Системы линейных уравнений 1 2 3

Системы линейных уравнений 1

2

3

§ 1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (1) 4

Определение 1. Решением системы линейных уравнений называется совокупность значений неизвестных, которая при подстановке в систему обращает все уравнения в тождества Определение 2. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения 5

Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если решений больше чем одно Определение 4. Две системы называются эквивалентными, если каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот. 6

7

8

(2) 9

Матрица системы двух линейных уравнений 10

Определение. Квадратной матрицей второго порядка называется матрица, имеющая две строки и два столбца Определение. Элементами матрицы называются числа, составляющие матрицу 11

Определение. Главной диагональю квадратной матрицы называется совокупность элементов матрицы с одинаковыми индексами Определение. Побочной диагональю матрицы называется совокупность элементов, расположенных на второй диагонали 12

Определение. Определителем матрицы второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей 13

14

15

Теорема Крамера. Если определитель системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. В этом решении каждое неизвестное равно дроби, знаменатель которой равен определителю системы, а числитель - определителю матрицы, получающейся из матрицы системы заменой столбца коэффициентов при вычисляемом неизвестном столбцом из свободных членов системы. 16

Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными 17

Особые случаи при D = 0 1. Если хотя бы один из определителей или отличен от нуля, то система (1) несовместна. 2. Если оба определителя и равны нулю, то система (1) имеет бесконечное множество решений. 18

Пример. 19

Проверка 20

Пример. 21

Пример. где 22

Пример для самостоятельного решения 23

24

§ 2. Определители третьего порядка 25

Определение. Минором элемента матрицы третьего порядка называется определитель матрицы второго порядка, получающейся из данной матрицы вычеркиванием i-ой строки и k-гo столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Минор элемента обозначается символом 26

Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы третьего порядка называется число, равное произведению минора этого элемента на 27

Пример. 28

Определение. Определителем матрицы третьего порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения 29

Правило треугольника + – 30

Пример. Вычислить определитель двумя способами: по определению и по правилу треугольника 31

1 -й способ: 32

2 -й способ: 33

Пример. Вычислить определитель используя правило треугольника. 34

35

§ 3. Матрицы и определители высших порядков Определение. Матрицей n-го порядка называется прямоугольная таблица чисел имеющая n строк и n столбцов 36

Определение. Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получающейся из данной матрицы вычеркиванием i-ой строки и k-гo столбца, на пересечении которых находится этот элемент 37

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется число, равное произведению минора этого элемента на 38

Определение. Определителем матрицы n-го порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения 39

Пример. Вычислить определитель 40

§ 4. Основные свойства определителей Определение. Транспонированием матрицы называется операция, состоящая в получении из данной матрицы другой матрицы перестановкой каждой строки на место столбца с тем же номером 41

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы 42

Свойство 2. (Теорема разложения). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Следствие (Tеорема замещения). Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольные числа равна определителю матрицы, получающейся из данной заменой рассматриваемой строки (столбца) на строку (столбец) из этих чисел. 43

Пример. Вычислить определитель разложив его по элементам первого столбца. 44

Решение. 45

Свойство 3. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на одно и то же число k, то определитель такой матрицы будет равен произведению этого числа и определителя исходной матрицы. 46

Доказательство: Следствие. Если все элементы какойлибо строки (столбца) равны нулю, то определитель такой матрицы равен нулю. 47

Свойство 4. Если в матрице переставить любые две строки (два столбца), то определитель такой матрицы будет равен определителю исходной матрицы с противоположным знаком. Следствие. Если матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю. 48

Свойство 5. Если у матрицы две строки (столбца) имеют пропорциональные элементы, то ее определитель равен нулю. 49

Доказательство. Пусть, например, в матрице 3 -го порядка пропорциональны элементы первой и второй строки: где k - произвольное число. Тогда 50

Свойство 6. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю. 51

Свойство 7. Определитель матрицы, у которой все элементы какойлибо строки (столбца) представляют собой сумму двух слагаемых, равен сумме двух определителей матриц, получаемых из данной матрицы заменой рассматриваемой строки (столбца) на строки (столбцы), состоящие, соответственно, из первых и вторых слагаемых. 52

53

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же произвольное число. 54

Доказательство: 55

Пример. Вычислить определитель + *(-3)+ 56

Пример. Вычислить определитель 57

Решение Первый способ: *(-2)+ *3+ = + *(-4)+ *(-1)+ 58

Второй способ 59

§ 5. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. 60

Определение. Матрицей системы (1) называется квадратная матрица третьего порядка, элементами которой являются коэффициенты системы 61

62

63

64

Теорема Крамера (для системы трех уравнений c тремя неизвестными) Если определитель системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. В этом решении каждое неизвестное равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числителем - определитель матрицы, получающейся из матрицы системы заменой k-го столбца столбцом из свободных членов. 65

§ 6. Система n линейных уравнений с n неизвестными 66

Определение. Матрицей системы n линейных уравнений с n неизвестны-ми называется квадратная матрица n-го порядка, элементами которой являются коэффициенты системы 67

Теорема Крамера для системы n линейных уравнений c n неизвестными 1. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. В этом решении каждое неизвестное равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числителем – определитель матрицы, получающейся из матрицы системы заменой k-го столбца столбцом из свободных членов. 68

2. Если хотя бы один из определителей отличен от нуля, то система уравнений несовместна. 3. Если все определители равны нулю, то система уравнений либо неопределенна и эквивалентна системе из меньшего числа ее уравнений, либо несовместна. 69

Пример 1. Решить систему уравнений 70

Решение. 71

72

73

Пример 2. Решить систему уравнений 74

Решение. система несовместна 75

Пример 3. Решить систему уравнений 76

Решение. 77

Умножим обе части первого уравнения на 3 Это противоречит третьему уравнению. Система несовместна. 78

Пример 4. Решить систему уравнений 79

Решение. 80

Умножив первое уравнение на 2, получим второе уравнение системы. Данная система равносильна системе двух уравнений и имеет бесконечное множество решений, то есть неопределенна. 81

Решение примеров. Пример 1. Вычислить определитель 82

Решение. 83

Пример 2. При каких значениях a обращается в нуль определитель Решение. Ответ. 84

Пример 3. При каких значениях x, y, z определитель Вандермонда равен нулю? Решение. 85

Пример 4. Вычислить определитель 86

Пример 5. Вычислить определитель 87

§ 7 Системы линейных однородных уравнений Определение. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член в этом уравнении равен нулю. Система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имеет вид 88

Определение. Нулевым (тривиальным) решением системы (1) называется решение Определение. Решение системы (1) отличное от нулевого называется ненулевым. D – определитель системы (1). 89

• Теорема 1. (Необходимые и достаточные условия наличия ненулевых решений однородной системы). • Для того, чтобы система линейных однороных уравнений с неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы D был равен нулю. При этом система эквивалентна системе из меньшего числа ее уравнений и имеет бесконечное множество решений. 90

Определение. Рангом квадратной матрицы n-го порядка называется число r такое, что среди миноров rго порядка данной матрицы имеется, по крайней мере, один, отличный от нуля, а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю. Теорема 2. Система п линейных однородных уравнений с п неизвестными эквивалентна системе из ее уравнений, где - ранг матрицы системы. 91

Пример 1. Найти все решения системы Решение. 92

Пример 2. Найти все решения системы. Решение. 93

где 94