Системы счисления Цифры это символы участвующие

Системы счисления

Цифры – это символы, участвующие в записи числа и составляющие некоторый алфавит. Число – это некоторая величина.

Система счисления – это определенный способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Системы счисления можно разделить на непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления Непозиционными системами счисления называются такие системы счисления, в которых от положения знака в числе не зависит величина, которую он обозначает.

Римская система записи чисел I 1 V 5 X 10 L 50 C D M 100 500 1000

Позиционные системы счисления Позиционными системами счисления называются такие системы счисления, в которых величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число большее 1.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится и к десятичным дробям. 100 = 1 101 = 10 10 -1 = 0, 1 102 = 100 10 -2 = 0, 01 103 = 1000 10 -3 = 0, 001 и т. д. Например, 26, 387 = 2 101 + 6 100 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3.

Презентация 11 -15 Перевод чисел из произвольной позиционной системы в десятичную

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n используется n цифр. Основание Система Алфавит n=2 двоичная 0 1 n=3 троичная 0 1 2 n=8 восьмеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 n = 16 шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1011012 36718 3 B 8 F 16

Перевод в десятичную систему счисления Например, число 2113 содержит в себе 1 единицу, 1 тройку и 2 девятки. 2113 = 2 32 + 1 31 + 1 30 = 18 + 3 + 1 = 2210 Аналогично переводятся и дробные числа. 101, 112 = 1 22 + 0 21 + 1 20 + 1 2 -1 + 1 2 -2 = = 4 + 0 + 1 + 0, 5 + 0, 25 = 5, 7510.

Перевод целых десятичных чисел в произвольную систему счисления

Алгоритм перевода целых десятичных чисел в произвольную систему счисления 1. Десятичное число делится на основание системы. Остаток от деления – младший разряд искомого числа (правая цифра в числе). 2. Частное делится на основание системы. Остаток от деления – вторая справа цифра в числе. 3. Деление производится до тех пор, пока частное не станет меньше делителя (основания системы). Это частное – старшая цифра искомого числа.

Перевод десятичных дробей в произвольную систему счисления

Алгоритм перевода десятичных дробей в произвольную систему счисления 1. Умножить данное число на основание системы. Целая часть произведения – первая цифра в числе после запятой. 2. Произведение (без целой части) умножается на основание системы. Целая часть – вторая цифра в числе после запятой. 3. Умножение производится до тех пор, пока произведение не станет целым числом без десятичной части.

Задание Известно, что все представленные числа равны. Вставьте пропущенные цифры. 3415; 11_9; 1_57; 10_2_3.

Представление числовой информации в компьютере

Форматы представления чисел целочисленный целые положительные числа целые числа со знаком с плавающей точкой

Целочисленный формат (с фиксированной точкой) используется для представления в компьютере целых (англ. integer) положительных и отрицательных чисел (1, 2, 4 байта). Однобайтовое представление применяется только для положительных целых чисел (от 00002 до 11112, т. е 25510).

Для положительных и отрицательных целых чисел обычно используется 2 и 4 байта, при этом старший бит выделяется под знак числа: • 0 – плюс, • 1 – минус. Самое большое (по модулю) целое число со знаком, которое может поместиться в 2 байтовом формате, это число 01111111, то есть при помощи 1111 подобного кодирования можно представить числа от -32 76810 до 32 76710.

Представление целого положительного числа в компьютере число переводится в двоичную систему; 2) результат дополняется нулями слева в пределах выбранного формата. 1)

Представление целого отрицательного числа в компьютере число без знака переводится в двоичную систему; 2) результат дополняется нулями слева в пределах выбранного формата; 3) полученное число переводится в обратный код (нули заменяются единицами, а единицы – нулями); 4) полученное число переводится в дополнительный код (к обратному коду прибавляется 1). 1)

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно

Перевод из двоичной в восьмеричную Для того, чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, необходимо: двигаясь от запятой влево и вправо, разбить двоичное число на группы по три разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. Пример. Перевести число 1001111, 0101 из двоичной системы в восьмеричную. 010 011 001 111, 010 1002 = 2317, 248 Ответ. 2317, 248

Перевод из двоичной в шестнадцатеричную Для того, чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, необходимо: двигаясь от запятой влево и вправо, разбить двоичное число на группы по четыре разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем тетраду заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой. Пример. Перевести число 10111111011, 100011 из двоичной системы в шестнадцатеричную. 0101 1111 1011, 1000 11002 = 5 FB, 8 C 16 Ответ. 5 FB, 8 C 16

Перевод из восьмеричной в двоичную Для перевода числа из восьмеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой), при этом отбрасывают незначащие нули в старших и младших (после запятой) разрядах. Пример. Перевести число 204, 4 из восьмеричной системы в двоичную. 204, 48 = 10000100, 12 Ответ. 10000100, 12

Перевод из шестнадцатеричной в двоичную Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим четырехразрядным двоичным числом (тетрадой), при этом отбрасывают незначащие нули в старших и младших (после запятой) разрядах. Пример. Перевести число 6 СЗ, А из шестнадцатеричной системы в двоичную. 6 СЗ, А 16 = 11011000011, 1012 Ответ. 11011000011, 1012

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад. Пример. Перевести число 135, 14 из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную. 135, 148 = 001 011 101, 001 1002 = 1011101, 00112 = = 0101 1101, 00112 = 5 D, 316 Ответ. 5 D, 316.

Арифметические операции в позиционных системах счисления При сложении чисел в произвольной позиционной системе счисления с основанием р в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется. При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное p, то представляем его в виде pk+b, где k N, b N 0, 0≤b≤р-1 — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b является количеством единиц в данном разряде, а число k – количеством единиц переноса в следующий разряд. Пример. Выполнить сложение двоичных чисел: X =1011, 12, Y =1101, 012 и Z =11101, 112. Ответ. 110110, 12

Арифметические операции в позиционных системах счисления При вычитании чисел в р-ой системе счисления цифры вычитаются поразрядно. Если в рассматриваемом разряде необходимо от меньшего числа отнять большее, то занимается единица следующего (большего) разряда. Занимаемая единица равна р еданицам этого разряда (аналогично, когда мы занимаем единицу в десятичной системе счисления, то занимаемая единица равна 10). Пример. Найти разность двоичных чисел: 11001001, 012 -111011, 112. Ответ. 10001101, 12.

Задание 1. Как представить число 4910 в двоичной системе счисления? 1) 1010012 2) 1100012 3) 1001012 4) 1000112 2. Какое из чисел следует за числом 478 в восьмеричной системе счисления? 1) 378 2) 508 3) 518 4) 578 3. Чему равна сумма чисел х и y при х = 1012, у = 1012? 1) 1011012 2) 110112 3) 10102 4) 1012

Задание 4. Чему равна сумма чисел x и y при x = 100112, y = 2316, записанная в двоичной системе счисления? 5. Чему равна разность чисел 1010112 – 11012, записанная в десятичной системе счисления? 6. Во сколько раз сократится количество цифр в записи числа, состоящего из двенадцати цифр в двоичной системе счисления, если его перевести в восьмеричную систему счисления?

Задание 7. Дано х = 2510, у = 3410. Какое число z, записанное в двоичной системе, удовлетворяет условию х < z < у? 1) 101112 2) 1000102 3) 111112 4) 110012 8. Чему равно количество цифр в двоичной записи десятичного числа, которое можно представить в виде 110 + 810 + 1610? 1) 5 2) 6 3) 3 4) 4 9. Сумму чисел 1112 + 110002 + 110118 перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью значащую цифру слева.

Задание 10. Укажите через запятую в порядке возрастания все системы счисления, в которых запись числа 710 оканчивается на 1. 11. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 16 записывается в виде 100 ю Укажите это основание. 12. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которых запись числа 24 трехзначна. 13. В системе счисления с некоторым основание число 7510 записывается в виде 203. Укажите это основание.