Системы счисления Перевод чисел из одной системы счисления

Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другие.

Cистемы счисления Система счисления – это совокупность символов, используемых для изображения чисел. Система счисления включает в себя: алфавит, т. е. набор символов для записи чисел, способ чтения чисел. Они делятся на два класса: позиционные и непозиционные Позиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры определяется ее положением (позицией) в числе. Позиция цифр называется разрядом числа. Позиционные системы счисления различают по их основаниям, где основание – это число цифр, используемых в системах счисления. Например: двоичная система счисления (А 2 ), восьмеричная система счисления (А 8) т. д. Непозиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры не определяется ее положением (позицией) в числе. Например: римская система счисления (II, V, XII)

Римские числа I II IV V VI VIII IX X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 XI XIII XIV XV XVIII XIX XX 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 XXI XXV XXX XL L LX XC C D M 21 25 30 40 50 60 90 100 500 1000

Правила записи и чтения римских чисел • • Буква, повторяющаяся дважды или трижды, удваивает или утраивает свое значение (СС - 200). Одна или более букв, помещенных после другой большего значения, увеличивает это значение на величину более мелкой (XI – 11, DCC - 700). Буква, помещенная перед другой буквой большего значения, уменьшает это значение на величину этой буквы (XC – 90, XL – 40). Горизонтальная черта, помещенная над буквой, повышает ее значение в 1000 раз.

Двоичная система счисления Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления. Алфавит двоичной системы счисления состоит из 0 и 1 Основанием, служит цифра 2 Достоинства 2 с/с: Недостатки 2 с/с: 1. Простота кодирования; 1. Много места занимает запись числа; 2. Простота арифметических действий; 3. Простота записи, хранения и передачи техническими средствами. 2. Трудоемкость перевода в 10 с/с и наоборот.

Восьмеричная система счисления Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 810 =108 Основанием является цифра 8 Например: 2768 Шестнадцатеричная система счисления Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 1610=1016 Основанием является цифра 16 Например: 26 A 716

Формула разложения числа по степеням основания Рассмотрим, для примера, десятичное число 3745. Его можно записать несколькими способами, не изменяя его количества. А 10= 3745 А 10= 3000 + 700 + 40 + 5 А 10= 3 x 1000 + 7 x 100 + 4 x 10 + 5 А 10= 3 x 103 + 7 x 102 + 4 x 101 + 5 x 100 (любое число в степени 0 равно 1) Последнюю запись называют разложением по степеням основания.

Ар= а nрn+…+а 1 р1+а 0 p 0 Формула разложения по степеням основания показывает, что число можно представить в виде суммы цифр, которые в свою очередь, равны произведению цифры на основание в степени, равной номеру разряда. При разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с « 0» .

Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в любую позиционную систему счисления с основанием q (2, 8, 16). 1. Делим число на основание системы счисления нацело (остаток должен быть меньше основания). 2. Если частное больше основания системы счисления, то повторить шаг 1. 3. Если частное меньше основания, то записываем число из остатков, начиная с последнего частного, справа налево.

Алгоритм перевода целого числа из системы счисления с основанием q (2, 8, 16) в десятичную систему счисления. 1. Определяем разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная с нуля) 2. Умножаем цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда. 3. Суммируем все произведения.

1. Чтобы число 124 перевести из 10 сс в 2 сс надо это число делить на 2 (основание сс) до тех пор, пока остатком деления не окажется число меньше 2 (1 или 0). 124 0 2 62 62 0 2 31 30 1 2 15 14 1 2 7 6 1 2 3 2 2 1 1 2. Выписываем все остатки (справа налево) начиная с частного, следовательно 12410 = 111110 02

1. Для того, чтобы перевести число из 2 сс в 10 сс, надо представить его в виде суммы произведений цифры на основание в степени, равной номеру разряда. (при разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с « 0» ) 4 3 2 1 0 11001 = 1 х24+ 1 х23+ 0 х22+ 0 х21+ 1 х20 = = 16+ 8+ 1 = 2510 Получаем, что 110012 = 2510

1. Чтобы число 124 перевести из 10 сс в 8 сс надо это число делить на 8 (основание сс) до тех пор, пока остатком деления не окажется число меньше 8 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). 124 120 4 8 15 8 8 1 7 2. Выписываем все остатки (справа налево) начиная с частного, следовательно 12410 = 1 7 48

1. Для того, чтобы перевести число из 8 сс в 10 сс, надо представить его в виде суммы произведений цифры на основание в степени, равной номеру разряда. (при разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с « 0» ) 2 1 0 6 1 3 = 6 x 82 + = 384 + 8 + 3 2. Получаем, что 1 x 81 + 3 x 80 = 6138 = 39510

1. Чтобы число 395 перевести из 10 сс в 16 сс надо это число делить на 16 (основание сс) до тех пор, пока остатком деления не окажется число меньше 16 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). 395 16 384 24 16 11 16 1 8 2. Выписываем все остатки (справа налево) начиная с частного, следовательно 39510 = 1 8 B 16

1. Для того, чтобы перевести число из 16 сс в 10 сс, надо представить его в виде суммы произведений цифры на основание в степени, равной номеру разряда. (при разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с « 0» ) 3 2 1 0 А 7 F 516 = Ax 163 + 7 x 162+ Fx 161 + + 5 x 160 = 10 x 4096 + + 7 x 256 + 15 x 16 + 5 x 1 = 4299710 2. Получаем, что A 7 F 516 = 4299710

1) 12410 а)11111002 б)10101012 в)11110012 г)11011002 2) 54310 а)1111100112 б)11110010012 в)10000111112 г)11011000102 3) 13110 а)111110012 б)100000112 в)111100102 г)101011002 в)1101100002 г)1111010012 4) 48910 а)1111101102 б)101012

1) 1111112 а) 61 б) 64 в) 63 г) 65 б) 150 в) 145 г) 141 б) 59 в) 60 г) 62 б) 602 в) 208 г) 205 2) 100011012 а) 140 3) 1111012 а) 61 4) 110011102 а) 206

1) 6138 а) 35910 б) 39510 в) 35810 г) 36010 б) 2510 в) 3010 г) 3610 б) 10010 в) 6410 г) 6810 б) 19810 в) 10410 г) 10810 2) 248 а) 2010 3) 1008 а) 5610 4) 1548 а) 11710

1) A 7 F 516 а) 4395910 б) 4299710 в) 3477910 г) 4536010 б) 1210 в) 2310 г) 1610 б) 186510 в) 296710 г) 252510 б) 26710 в) 28810 г) 28010 2) 1016 а) 810 3) B 0 E 16 а) 283010 4) 12016 а) 30010

1) 1210 а) 168 б) 148 в) 158 г) 208 б) 3148 в) 1348 г) 3538 б) 23148 в) 33508 г) 27808 б) 13048 в) 15328 г) 15208 2) 23510 а) 5358 3) 176810 а) 34168 4) 89510 а) 15778

1) 5410 а) 3616 б) 4616 в) 2616 г) 5616 б) 7 D 16 в) 5 F 16 г) 5916 б) DA 116 в) EAE 16 г) CA 116 2) 12510 а) A 216 3) 375810 а) AEE 16 4) 5216710 а) ABF 516 б) BCB 216 в) 7 BBA 16 г) CBC 716