица перевода трех систем счисления

Перевод чисел из одной системы счисления в другую • Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют определенные правила. Они различаются в зависимости от формата числа – целое или правильная дробь. • Для вещественных чисел используется комбинация правил перевода для целого числа и правильной дроби.

Алгоритм перевода (продолжение) • 2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. • Вновь полученная дробная часть умножается на P и т. д. • Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. • Целые части выписываются после запятой в порядке их получения.

Алгоритм перевода • При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм: • 1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. • Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. • Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. • Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

Алгоритм перевода (продолжение) • Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P. • Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

Примеры • 1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а) 464(10); б) 380, 1875(10); в) 115, 94(10) (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении). • Решение. • 464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94 • 232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88 • 116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76 • 58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52 • а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04 • 14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08 • 7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16 • 3 | 1 2 | 0 • 1 | 1 а) 464(10) = 111010000(2); б) 380, 1875(10) = 101111100, 0011(2); в) 115, 94(10) » 1110011, 11110(2)

Перевод числа 10011010010 (1234) 2 • В восьмеричную • Разбиваем его на группы по три цифры: • 010 011 010. • И по таблице переводим: 23228. • Чтобы перевести число в шестнадцатеричное представление разбиваем двоичное число на группы по четыре цифры: • 0100 1101 0010. • И по таблице переводим: 4 D 216.

Шестидесятеричная система счисления • Время на часах – это пример шестидесятеричной позиционной системы счисления. • В представлении времени используется три позиции: для часов, минут и секунд • h: m: s • Чтобы получить время в секундах мы должны посчитать по формуле: • h 602 + m 601 + s 600 = h 3600 + m 60 + s

Непозиционные системы счисления • Римские числа являются примером полупозиционной системы образования числа: так, в числах IX и XI знак I обозначает в обоих случаях единицу, но, будучи расположенным слева от знака X (обозначающего десять), вычитается из десяти, а при расположении справа – прибавляется к десяти. • В первом случае полное значение числа равно 9, во втором – 11.

Пример • Представление чисел с помощью арабских цифр — самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления» . • Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр. Эти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.