Системы линейных уравнений Метод Жордана-Гаусса I Система из

Системы линейных уравнений. Метод Жордана-Гаусса I. Система из m линейных уравнений с n неизвестными в общем случае записывается так: a 11 x 1+a 11 x 2+…+a 1 nxn =b 1 a 21 x 2+a 22 x 2+…+a 2 nxn =b 2 (1) ……………… am 1 x 1+am 2 x 2+…+amnxn =bm Коэффициенты {aij} i=1, 2, …m, j=1, 2, …n, и свободные члены {bi} i=1, 2. . m, - заданные действительные числа. Первый индекс i в записи aij указывает на номер уравнения, второй – j – номер неизвестной. Решить систему (1) означает найти все её решения, т. е. все такие наборы чисел (x 1, x 2, …xn), которые при подстановке во все уравнения системы превращают каждое из них в верное равенство, или доказать, что решений нет. Система (1) называется: -совместной, если имеет хотя бы одно решение; -определенно совместной, если имеет только одно решение; -неопределенно совместной, если имеет более одного решения; -несовместной, если не имеет ни одного решения.

Пример с решениями. Пример 1. Решить линейную систему. x 1+2 x 2 -3 x 3 -x 4 = 10 -2 x 1 -3 x 2+7 x 3 = -23 2 x 1+6 x 2 -5 x 3 -5 x 4 = 18 x 1+3 x 3+4 x 4 = -11

Решение. Имеем m = 4, n = 4. Первый блок таблицы Гаусса данной системы имеет вид (св. ч. означает «свободные члены» уравнений системы, вертикальная черта заменяет знаки равенства): x 1 x 2 x 3 x 4 св. ч. 1 2 -3 -1 10 -2 -3 7 0 -23 2 6 -5 -5 18 -1 0 3 -4 -11 2 -2 1

1. Выполним первую интеграцию, т. е. получим первый единичный столбец, выбирая в качестве ведущего коэффициента a 11 = 1 (в таблице он обведен кружком). Для этого над строками таблицы (над уравнениями системы) выполним следующие действия (они обозначены справа от таблицы): 1) первую строку сохраняем (переписываем); 2)первую строку, умноженную на 2, прибавим ко второй; 3)первую строку, умноженную на -2, прибавим к третьей; 4)первую строку прибавим к четвертой. Получим второй блок таблицы.

x 1 1 0 0 0 x 2 2 1 2 2 x 3 -3 1 1 0 x 4 св. ч. -1 10 -2 -3 3 -3 -2 -5 -1 -1

2. Превратим в единичный третий столбец, в нем уже имеется один « 0» . Ведущий коэффициент a 23 = 1 обведен кружком. Далее: 1) вторую строку, умноженную на 3, прибавим к первой и запишем вместо первой строки; 2) перепишем вторую строку без изменения; 3) вторую строку, умноженную на -1, прибавим к третьей; 4) четвертую строку перепишем без изменения. Именно эти действия выражаются числами и стрелками, показанными справа от второго блока таблицы. Третий блок таблицы имеет вид:

x 1 x 2 x 3 x 4 св. ч. 1 5 0 -7 1 0 1 1 -2 -3 0 1 0 -1 1 0 2 0 -5 -1 -2

3. Следующая интеграция заключается в получении третьего единичного столбца. Для этого принимаем в качестве ведущего коэффициента a 23 = 1, и выполним следующие действия: третью строку, умноженную на -5, 1, -2, прибавим к первой, второй и четвертой строкам соответственно. Третью строку переписываем без изменений. Получаем четвертый блок: x 1 x 2 x 3 x 4 св. ч. 1 0 0 -2 -4 0 0 1 -1 -4 0 1 0 -1 1 0 0 0 -3 -3

4. Наконец, последнюю интеграцию выполним, выбирая в качестве ведущего коэффициента a 44 =-3. Четвертую строку разделим на -3. Остальные действия считаем очевидными. Получаем: x 1 x 2 x 3 x 4 св. ч. 1 0 0 0 -2 0 1 0 0 2 0 0 1 0 -3 0 0 0 1 1

5. После четырех интеграций получили таблицу, изображающую систему, разрешенную относительно всех неизвестных (r = m = n = 4): x 1 = -2, x 2 = 2, x 3 = -3, x 4 = 1 Запишем это также в виде: x = (-2, 2, -3, 1). Система однозначно совместна. Примечание. Подставьте эти значения неизвестных в данную систему и убедитесь, что получаются верные числовые равенства. Упражнения. 1. x 1+3 x 2 -5 x 3=-1 2 x 1 -x 2+3 x 3=4 3 x 1+2 x 2 -5 x 3=0 Ответ: x =(1, 1, 1) 2. x 1 -3 x 2+2 x 3 -3 x 4 -2 x 5=4 x 1 -x 2 -x 3 -x 4+x 5=1 x 1+2 x 2+x 4+3 x 5=-6 3 x 1 -2 x 2+x 3 -3 x 4+2 x 5=0 Ответ: система несовместна.

Упражнения: 1. 2 x 2 -x 3+2 x 4=-3 x 1+x 2+3 x 3=10 -2 x 1+x 2 -3 x 3+2 x 4=-12 3 x 1+2 x 2 -x 4=3 Ответ: (2, -1, 3, 1) 2. x 1 -2 x 2 -x 3+2 x 4=7 2 x 1 -x 2+3 x 3 -x 4 = 5 3 x 1 -3 x 2+2 x 3+x 4=10 Ответ: несовместна.