Системы счисления с древних времён до современного мира,

Системы счисления с древних времён до современного мира, их применение Ёч Станислав Константинович 6 класс МОУ «Лицей»

За долгую историю развития человеческого общества использовались различные способы счёта и записи чисел. Целью настоящей работы является исследование способов записи чисел, применяемых в древности, их влияние на современную науку и культуру, а также изучение современных систем счисления. Задачей настоящей работы является обзор способов записи чисел и иллюстрация математической культуры с древних времен на примере решения задач.

Алфавитное обозначение чисел Иудеи 9 букв алфавита использовались для обозначения первых 9 целых чисел; Еще 9 букв означали первые 9 кратных числа 10; остальные буквы использовались для обозначения сотен. Для обозначения тысяч использовался принцип позиционности 6789 -

Двадцатеричные системы счисления Индейцы майя 1·; 5—; 0 Система счисления майя основывается на их астрономических данных; Первый разряд - сутки, второй – месяцы, третий – годы. 6789 (3∙ 5+3)∙(360)+3∙ 5∙(20)+(5+4) Двадцатеричная система также использовалась у ацтеков, кельтов, чукчей и других народов.

Древний Китай II в. до н. э. - «Трактат об измерительном шесте» и «Математика в девяти книгах» Счёт палочками Счётная доска «суань» Принцип позиционности 1 | ; 6 T ; 10 — ; 60 Т 6789 Отрицательные числа – «фу» ; Положительные числа – «чжэн» Иероглифическая система Десятичная, мультипликативная; Для обозначения первых 9 чисел использовалось 9 знаков и 11 символов для обозначения степеней числа 10. 6789 (6× 1000 + 7× 100 + 8× 10 + 9) Дроби. Половина - «бань» , треть – «шао бань» , две трети – «тай бань» . III в. н. э. – десятичные дроби. Методы «тянь-юань» (небесный элемент); «фан чэн»

Индия Цифры карошти Цифры брахми Большинство трактатов написано на санскрите (алфавит «деванагари» ) 6789 Система десятичная, позиционная, цифровая. Предшественник современной. 1021 записывалось словами «Луна – дыра – крылья – Луна» ; «шунья» (пустое) – по арабски «сыфр» Положительные числа - «дхана» или «сва» , отрицательные – «рина» или «кщайя» . С сер. II тыс. до н. э. – дроби: ардха (1/2), пада (1/4), три-пада (3/4) и кала (1/16) с системой записи обыкновенных дробей с числителем, расположенным над знаменателем. Разработаны правила основных арифметических действий. Индийские математики и астрономы Ариабхата (V-VI вв. ), Брахмагупта (VII в. ), Магавира (IX в. ), Шридхара (IX-X вв. ), Бхаскара (XII в. ), Нилаканта (XV-XVI вв. )

Арабские страны Буквенная нумерация - «абджад» и «джумал» Книги Мухаммеда Бен Муса аль-Хорезми (878 -ок. 850) «Об индийском счёте» , «Китар аль-джебр валь мукабала» ( «Книга о восстановлении и противопоставлении» ) Индийские цифры: На востоке: 6789 На западе: Гобари ( «Песчаный абак» ) 6789 О влиянии науки арабских стран на науку Европы говорят термины: арабские цифры, алгебра, алгоритм, цифра, корень, синус. Учёные, которые обогатили науку: Мухаммед аль-Хорезми, астрономы ал-Фергани, ал-Тюрки и Абдуль Хасан, ал-Сагани, ал-Ходженди и ал-Джаухари, ал-Беруни из Хорезма и идн-Сина из Бухары (IX-X вв. ), известный математик и поэт Омар Хайям (XI в. ) и ал-Каши – директора обсерватории правителя Улугбека (XV в. ).

Славяне Славянская нумерация восходит к греческой буквенной нумерации При Петре I были введены арабские цифры

Западная Европа В Европе использовались римские цифры, система арифметики при помощи абака. В 12 в. переведён трактат «Об индийских числах» Аль-Хорезми С XVI в. индо-арабская система стала использоваться применительно к дробям. q. Симон Стевин - трактат De Thiende (Десятина); 6789 q. С XVII в. цифры приняли практически современный вид В эпоху Возрождения окончательно была введена позиционная десятичная арифметика. Была создана арифметическая и алгебраическая символика. Введены были дробные и отрицательные показатели и числа; успешно найдено решение в радикалах уравнений 3 и 4 степеней. Были формально введены мнимые числа. Математика становилась средством решения не только практических задач. Долгий период изучения постоянных величин подходил к завершению. Были созданы условия для возникновения теории переменных величин, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений.

Современные системы счисления Десятичная система Двоичная система 6789=6· 103+7· 102+8· 101+9· 100 6789 = (1101010000101)2 Десятичная система Двоичная система 0 0 9 1001 1 1 10 2 10 3 Таблица сложения и умножения 0+0=1 0 х0=0 1010 0+1=1 0 х1=0 11 1011 1+0=1 1 х0=0 11 12 1100 1+1=10 1 х1=1 4 100 13 1101 5 101 14 1110 6 110 15 1111 7 111 16 10000 8 1000 Двоичная система используется в вычислительной технике; в телеграфии; в кодировании; в теоретических исследованиях.

Восьмеричная и двенадцатеричная системы счисления 6789 = (15205)8 = 1∙ 84+5∙ 83+2∙ 82+5 (765, 43)8 7(82) + 6(81) + 5(80) + +4(8– 1) + 3(8– 2) = На американских фондовых биржах дроби обычно выражают в восьмых долях. 6789=(3 e 1 9)12 =3∙ 123+11∙ 122+1∙ 12+9 (765, 43)12 7(122) + 6(121) + 5(120) + + 4(12– 1) + 3(12– 2) = Используется в традиционной системе мер (в английской и американской); связана с календарем и временем.

Троичная система Об одном замечательном свойстве троичной системы. 6789=(100022110)3 Троичная система является самой экономичной из позиционных систем счислений по запасу чисел, которые можно записать в данной системе с помощью определенного количества знаков. С помощью 60 знаков можно записать: В двоичной системе 230 чисел; в троичной – 320; в четверичной – 415; и т. д. В десятичной системе – 106; в шестидесятеричной - 60 чисел. 320>230=415>512>610>106 > 125 > 154 > 203 > 302 > 60 Троичная система оказалась самой экономичной. Двоичная и равносильная четверичная системы уступают троичной, но превосходят все остальные системы. Этот вывод не связан с количеством знаков. В общем случае результат будет тем же. Существует строгое математическое доказательство этого факта.

Двоичную и троичную систему счисления можно использовать для решения ряда математических задач. Для взвешивания любого числа граммов песка от 1 г до n г за одно взвешивание, достаточно иметь гири 1 г, 2 г, 4 г, . . . , 2 m г, где 2 m≤n<2 m+1, и меньшего числа гирь недостаточно, если песок лежит на одной чашке весов, а гири разрешается ставить на вторую чашку. Если разрешить класть гири на обе чашки весов, то оптимальной будет система из гирек с массами, образованными степенями тройки (1, 3, 9, 27…). Для того чтобы взвесить груз в n г, надо представить число n в виде суммы a 0+3 a 1+9 a 2+27 a 3, где ai=0, ± 1 (i=0, 1, 2, 3). Тогда для его взвешивания достаточно на чашку вместе с грузом положить все гири, массы которых входят в эту сумму со знаком минус, а на противоположную чашку положить все гири, массы которых входят в эту сумму со знаком плюс. Этой задачей интересовался Д. И. Менделеев в бытность свою председателем Российской палаты мер и весов. Частный случай этой задачи был опубликован в книге Баше де Мезириака в XVII веке, а ранее был известен Фибоначчи. Задача. 12 монет. Из двенадцати монет одиннадцать настоящих, а одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее настоящей. Решение. Пронумеруем монеты: присвоим им номера 001, 010, 011, 012, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 220. Для 1 взвешивания положим на одну чашу весов те монеты, у которых старший разряд равен 0 (то есть 001, 010, 011, 012), а на другую - те монеты, у которых он равен 2 (200, 201, 202, 220). Если перетянет чашка с « 0» , запишем 0. Если перетянет « 2» — запишем 2. Если чаши весов останутся в равновесии — запишем 1. Для 2 взвешивания на одну чашу выложим монеты 001, 200, 201, 202 (то есть все те монеты, у которых второй разряд равен 0), а на другую — 120, 121, 122, 220 (то есть те монеты, у которых средний разряд равен 2). Запишем результат взвешивания. 3 взвешиванием сравниваем 010, 020, 200, 220 с 012, 122, 202 (соответственно, нули и двойки в младшем разряде) и записываем третью цифру. Мы получили 3 цифры —трехзначное число. Далее определяем фальшивую монету так: Если это число совпадает с номером какой-то монеты, то эта монета фальшивая и тяжелее остальных. Если нет, то заменим в этом числе все нули на двойки, а все двойки на нули. После этого оно должно совпасть с номером какой-то монеты. Эта монета фальшивая и легче остальных.

Страна Способ записи Иудея Древнееврейская Алфавитная Племя индейцев мая Позиционная с использованием ноля. Двадцатеричная, с промежуточным основанием 5. Единицей третьего разряда являлось число 360. Основывалась на астрономических данных. Двадцатеричные системы счисления также существовали у кельтов и др. народов. Китай Палочками. Десятичная, позиционная с промежуточным основанием 5. Использовалась для счета на счетной доске. Со II в. до н. э. появились отрицательные числа. Иероглифическая. Десятичная. Мультипликативный принцип. В Китае использовались дроби. Разработаны правила операций с отрицательными числами и дробями. Индия Деванагари. Десятичная, цифровая, позиционная. Является предшественником современной десятичной системы счисления. В Индии разработаны основные правила арифметических действий. Аравия Алфавитная. Буквенная нумерация Гобари. Десятичная, позиционная. Заимствована из Индии. Была взята за основу в Европе. Русь Особенности записи чисел. Применение в настоящее время Славянская. Алфавитная. Заимствована у греков (ионийская система счисления)

Современные системы счисления Способ записи Особенности записи чисел. Применение в настоящее время Современная десятичная Используется повсеместно. Позиционная, с основанием 10 Позиционная, с основанием 2 Используется в вычислительной технике Восьмеричная Применяется в финансовом мире Двоичная Позиционная, с основанием 8 Двенадцатеричная Позиционная, с основанием 12 Троичная Позиционная, с основанием 3 Используется в традиционной системе мер (в Английской и Американской), связана с календарем и временем. Экономичная система. Можно применять для решения задач.

В работе исследованы различные способы записи чисел с древних времён и до наших дней. Многие из них используются в современной математике. Эволюция способов записи чисел проходила много этапов. Менялись основания систем счислений, принципы записи, форма цифр или иероглифов. Математика в Древнем Китае оказала большое влияние на математическую науку в Древней Индии, странах Азии и Востока. Однако многие открытия китайских учёных стали известны в Европе уже после того, как европейцы пришли к ним самостоятельно. Современные арабские цифры – набор из 10 знаков используются ныне практически во всем мире для записи чисел в десятичной системе счисления. Эта система счисления является позиционной. Арабские цифры происходят от индийских символов для записи чисел. Многие достижения индийских учёных значительно повлияли на развитие науки в арабских странах. Математики арабских стран впитывали знания ученых со всего мира и распространяли их дальше. Изучение учеными Европы науки стран ислама позволило начать строить европейскую науку на прочном фундаменте и не повторять заново весь пройденный их предшественниками путь.

Современные системы счислений основаны на принципах позиционности, впервые примененных более 4 тысяч лет назад. Использование десятичной системы также уходит глубоко в древность. Учёные древности достигли огромных успехов в математике, научились решать сложные задачи. Влияние достижений и открытий Древнего мира на современную науку очень велико.