Системы исчислений. Двоичная система исчислений.

Системы исчислений. Двоичная система исчислений. Виды систем исчислений Первые 32 числа в различных системах исчислений Нахождение двоичного эквивалента числа десятичной системы Нахождение десятичного эквивалента числа двоичной системы Сложение чисел двоичной системы Вычитание чисел двоичной системы Умножение и деление чисел двоичной системы Подготовил Дихамбеков Ж. К. Государственный медицинский университет города Семей Кафедра медицинской физики и информатики Заведующий кафедрой, старший преподаватель 2009 год Нажать Enter

Виды систем исчислений В десятичной системе исчислений (в системе исчислений используемой нами ежедневно) для обозначения числа используются 10 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Например: число сорок три целых восемдесять две сотых в десятичной системе будет 43, 82 В двоичной системе исчислений для обозначения числа используются две арабские цифры: 0, 1 Например: число сорок три целых восемдесять две сотых в двоичной системе будет ≈ 101011, 11011 В восьмеричной системе исчислений для обозначения числа используются 8 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Например: число сорок три целых восемдесять две сотых в восьмеричной системе будет ≈ 53, 64365 В шестнадцатеричной системе исчислений для обозначения числа используются 10 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 6 латинских букв A, B, C, D, E, F Например: число сорок три целых восемдесять две сотых в шестнадцатеричной системе будет ≈ 2 B, D 05 B 7 Систему исчисления числа приято указывать в виде индекса числа: 43, 8210 ≈ 101011, 110112 ≈ 53, 643658 ≈ 2 B, D 05 B 716 Нажать Enter

Первые 32 числа в различных системах исчислений Система исчислений Десяте- Двоич Восьме- Шестнадца Десяте- Двоич- Восьме- Шестнадца- ричный -ный ричный - теричный ричный теричный 0 0 17 10001 22 11 1 1 18 10010 23 12 2 10 2 19 10011 24 13 3 11 3 20 10100 25 14 4 100 4 21 10101 26 15 5 101 5 22 10110 27 16 6 110 6 23 10111 30 17 7 111 7 24 11000 31 18 8 1000 10 8 25 11001 32 19 9 1001 11 9 26 11010 33 1 A 10 1010 12 A 27 11011 34 1 B 11 1011 13 B 28 11100 35 1 C 12 1100 14 C 29 11101 36 1 D 13 1101 15 D 14 1110 16 E 30 11110 37 1 E 15 1111 17 F 31 11111 41 1 F 16 10000 21 10 32 100000 42 20 Нажать Enter

Нахождение двоичного эквивалента числа десятичной системы Перевод числа 357, 79 десятичной системы исчисления в число двоичной системы можно осуществить путем деления целой части на 2 и умножением на 2 дробной части 1) Результат деления числа 357 на 2 с Для нахождения двоичного эквивалента дробной части десятичного точностью до целых будет 178 и остается числа только дробная часть числа умножается на 2. остаток 1 (показан красным цветом) При этом обязательно должна быть известна точность задания двоичного эквивалента, т. е. число знаков после запятой. 2) Результат деления числа 178 на 2 с точностью до целых будет 89 и остатка не При умножении целые части чисел выделяются, так как они и будет, поэтому пишется 0 (показан образуют двоичный эквивалент. красным цветом) При нахождении двоичного эквивалента с 5 -тью знаками после 3) Результат деления числа 89 на 2 с запятой для десятичного числа 0, 79 выполняются действия: точностью до целых будет 44 и остается 1) Произведение 0, 79 на 2 будет 1 , 58. Целые остаток 1 (показан красным цветом) части чисел 0, 79 и 1, 58 написать отдельно 4) Результат деления числа 44 на 2 с (выделено красным цветом) точностью до целых будет 22 и остатка не 2) Произведение на 2 дробной части 0, 58 будет, поэтому пишется 0 (показан полученного результата (1, 58) даст 1, 16. красным цветом) Написать отдельно целую часть этого числа (выделено красным цветом) 5) Результат деления числа 22 на 2 с точностью до целых будет 11 и остатка не 3) Произведение на 2 дробной части 0, 16 будет, поэтому пишется 0 (показан полученного результата (1, 16) даст 0, 32. красным цветом) Написать отдельно целую часть этого числа Последней операцией (выделено красным цветом). 6) Результат деления числа 11 на 2 с деления обязательно точностью до целых будет 5 и остается должно быть деление 4) Произведение на 2 дробной части 0, 32 остаток 1 (показан красным цветом) 1 на 2 полученного результата (0, 32) даст 0, 64. Написать отдельно целую часть этого числа 7) Результат деления числа 5 на 2 с За двоичный экви- (выделено красным цветом). точностью до целых будет 2 и остается валент принимается остаток 1 (показан красным цветом) последовательность 5) Произведение на 2 дробной части 0, 64 полученного результата остатков с послед- (0, 64) даст 1, 28. Написать отдельно целую часть этого числа 8) Результат деления числа 2 на 2 с него к начальному, (выделено красным цветом). точностью до целых будет 1 и остатка не т. е. снизу вверх. Последовательность целых, взятых с начального к последнему, т. е. будет, поэтому пишется 0 (показан сверху вниз, образует двоичный эквивалент дробной части красным цветом) десятичного числа 9) Результат деления числа 1 на 2 с 35710 = 1011001012 0, 7910 = 0, 110012 точностью до целых будет 0 и остается остаток 1 (показан красным цветом) 357, 7910 = 101100101, 110012 Нажать Enter

Нахождение десятичного эквивалента числа двоичной системы При определении десятичного эквивалента двоичного числа 101100101, 11001 каждой цифре (нулю и единице) этого числа дается разряд в виде целого числа. Цифре перед запятой дается разряд равный нулю и разряд влево увеличивается, а вправо уменьшается. Для целой части разряд положительное число, для дробной части - отрицательное число: Разряд 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 101100101, 110012 Сумма произведений каждой цифры двоичного числа на два в степени равной разряду этой цифры дает десятичный эквивалент этого числа: 1*28+0*27+1*26+1*25+0*24+0*23+1*22+0*21+1*20+1*2 -1+1*2 -2+0*2 -3+0*2 -4+1*2 -5= = 256 + 0 + 64 + 32 + 0 + 4 + 0 + 1 + 0, 5 + 0, 25 + 0 + 0, 03125 = = 357, 78125 Число 101100101, 110012 было ранее установлено как двоичный эквивалент десятичного числа 357, 7910. При обратном переводе определяется, что двоичный эквивалент является числом приближенным (равным или меньшим) числу в десятичной системе исчисления. Значения степени числа 2, используемых при данном вычислении n 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 2 n 256 128 64 32 16 8 4 2 0, 5 0, 25 0, 125 0, 0625 0, 03125 Нажать Enter

Сложение чисел двоичной системы При сложении чисел в двоичной Результат сложения цифр 1 и 0 с разрядом -1 и 1 в памяти равен 10 (правило 4). 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для системе исчисления нужно сложения с цифрами следующего разряда (показано красным цветом). помнить следующие правила : Результат сложения цифр 1 и 0 с разрядом 0 и 1 в памяти равен 10 (правило 1) 0 + 0 = 0 4). 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с 2) 0 + 1 = 1 цифрами следующего разряда (показано красным цветом). 3) 1 + 0 = 1 Результат сложения цифр 1 и 1 с разрядом 1 и 1 в памяти равен 11 (правило 5). 1 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с 4) 1 + 1 = 10 цифрами следующего разряда (показано красным цветом). 5) 1 + 1 = 11 Результат сложения цифр 0 и 1 с разрядом 2 и 1 в памяти равен 10 (правило 4). 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с Сложение двоичных чисел цифрами следующего разряда (показано красным цветом). 10110011, 10101 и 10110, 01110 Результат сложения цифр 0 и 0 с разрядом 3 и 1 в памяти равен 1 (правило Эти числа надо написать так, чтобы знаки дроби 2). 1 пишется как результат. “запятая” были расположены друг под другом. Результат сложения цифр 1 и 1 с разрядом 4 равен 10 (правило 4). 0 Сложение производится справа налево для цифр с пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с цифрами одинаковыми разрядами. следующего разряда (показано красным цветом). Цифре слева от запятой присваивается разряд нуль (0). Результат сложения цифр 1 с разрядом 5 и 1 в памяти равен 10 (правило 4). Влево от запятой разряд возрастает (знак 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с цифрами положителен), впаво от запятой разряд убывает (знак следующего разряда (показано красным цветом). отрицателен). Результат сложения цифр 0 с разрядом 6 и 1 в памяти равен 1 (правило 2). Результат сложения цифр 1 и 0 с разрядом -5 равен 1 пишется как результат. 1 (правило 3). Нет цифры которую нужно сложить с 1 разрядом 7, поэтому 1 Результат сложения цифр 0 и 1 с разрядом -4 равен записывается как результат. 1 (правило 2). Результат сложения цифр 1 и 1 с разрядом -3 равен 10 (правило 4). 0 пишется как результат, а 1 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 011 0 0 11 , 1 0 1 сохраняется в памяти для сложения с цифрами следующего разряда (показано красным цветом). Результат сложения цифр 0 и 1 с разрядом -2 (и 1 в памяти) равен 10 (правило 4). 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с + 1 0 1 10 , 01 1 1 0 цифрами следующего разряда (показано красным цветом). Нажать Enter

Вычитание чисел двоичной системы При вычитании чисел в двоичной Результат вычитания 1 от 1 цифр с разрядами -2 равен 0 (правило 3). системе исчисления нужно При вычитании 1 от 0 (чисел с разрядом -1) нужно в уменьшаемом занять 1 от помнить следующие правила: числа с разрядом 0, где останется 0. Тогда в уменьшаемом вместо цифры 0 с разрядом -1 будет 10 (показано красным светом) и вычитание от него 1 даст 1) 0 - 0 = 0 результат 1 (правило 4) 2) 1 - 0 = 1 Результат вычитания 0 от 0 цифр с разрядами 0 равен 0 (правило 1). 3) 1 - 1 = 0 Результат вычитания 1 от 1 цифр с разрядами 1 равен 0 (правило 3). 4) 10 - 1 = 1 При вычитании 1 от 0 (чисел с разрядом 2) нужно в уменьшаемом занять 1 от Вычитание двоичных чисел от числа с разрядом 4, где останется 0. Тогда в уменьшаемом вместо цифры 0 с разрядом 3 будет 10, здесь останется 1, так как от него занимается 1 для цифры 1010011, 10101 числа 11110, 11110 разрядом 2, где будет 10 (показано красным цветом) и вычитание от него 1 даст Эти числа надо написать так, чтобы знак дроби результат 1 (правило 4) “запятая” были расположены друг под другом. Результат вычитания 1 от 1 цифр с разрядами 3 равен 0 (правило 3). Вычитание производится справа налево для цифр с одинаковыми разрядами. При вычитании 1 от 0 (чисел с разрядом 4) нужно в уменьшаемом занять 1 от числа с разрядом 6, где останется 0. Тогда в уменьшаемом вместо цифры 0 с Цифре слева от запятой присваивается разряд нуль (0). разрядом 5 будет 10, здесь останется 1, так как от него занимается 1 для цифры Влево от него разряд возрастает (знак положителен), разрядом 4, где будет 10 (показано красным цветом) и вычитание от него 1 даст вправо от него разряд убывает (знак отрицателен). результат 1 (правило 4) Результат вычитания 0 -я от 1 цифр с разрядами -5 равен 1 (правило 2). В цифрах 5 -го разряда нет вычитаемого от 1 поэтому в результат вычитания записывается 1. При вычитании 1 от 0 (чисел с разрядом -4) нужно в вычитаемом занять 1 от числа с разрядом -3, где останется 0. Тогда в уменьшаемом вместо цифры 0 с разрядом -4 будет 10 (показано красным светом) и Разряд 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 вычитание от него 1 даст результат 1 (правило 4) При вычитании 1 от 0 (чисел с разрядом -3) нужно в уменьшаемом занять 1 от числа с разрядом -1, где останется 0. Тогда в уменьшаемом вместо цифры 0 с разрядом -2 будет 10, здесь останется 1, так как от него занимается 1 для цифры разрядом 0, где будет 10 (показано корасным цветом) и вычитание от него 1 даст результат 1 (правило 4) Нажать Enter

Умножение и деление чисел двоичной системы В двоичной системе исчисления при В двоичной системе исчисления при выполнений действии умножения нужно выполнений действии деления нужно помнить следующие положения : помнить следующие положения : 1) 0 * 0 = 0 5) 0 + 0 = 0 1) 0 * 0 = 0 5) 0 - 0 = 0 2) 0 * 1 = 0 6) 0 + 1 = 1 2) 0 * 1 = 0 6) 1 - 0 = 1 3) 1 * 0 = 0 7) 1 + 0 = 1 3) 1 * 0 = 0 7) 1 - 1 = 0 4) 1 * 1 = 1 8) 1 + 1 = 10 4) 1 * 1 = 1 8) 10 - 1 = 1 Умножение чисел двоичной системы исчисления производятся по Произведение чисел двоичной системы исчисления производятся привычным правилам десятичной системы исчисления. по привычным правилам десятичной системы исчисления. Если разряд множителя увеличивается на единицу, то Запятая у делимого сдвигается вправо на столько мест на сколько произведение смещается на одно место влево сдвигается запятая у делителя, чтобы он стал целым числом Количество цифр после запятой в результате произведения равно сумме количеств цифр после запятой у обоих множителей Деление 110010, 1012 на 101, 0112 Умножение 110011, 1012 и 110, 1012 1 1 0 0 1 1, 1 0 1 * 1 1 0, 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 Деление можно продолжать дальше мы посчитали достаточным точность до пяти знаков после запятой Нажать Enter