Системы n линейных уравнений с n переменными Пусть

Системы n линейных уравнений с n переменными Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т. е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а её определитель Δ=│А│называется определителем системы. Предположим, что │А│не равен нулю, тогда существует обратная матрица А-1. Умножая слева обе части матричного равенства на обратную матрицу А-1 получим: А-1 (АХ)= А-1 В. (А-1 А)Х =ЕХ =Х Решением системы уравнений методом обратной матрицы будет матрица-столбец: Х= А-1 В.

Метод Крамера Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δj – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j -го столбца столбцом свободных членов. Тогда если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера:

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида. Рассмотрим матрицу: эта матрица называется расширенной матрицей системы (1), так как в нее кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

Теорема Кронекера. Капелли. 1. 2. • Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. • Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т. е. r = n, то система (1) определенная и имеет единственное решение; • Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т. е. r < n, то система (1) - неопределённая и имеет бесконечное множество решений. • Пусть r

Система m линейных уравнений с n переменными r=m Уравнения системы независимые r

N- мерный вектор и векторное пространство • N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х1, х2, …хn) , где хi – i-я компонента вектора Х. • Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т. е. Х=У, если xi=yi, i=1…n.

N- мерный вектор и векторное пространство • Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор Z=X+Y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т. е. zi=xi+yi , i=1…n. • Произведением вектора Х на действительное число λ называется вектор V=λX, компоненты которого равны произведению λ на соответствующие компоненты вектора Х, т. е. vi=λxi , i=1…n.

Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам: 1. Х + У = У + Х; (коммутативное свойство суммы) 2. (Х + У) + Z = X + (Y + Z); (ассоциативное свойство суммы) 3. a(b. X) = (ab)X; 4. a(X + Y) = a. X + a. Y; (дистрибутивное свойство) 5. (a + b)X = a. X + b. X; 6. Существует нулевой вектор О=(0, 0, … 0) такой, что Х + О = Х, для любого Х; 7. Для любого вектора Х существует противоположный вектор (-Х) такой, что Х + (-Х) = О; 8. 1∙Х = Х для любого Х.

Определение Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведённым выше свойствам, называется векторным пространством.

Определение Скалярным произведением двух векторов и Свойства скалярного произведения: называется число

• Определение Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее свойствам (1 -5) называется Евклидовым пространством. • Длиной (нормой) вектора Х называется корень квадратный из его скалярного квадрата.

Угол φ между двумя векторами определяется по формуле: Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

• Векторы n-мерного Евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна 1, т. е. если

Размерность и базис векторного пространства • Вектор Am называется линейной комбинацией векторов A 1, A 2, . . , Am-1 векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: Am = λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + …+ λm-1 Am-1 (1)

Размерность и базис векторного пространства • Векторы A 1, A 2, . . Am векторного пространства R, называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ 1, λ 2, …λm, не равные одновременно нулю, что λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + … + λm Am =0. (2) • В противном случае векторы A 1, A 2, . . Am называются линейно независимыми. Из приведенных выше определений следует, что векторы A 1, A 2, . . Am линейно независимы, если равенство (2) справедливо лишь при λ 1=λ 2=…=λm=0, и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел λi (i=1. . . n) отлично от нуля.

Векторное пространство R, называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов уже являются зависимыми. • Число n называется размерностью векторного пространство R и обозначается dim(R). •

• Совокупность n линейно независимых векторов nмерного пространства R называется базисом. • Теорема. Каждый вектор Х векторного пространства R можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Переход к новому базису

Собственные векторы и собственные значения матрицы • Вектор Х , не равный нулю, называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что АХ = λХ. • Число λ называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору Х. • Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А.

Линейные операторы Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) A(x), действующий из в и записывают y=A(x).