СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ Для записи

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n используется n цифр. Основание Система Алфавит n=2 двоичная 0 1 n=3 троичная 0 1 2 n=8 восьмеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 n = 16 шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1011012 36718 3 B 8 F 16

Перевод в десятичную систему счисления Например, число 2113 содержит в себе 1 единицу, 1 тройку и 2 девятки. 2113 = 2∙ 32 + 1∙ 31 + 1∙ 30 = 18 + 3 + 1 = 2210 Аналогично переводятся и дробные числа. 101, 112 = 1∙ 22 + 0∙ 21 + 1∙ 20 + 1∙ 2 -1 + 1∙ 2 -2 = = 4 + 0 + 1 + 0, 5 + 0, 25 = 5, 7510. Перевод осуществляется разложением по степеням основания

Двоичная система счисления Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Двоичный алфавит: 0 и 1. Для целых двоичных чисел можно записать: an– 1 an– 2…a 1 a 0 = an– 1 2 n– 1 + an– 2 2 n– 2 +…+ a 0 20 Например: 100112 =1 24+0 23+0 22+1 21+1 20 = 24 +21 + 20 =1910 Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления: Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

Восьмеричная система счисления Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. an– 1 an– 2…a 1 a 0 = an– 1 8 n– 1+an– 2 8 n– 2+…+a 0 80 Пример: 10638 =1 83 +0 82+6 81+3 80=56310. Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Шестнадцатеричная система счисления Основание: q = 16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 3 АF 16 =3 162+10 161+15 160 =768+160+15=94310.

Задание Перевести числа в десятичную систему счисления. 1101012, 34, 25, 2 А 3, 816. 5 43 21 0 1101012 = 1∙ 25 + 1∙ 24 + 0∙ 23 + 1∙ 22 + 0∙ 21 + 1∙ 20 = = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5310 1 0 -1 34, 25 = 3∙ 51 + 4∙ 50 + 2∙ 5 -1 = 15 + 4 + 0, 4 =19, 410 2 1 0 -1 2 А 3, 816 = 2∙ 162 + 10∙ 161 + 3∙ 160 + 8∙ 16 -1 = = 512 + 160 + 3 + 0, 5 = 675, 510

Таблица соответствия 10 -х, 2 -х, 8 -х и 16 -х чисел от 1 до 16 Десятичная система Двоичная система Восьмеричная система Шестнадцатеричная система 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12

«Компьютерные» системы счисления Двоичная система используется в компьютерной технике, так как: двоичные числа представляются в компьютере с помощью простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями; представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво; двоичная арифметика наиболее проста; существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных. Двоичный код удобен для компьютера. Человеку неудобно пользоваться длинными и однородными кодами. Специалисты заменяют двоичные коды на величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления.

Вопросы и задания 1 (№ 25). Запишите алфавиты следующих позиционных систем счисления: Система счисления Десятичная Восьмеричная Пятеричная Троичная Алфавит

Вопросы и задания 2. Запишите в развёрнутом виде числа: а) 143, 51110= 1∙ 102+4∙ 101+3∙ 100+5∙ 10 -1+1∙ 10 -2+1∙ 10 -3 б) 1435118 = 1∙ 85+4∙ 84+3∙ 83+5∙ 82+1∙ 81+1∙ 80 в) 14351116= 1∙ 165+4∙ 164+3∙ 163+5∙ 162+1∙ 161+1∙ 160 г) 1435, 118 = 1∙ 83+4∙ 82+3∙ 81+5∙ 80+1∙ 8 -1+1∙ 8 -2 3. Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел: а) 1728 = 1∙ 82+7∙ 81+2∙ 80=12210 б) 2 ЕА 16 = 2∙ 162+14∙ 161+10∙ 160=74610 в) 1010102 = 1∙ 25+0∙ 24+1∙ 23+0∙ 22+1∙ 21+0∙ 20=4210 г) 10, 12 = 1∙ 21+0∙ 20+1∙ 2 -1=2, 5 д) 2436 = 2∙ 62+4∙ 61+3∙ 60=9910

Вопросы и задания 4. Укажите, какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1 В 16 является: а) наибольшим б) наименьшим 5. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

Вопросы и задания 6. Верны ли следующие равенства? а) 334 =217 б) 338 =214 7. Найдите основание х системы счисления, если: а) 14 x=910 б) 2002 x=13010

Опорный конспект Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа. Алфавит - совокупность цифр системы счисления. Система счисления Позиционная Двоичная Восьмеричная Десятичная Непозиционная Римская Шестнадцатеричная В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: Aq =±(an– 1 qn– 1 + an– 2 qn– 2 +…+ a 0 q 0 + a– 1 q– 1 +…+ a–m q–m).

Домашнее задание § 1. 1. 2; № 27, 29, 30, 34 в рабочей тетради, № 4, 6 из презентации