Системы счисления «на пальцах» Будько Марина Борисовна Дискретная математика СПб. ГУ ИТМО, 2012
Дискретная математика • включает методы и средства (из различных областей), которые работают с объектами, способными принимать только отдельные, дискретные значения. 1 Теория алгоритмов и автоматов Криптография Теория графов и др.
Двоичные данные в дискретной математике • определение истинности логических высказываний; • построение оптимальных коммутационных схем; • выбор наиболее разумных алгоритмов кодирования символьной информации • и многое другое. 2
Причины известности двоичной системы счисления • Связаны с развитием цифровой техники и логики. • Большинство компонентов электронных схем, применяемых для построения вычислительных машин, являются двухпозиционными. 3 • Для носителей информации наиболее надежный способ различения сигналов любой природы – это его «разбиение» на два противопоставляемых состояния: сигнал есть/нет, поверхность отражает/не отражает, уровень напряжения, степень намагниченности и т. д.
Откуда растут… пальцы • В повседневной жизни пользуемся десятичной системой счисления (СС). • Наряду с десятичной существовали и существуют другие СС. Цифры майя. • Получение чисел 7, 10, 22 в десятичной СС. 7 4 10 22
Пальцы, люди, семьи, … 10 • Образование «семьи» . 5 0 100
Позиционная система счисления • Веса разрядов. Вопрос: «Сколько пальцев? » 103 × Кол-во домов 102 × Кол-во семей 10=101 × Кол-во людей Каждый дом Каждая семья Каждый человек … 6 1=100 × Кол-во пальцев
Другие системы счисления. В чем разница? • Интерпретация чисел: • 12310: 3 пальца, 2 человека с десятью пальцами и 1 семья из десяти человек, у каждого по десять пальцев. • 1234: 3 пальца, 2 человека с четырьмя пальцами и 1 семья из четырех человек, у каждого по четыре пальца. • 1012: 1 палец, 0 человек с двумя пальцами и 1 семья из двух человек, у каждого по два пальца. 7 • 1010 – 1 человек с десятью пальцами: число 10. • 104 – 1 человек с четырьмя пальцами: число 4. • 102 – 1 человек с двумя пальцами: число 2.
Как получить число в другой системе счисления • Откуда берется деление. «Поразрядный» алгоритм. • Пусть, имеем 20 предметов. Как это количество выразить в другой СС, например в двоичной? • 8 02 2 5 002 5 семей – это 2 дома по две семьи и 1 семья. 1002 2 дома – это 1 улица и 0 отдельных домов. 1 0 1002 • Но 10 человек – это 5 семей из двух человек и 0 отдельных человек. • 10 • Для пересчета 20 предметов понадобится 10 человек с двумя пальцами и 0 загнутых пальцев в нулевом разряде. • Т. к. все ЦИФРЫ соответствуют двоичной СС, то перевод закончен.
Основание системы счисления 9 • В нашем примере количество пальцев у счетовода являлось основанием системы счисления. • Научное определение: основание (базис) позиционной системы счисления – количество знаков или символов для изображения числа в этой системе. • Например, в шестнадцатиричной системе базис образован 16 символами, которые условились обозначать как: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Выбор основания системы счисления 10 • Правильный выбор системы счисления – важный практический вопрос, поскольку от его решения зависят такие технические характеристики проектируемой электронной вычислительной машины (ЭВМ), как скорость вычислений, объем памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций. При выборе системы счисления необходимо учитывать следующее: • основание системы счисления определяет количество устойчивых состояний, которые должен иметь функциональный элемент, выбранный для хранения разрядов числа; • длина числа существенно зависит от основания системы счисления. • система счисления должна обеспечить простые алгоритмы выполнения арифметических и логических операций.
Какая система «лучше» ? 11 • Система, в которой оптимальным образом сочетаются: количество возможных цифр и длина чисел. Показатель экономичности будем вычислять как их произведение или, что то же самое, как произведение основания системы счисления на длину разрядной сетки. • Если принять, что каждый разряд числа представлен не одним элементом с q устойчивыми состояниями, а q элементами, каждый из которых имеет одно устойчивое состояние, то показатель экономичности укажет условное количество оборудования, которое необходимо затратить на представление чисел в этой системе.
Находим основание наиболее «эффективной» СС • Максимальное число, которое можно изобразить в системе с основанием q в N разрядах: • Из этой формулы можно найти требуемую длину разрядной сетки: • Тогда для любой системы счисления эффективность • Для возможности сравнения любой системы счисления с двоичной следует рассчитать относительный показатель экономичности: 12 • Если функция F непрерывна, то она имеет минимум в точке при q = e ≈ 2, 72.
Троичная? Практика внедрения • Пользуясь последней функцией можно доказать, что троичная система счисления экономичнее двоичной. • Что касается внедрения троичной системы, то чаще всего используется симметричная троичная система счисления с цифрами (– 1, 0, 1). Она применяется в троичной логике и была технически реализована в вычислительной машине «Се тунь» . 13
Спасибо за внимание!
Скачать презентацию Системы счисления на пальцах Будько Марина Борисовна Дискретная
дискретка. лекция1.ppt