Скачать презентацию Системы счисления Перевод целых чисел из одной системы Скачать презентацию Системы счисления Перевод целых чисел из одной системы

ЕГЭ_Системы счисления.ppt

  • Количество слайдов: 41

Системы счисления Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую Хранение информации в Системы счисления Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую Хранение информации в памяти компьютера Задачи из заданий ЕГЭ, в которых используются системы счисления и кодирование информации: А 1, А 5, А 11, В 4, В 7 Авторы : Тагиров Р. Р. , Хадиев Р. М.

Представление чисел в разных системах • • • 1. позиционные системы счисления 2. набор Представление чисел в разных системах • • • 1. позиционные системы счисления 2. набор цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15) • 3. одно и тоже значение

Перевод целых чисел из любой системы в десятичную • • • Многочлен по степеням Перевод целых чисел из любой системы в десятичную • • • Многочлен по степеням Х (основания системы счисления) 1234 x = 1*x 3 + 2*x 2 + 3*x 1 + 4*x 0 Примеры: 1) 5138 = 5*82 + 1*81 + 3*80 = 5*64 + 8 + 3 = 33110 2) 10101012 = 26 + 24 + 22 + 1 = 64 + 16 + 4 + 1 = 85

Перевод целых чисел из десятичной системы в другую • Многократно делим исходное десятичное число Перевод целых чисел из десятичной системы в другую • Многократно делим исходное десятичное число на основание новой системы счисления. На каждом следующем шаге делим частное, получившееся на предыдущем шаге • Запоминаем получающиеся остатки – это цифры будущего числа • Деление прекращаем, когда очередное частное уже не делится

• Пример: перевести 12310 в восьмеричную систему • 123 : 8 = 15 • Пример: перевести 12310 в восьмеричную систему • 123 : 8 = 15 (3) частное (остаток) • 15 : 8 = 1 (7) • 1 : 8 = 0 (1) • Ответ 1738

• Для проверки переведём полученное число 1738 обратно в десятичную систему: • 1738 • Для проверки переведём полученное число 1738 обратно в десятичную систему: • 1738 = 1*64 + 7*8 + 3 = • 64 + 56 + 3 = • 123

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО • • • 8 = ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО • • • 8 = 23 08 = 0002 18 = 0012 28 = 0102 38 = 0112 48 = 1002 58 = 1012 68 = 1102 78 = 1112 СООТВЕТСТВИЕ ЦИФР

Алгоритм перевода из восьмеричной системы в двоичную: • Каждую восьмеричную цифру заменяем ровно на Алгоритм перевода из восьмеричной системы в двоичную: • Каждую восьмеричную цифру заменяем ровно на 3 двоичные цифры • 27318 = 010, 111, 0012 = 10110012 • Потом незначащие нули слева можно отбросить

Алгоритм перевода из двоичной системы в восьмеричную: • В двоичном числе группируем цифры по Алгоритм перевода из двоичной системы в восьмеричную: • В двоичном числе группируем цифры по 3 штуки, начиная с младших цифр. • 110110000102 = • 001, 101, 011, 000, 0102 = • Слева добавляем незначащие нули, если не хватает в старшей группе. • Заменяем каждую группу на 1 соответствующую восьмеричную цифру. • = 1553028

Двоичная и шестнадцатеричная системы • Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную (и наоборот) Двоичная и шестнадцатеричная системы • Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную (и наоборот) выполняется аналогично восьмеричной, но каждой шестнадцатеричной цифре соответствует группа из 4 -х двоичных цифр. • Пример: • 110110000102 = • 1101, 1010, 1100, 00102 = • DAC 216

Хранение данных в памяти • 1 бит – 1 двоичная цифра (0 или 1) Хранение данных в памяти • 1 бит – 1 двоичная цифра (0 или 1) • 1 байт – 8 бит (минимальная адресуемая единица памяти) • 1 Кб = 1 килобайт = 210 = 1, 024 байта • 1 Мб = 1 мегабайт = 220 = 1, 024 Кбайта = 1, 048, 576 байтов • Гб, Тб, Пб

ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ • Пример 1 • Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ • Пример 1 • Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 147?

• Переведём заданное число в двоичную систему путём многократного деления: • • 147 • Переведём заданное число в двоичную систему путём многократного деления: • • 147 : 2 = 73 (1) 73 – частное, 1 - остаток 73 : 2 = 36 (1) 36 : 2 = 18 (0) 18 : 2 = 9 (0) 9 : 2 = 4 (1) 4 : 2 = 2 (1) 2 : 2 = 1 (0) 1 : 2 = 0 (1) • 14710 = 101100112 • Ответ: 4

• Пример 2 • Сколько единиц в троичной записи восьмеричного числа 371? • Пример 2 • Сколько единиц в троичной записи восьмеричного числа 371?

решение • Переведём сначала число 3718 в десятичную систему, а потом полученное число из решение • Переведём сначала число 3718 в десятичную систему, а потом полученное число из десятичной системы в троичную. • 3718 = 3*64 + 7*8 + 1 = 24910 • 24910 : 3 = 83 (0) • 83 : 3 = 27 (2) • 27 : 3 = 9 (0) • 9 : 3 = 3 (0) • 3 : 3 = 1 (0) • 1 : 3 = 0 (1) • 24910 = 1000203 • Ответ: 1

• Пример 3 • Чему равна сумма чисел 1008+1002+10016 в десятичной системе? • • Пример 3 • Чему равна сумма чисел 1008+1002+10016 в десятичной системе? • Варианты ответов: • 1) 257 • 2) 300 • 3) 324 • 4) 341

решение • Варианты ответов приведены в десятичной системе, поэтому переведём все слагаемые в десятичную решение • Варианты ответов приведены в десятичной системе, поэтому переведём все слагаемые в десятичную систему и сложим: • 1008 + 1002 + 10016 = 6410 + 25610 = 32410 • Ответ: вариант 3 (324)

• • • Пример 4 Чему равна сумма чисел 1616 + 168? 1) • • • Пример 4 Чему равна сумма чисел 1616 + 168? 1) 328 2) 3216 3) 448 4) 4416

решение • • Ответы даны в разных системах счисления, поэтому переведём оба слагаемых в решение • • Ответы даны в разных системах счисления, поэтому переведём оба слагаемых в десятичную систему счисления, вычислим сумму и запишем ответ в восьмеричной и шестнадцатеричной системах. 1616 = 1*16 + 6 = 2210 168 = 1*8 + 6 = 1410 1616 + 168 = 3610 • • • 3610 : 16 = 2 (10) 2 : 16 = 0 (2) 3610 = 2 А 16 • • • 3610 : 8 = 4 (4) 4 : 8 = 0 (4) 3610 = 448 • Ответ: вариант 3 (448)

• Пример 5 • Дано А = 3116 В = 758, какое десятичное • Пример 5 • Дано А = 3116 В = 758, какое десятичное число С удовлетворяет условию: • А < C < В? • 1) 45 • 2) 52 • 3) 63 • 4) 67

решение • Переведём числа А = 3116 и В = 758 в десятичную систему: решение • Переведём числа А = 3116 и В = 758 в десятичную систему: • А = 3116 = 3*16 + 1 = 49 • В = 758 = 7*8 + 5 = 63 • Ответ: вариант 2 (52)

• Пример 6 • Дано А = 4618 В = 6 B 16, • Пример 6 • Дано А = 4618 В = 6 B 16, какое С удовлетворяет условию А + В > C? • 1100111002 • 1100011012 • 1100010102 • 1100101002

решение • • Переведём числа А = 4618 и В = 6 B 16 решение • • Переведём числа А = 4618 и В = 6 B 16 в десятичную систему: 4618 = 4*64 + 6*8 + 1 = 305 6 B 16 = 6*16 + 11 = 107 А + В = 305 + 107 = 412 • Сумму переведём в двоичную систему: 1100011002 • Это число больше, чем число из 3 -го варианта, а остальных оно меньше. • Ответ: вариант 3.

• Пример 7 • Метеостанция ведёт наблюдения за скоростью ветра. Результатом одного измерения • Пример 7 • Метеостанция ведёт наблюдения за скоростью ветра. Результатом одного измерения является целое число от 0 до 19, которое записывается с помощью минимально возможного числа бит. Определите информационный объём всех результатов наблюдения за март. • 1) 175 бит • 2) 155 бит • 3) 55 байт • 4) 20 байт

решение • 1. Количество разных значений, которые нужно закодировать, равно 20. • 2. Минимальное решение • 1. Количество разных значений, которые нужно закодировать, равно 20. • 2. Минимальное количество бит, необходимое для кодирования 20 символов равно 5, т. к. в 5 битах можно хранить 25 (32) разных значений, а в 4 -х битах – только 24 (16), что недостаточно. • 3. 31*5 = 155 бит • Ответ: вариант 2 (155 бит)

• Пример 8 • Считая, что каждый символ кодируется 1 байтом, оцените объём • Пример 8 • Считая, что каждый символ кодируется 1 байтом, оцените объём следующего предложения в битах: • http: //www. kpfu. ru

решение • Сосчитаем количество символов, учитывая буквы, цифры, знаки препинания и другие символы. • решение • Сосчитаем количество символов, учитывая буквы, цифры, знаки препинания и другие символы. • 18*8 = 144 • Ответ: 144

• Пример 9 • Из прописных букв П, Л, А, С, Т составили • Пример 9 • Из прописных букв П, Л, А, С, Т составили всевозможные трёхбуквенные слова и записали их в алфавитном порядке. Начало этого списка выглядит так: • 1) ААА • 2) ААЛ • 3) ААП • … • А) Какое слово стоит на 122 месте? • В) Какое слово стоит на 48 месте? • С) Какой номер имеет в этом списке слово ПАТ?

Решение задачи А • Определим общее количество слов в этом списке. Оно равно 53 Решение задачи А • Определим общее количество слов в этом списке. Оно равно 53 = 125. Наше слово находится близко к концу списка. • • • Выпишем несколько слов, начиная с последнего: 125) ТТТ 124) ТТС 123) ТТП 122) ТТЛ • Ответ: ТТЛ • Такой метод «грубой силы» работает только, если наше искомое слово находится близко к началу или концу списка!

Решение задачи В • • • Заменим заданные буквы на цифры от 0 до Решение задачи В • • • Заменим заданные буквы на цифры от 0 до 4: 0 (А), 1 (Л), 2 (П), 3 (С), 4 (Т). Таким образом, все слова в списке превращаются в трехзначные числа в пятеричной системе счисления. Можно заметить, что номер слова (числа) в списке на 1 больше, чем значение этого числа в десятичной системе. 1) ААА 000 0 2) ААЛ 001 1 3) ААП 002 2 … Значит, для решения задачи нужно перевести число, равное заданному номеру без единицы, в пятеричную систему. Потом вместо цифр полученного числа напишем соответствующие буквы: 47 : 5 = 9 (1) 9 : 5 = 1 (4) 1 : 5 = 0 (1) 142 -> ЛТП Ответ: ЛТП

Решение задачи С • Выполним все действия в обратном порядке, чем в предыдущем решении: Решение задачи С • Выполним все действия в обратном порядке, чем в предыдущем решении: • Слово ПАТ заменим на число 2045 • Переведём число 2045 в десятичную систему и прибавим к нему 1: • 2045 = 2*25 + 4 = 54 • Ответ: 55

• Пример 10 • Укажите в порядке возрастания все основания систем счисления, в • Пример 10 • Укажите в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 13 оканчивается на 1.

решение • Пусть х – основание искомой системы счисления • Если перевести число 13 решение • Пусть х – основание искомой системы счисления • Если перевести число 13 в систему счисления с основанием х, то первый остаток, который получится при делении, равен 1. Тогда можно составить уравнение 13 = х*к + 1, где к – частное при делении 13 на х. • Выбираем только натуральные решения уравнения • 12 = х*к • Ответ: 2, 3, 4, 6, 12 • *А почему число 1 не указано в ответе?

• Пример 11 • В системе счисления с некоторым основанием число 32 записывается • Пример 11 • В системе счисления с некоторым основанием число 32 записывается в виде 112. Найдите это основание.

решение • Пусть х – неизвестное основание. • Если мы переведём число 112 х решение • Пусть х – неизвестное основание. • Если мы переведём число 112 х в десятичную систему, то получим выражение 1*Х 2 + 1*Х 1 + 2*Х 0, но мы знаем, что оно равно 32. • Составим уравнение: • Х 2 + Х + 2 = 32 и решим его. • Найдём Х = 5 и Х = -6. Основанием системы счисления может быть только натуральное число. • Ответ: 5.

• Пример 12 • Автомат получает на вход два трехзначных числа. По этим • Пример 12 • Автомат получает на вход два трехзначных числа. По этим числам строится новое число по следующим правилам. • 1. Вычисляются три числа – сумма старших разрядов заданных трехзначных чисел, сумма средних разрядов этих чисел, сумма младших разрядов. • 2. Полученные три числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей). • Определите, какое из следующих чисел может быть результатом работы • автомата. • 1) 151303 • 2) 161410 • 3) 191615 • 4) 121613

• Пример. Исходные трехзначные числа: 835, 196. Поразрядные суммы: 9, 12, • 11. • Пример. Исходные трехзначные числа: 835, 196. Поразрядные суммы: 9, 12, • 11. Результат: 12119

решение • 0. Сумма двух цифр не может быть трёхзначным числом и не может решение • 0. Сумма двух цифр не может быть трёхзначным числом и не может начинаться на 0. Значит вариант 1 не подходит. • 1. Сумма двух цифр не может быть больше 18. Значит вариант 3 не подходит. • 2. В последнем варианте числа 12, 16, 13 расположены не в порядке убывания. Значит вариант 4 не подходит. • Ответ: вариант 2 (161410). • Замечание: иногда в этой задаче числа даются не в десятичной системе счисления!

• Задача 13 • Для передачи аварийных сигналов договорились использовать цветные сигнальные ракеты, • Задача 13 • Для передачи аварийных сигналов договорились использовать цветные сигнальные ракеты, запускаемые последовательно. Одна последовательность ракет – один сигнал; в каком порядке идут цвета – существенно. Какое количество различных сигналов можно передать при помощи запуска ровно пяти ракет, если в запасе имеются ракеты трёх различных цветов (ракет каждого вида неограниченное количество, цвета ракет в последовательности могут повторяться)?

Решение • Типичный выбор у учеников – 53 или 35? • А если стреляли Решение • Типичный выбор у учеников – 53 или 35? • А если стреляли бы только 1 раз, то сколько сигналов можно передать? • Ответ – только 3. • А если стреляли бы 2 раза, то сколько сигналов можно передать? • Ответ – только 3*3= 32 (3 варианта первого выстрела и для каждого варианта 1 -го выстрела есть 3 варианта второго выстрела). Ответ: 35 = 243

Задачи для самостоятельного решения • 1. В какой системе счисления выполняется равенство • 22 Задачи для самостоятельного решения • 1. В какой системе счисления выполняется равенство • 22 + 23 = 100? • 2. Сколько разных сообщений можно составить из точек и тире длиной не менее 3 и не более 4 символов?