Системы линейных уравнений Система из m уравнений

Системы линейных уравнений

Система из m уравнений с n неизвестными 2

Решение системы l Решением системы линейных уравнений называется такая упорядоченная совокупность n чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в верное равенство. 3

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение и несовместной, если она не имеет решений. 4

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений. 5

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. 6

В матричной форме: Матрица коэффициентов Столбец переменных свободных членов 7

Метод обратной матрицы l Пусть число уравнений равно числу неизвестных m=n l Тогда матрица системы будет квадратной. 8

Система из n линейных уравнений с n неизвестными 9

В матричной форме: Матрица коэффициентов Столбец переменных свободных членов 10

Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы l Решение такой системы можно найти методом обратной матрицы X=A-1 B l Необходимое условие – матрица должна быть невырожденная |A|≠ 0 12

Пример l Решить систему методом обратной матрицы: 13

Матрица системы 14

Обратная матрица 15

Решение 16

Ответ 17

Метод Крамера

Метод Крамера l Пусть Δ – определитель системы A, l Δj – определитель матрицы, получаемой из матрицы A заменой j-го столбца столбцом свободных членов. l Тогда, если Δ≠ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: 19

Формулы Крамера 20

Система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными 21

Умножим первое уравнение на а 22 а 12 Второе уравнение умножим на и вычтем из первого уравнения второе 22

Обозначим: 23

Аналогично получим: 24

Система уравнений будет иметь вид: 25

Если Δ≠ 0, то решение системы находится по формулам 26

lΔ – определитель системы lΔ 1, Δ 2 - вспомогательные определители системы. 27

Пример Решить систему методом Крамера: 28

вспомогательные определители системы: 29

Найдем решение системы по формулам Крамера: 30

Пример. Решить систему по формулам Крамера: 31

Решение. Вычислим определитель: 32

Вычисляем вспомогательные определители: Вместо первого столбца – столбец свободных членов 33

Вычисляем вспомогательные определители: Вместо второго столбца – столбец свободных членов 34

Вычисляем вспомогательные определители: Вместо третьего столбца – столбец свободных членов 35

Находим решения по формулам Крамера 36

Метод Гаусса

Метод Гаусса l - метод последовательного исключения переменных, l с помощью элементарных преобразований система приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида. l Затем последовательно, начиная с последних, находятся все переменные. 38

Система ступенчатого (треугольного) вида 39

Расширенная матрица системы l Преобразования Гаусса удобно проводить не с самой системой , а с матрицей коэффициентов, в которую дополнительно включен столбец свободных членов: 40

В матричной форме: Матрица коэффициентов Столбец переменных свободных 41 членов

Расширенная матрица 42

Пример. Решить систему по формулам Гаусса: 43

Расширенная матрица 44

Преобразуем ее к треугольному виду: 45

Находим решения: 46

Теорема Кронекера-Капелли l Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы r(A)=r(A|B) 47

Теорема l Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение. r(A)=r(A|B)=n 48

Теорема l Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений r(A)=r(A|B)

Теорема l Если ранг матрицы совместной системы неравен числу переменных, то система несовместна (решений не имеет. r(A|B)≠ r(A) 50

l При решении систем линейных алгебраических уравнений нет необходимости заранее вычислять ранги основной и расширенной матриц. Их определение производится автоматически при выполнении метода исключения Гаусса. 51

Пример. Решить систему методом Гаусса 52

Расширенная матрица системы. Разделим первую строчку на 2 (I: 2) 53

II-I; III+3 I; 54 IV+I

II: 2; III: 4; 55 IV: 4

III-II; IV-II 56

lr(A)=r(A|B)=2 -система совместна; ln=3 – число неизвестных; lr(A)=r(A|B)

пусть x 2=t. Восстановим систему: 58

Ответ: 59

Пример. Исследовать систему 60

Расширенная матрица. II+I(-2); III-I 61

III-II 62

r(A)=2; r(A|B)=3; r(A|B)≠ r(A))система несовместна 63

Система линейных однородных уравнений lрешение системы линейных однородных уравнений l. Фундаментальная система решений

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены ее равны нулю. 65

Однородная система всегда имеет решение l. Это решение называется тривиальным 66

Тривиальное решение l - является единственным решением, если r(A)=n. l. Если r(A)

l Система линейных неоднородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных r(A)

Пусть r(A)

Базисные переменные, зависящие от свободных переменных Значения свободных переменных 70

l. Выберем n - r частных решений однородной системы, полученных из общего решения следующим образом: полагаем одно из значений свободных переменных равным 1, а остальные равными 0 71

72

73

74

l Эти решения образуют фундаментальную систему решений однородной системы. 75

Найти фундаментальную систему решений 76

Матрица системы. II+Ix(-2); III+Ix(-3) 77

III-II 78

IIx(-1) 79

r(A)=2 n=4 n-r=4 -2=2 –число свободных переменных 80

Обозначим: x 3=t 1, x 4=t 2 lтогда 81

82

Общее решение системы уравнений 83

Фундаментальная система решений 84