Скачать презентацию Системы линейных дифференциальных уравнений Системы линейных дифференциальных Скачать презентацию Системы линейных дифференциальных уравнений Системы линейных дифференциальных

Lection_20.ppt

  • Количество слайдов: 16

Системы линейных дифференциальных уравнений Системы линейных дифференциальных уравнений

Системы линейных дифференциальных уравнений. n n n Определение 1. Нормальная система Д. У. называется Системы линейных дифференциальных уравнений. n n n Определение 1. Нормальная система Д. У. называется линейной, если функции входящие в правые части, линейны относительно искомых функций : Определение 2. Если все коэффициенты постоянны, то система называется линейной системой с постоянными коэффициентами.

Системы линейных дифференциальных уравнений. n Определение 3. n Система линейных уравнений называется неоднородной, если Системы линейных дифференциальных уравнений. n Определение 3. n Система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля. n Определение 4. n n n Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены тождественно равны нулю:

Системы линейных дифференциальных уравнений. n Векторный вид линейной системы. n Обозначим: n Система уравнений Системы линейных дифференциальных уравнений. n Векторный вид линейной системы. n Обозначим: n Система уравнений примет вид: n В случае постоянных коэффициентов:

Системы линейных дифференциальных уравнений. n n Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Рассмотрим систему Системы линейных дифференциальных уравнений. n n Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Рассмотрим систему Пусть - частные решения системы Д. У.

Системы линейных дифференциальных уравнений. n Определение. n В случае систем Д. У. определителем Вронского Системы линейных дифференциальных уравнений. n Определение. n В случае систем Д. У. определителем Вронского для функций назовем определитель n Фундаментальной системой решений (ФСР) n n n для линейной однородной системы Д. У. называются N частных решений системы Д. У. , для которых

Системы линейных дифференциальных уравнений. n Теорема (о структуре общего решения системы ЛОДУ). n Общее Системы линейных дифференциальных уравнений. n Теорема (о структуре общего решения системы ЛОДУ). n Общее решение системы ЛОДУ имеет вид n где n - ФСР системы Д. У. , - произвольные постоянные.

Системы линейных дифференциальных уравнений. n n n Отыскание ФСР. Пусть вектор-функция является решением системы Системы линейных дифференциальных уравнений. n n n Отыскание ФСР. Пусть вектор-функция является решением системы ЛОДУ

Системы линейных дифференциальных уравнений. n Определение. n Алгебраическое уравнение n соответствующее данной системе ЛОДУ, Системы линейных дифференциальных уравнений. n Определение. n Алгебраическое уравнение n соответствующее данной системе ЛОДУ, называется характеристическим уравнением. n Обратное утверждение. n n n Если – корень характеристического уравнения, то найдется такое решение алгебраической системы , что вектор-функция будет решением системы ЛОДУ.

Системы линейных дифференциальных уравнений. n n ФСР в случае различных действительных корней. Системы линейных дифференциальных уравнений. n n ФСР в случае различных действительных корней.

Системы линейных дифференциальных уравнений. n Отыскание ФСР для системы двух Д. У: n Характеристическое Системы линейных дифференциальных уравнений. n Отыскание ФСР для системы двух Д. У: n Характеристическое уравнение:

Системы линейных дифференциальных уравнений. n Пусть - действительные корни характеристического уравнения; n пусть n Системы линейных дифференциальных уравнений. n Пусть - действительные корни характеристического уравнения; n пусть n - соответствующие собственные векторы алгебраической системы n Тогда вектор-функции n образуют ФСР системы Д. У. n Общее решение имеет вид

Системы линейных дифференциальных уравнений. n Пример. n Решить систему Д. У: n Решение. n Системы линейных дифференциальных уравнений. n Пример. n Решить систему Д. У: n Решение. n 1. n 2. n 3.

Системы линейных дифференциальных уравнений. n 4. n 5. n 6. n 7. Системы линейных дифференциальных уравнений. n 4. n 5. n 6. n 7.

Системы линейных дифференциальных уравнений. n Метод исключения неизвестных функций. n Система Д. У. при Системы линейных дифференциальных уравнений. n Метод исключения неизвестных функций. n Система Д. У. при некоторых дополнительных условиях может быть сведена к одному Д. У. высшего порядка. n Пример. n Решить систему Д. У. : n n Решение. 1. Из первого уравнения n 2. Из второго уравнения n 3. n Из первого уравнения

Системы линейных дифференциальных уравнений. n 4. Решим уравнение n 5. Найдем решение Ответ: : Системы линейных дифференциальных уравнений. n 4. Решим уравнение n 5. Найдем решение Ответ: :