Скачать презентацию Системный анализ Метод Анализа Иерархий Комшилова К О Скачать презентацию Системный анализ Метод Анализа Иерархий Комшилова К О

МАИ_метод_анализа_иерархий.ppt

  • Количество слайдов: 42

Системный анализ. Метод Анализа Иерархий Комшилова К. О. 2012 Системный анализ. Метод Анализа Иерархий Комшилова К. О. 2012

Метод анализа иерархий l l Метод анализа иерархий – наиболее эффективный метод решения задач Метод анализа иерархий l l Метод анализа иерархий – наиболее эффективный метод решения задач Теории Принятия Решений в случае определенности Этапы решения задачи принятия решений методом анализа иерархии: 1. 2. 3. 4. Формализация задачи в виде иерархической структуры: цель, критерии , альтернативы Эксперты или ЛПР выполняют попарные сравнения элементов каждого уровня. Результаты сравнений представляют как совокупность матриц парных или попарных сравнений На основе полученных матриц парных сравнений вычисляются коэффициенты важности для элементов каждого уровня. При этом проверяют согласованность суждений экспертов при помощи индекса согласованности Вычисляется итоговый вес каждой альтернативы и определяется наилучшая альтернатива.

Построения иерархии l l l На верхней ступени иерархии находится цель. С точки зрения Построения иерархии l l l На верхней ступени иерархии находится цель. С точки зрения модели она не несет смысловой нагрузки Вторая часть это иерархия критериев. В частном случае может быть один уровень критериев, а может быть целая иерархия критериев. Иерархия необязательно может быть симметричной На самом нижнем уровне иерархии находятся альтернативы

Пример построения иерархии 1. 2. На верхней ступени иерархии стоит цель: Выбор кандидата Группа Пример построения иерархии 1. 2. На верхней ступени иерархии стоит цель: Выбор кандидата Группа 1 и Группа 2 – это 2 независимые комиссии по оценке кандидатов. Можно их рассматривать как критерии первого уровня иерархии подцели. При этом критерии «образование» и «опыт» для каждой Группы имеют свою значимость

Построение матрицы парных сравнений (1) l l Методы парных сравнений используются для нахождения весов Построение матрицы парных сравнений (1) l l Методы парных сравнений используются для нахождения весов (приоритетов) критериев и оценок альтернатив Если дано n объектов a 1, a 2, …. an. И для каждого элемента определен его вес wi и и выполняется условие нормировки w 1+w 2+…wn=1. Тогда можно построить матрицу относительных весов

Построение матрицы парных сравнений (2) l l l Каждый элемент vij матрицы относительных весов Построение матрицы парных сравнений (2) l l l Каждый элемент vij матрицы относительных весов показывает отношение i-ого элемента к j-му. Все элементы матрицы >0 Элементы матрицы расположены симметрично относительно главной диагонали Элемент vij обратен элементу vji

Построение матрицы парных сравнений (3) l l Матрица V является совместной, т. е. для Построение матрицы парных сравнений (3) l l Матрица V является совместной, т. е. для всех элементов матрицы выполняется равенство: Число n является собственным числом матрицы, а вектор собственный вектор матрицы, тогда справедливо:

Построение матрицы парных сравнений (4) l l l Матрица V имеет только два собственных Построение матрицы парных сравнений (4) l l l Матрица V имеет только два собственных числа 0 и n, тогда, обозначив имеем Данные рассуждения справедливы, если веса (вектор заданы заранее ). На практике эти веса необходимо определить. Веса – это значимость объектов, альтернатив

Построение матрицы парных сравнений (5) l Как решается? Эксперты (лица, которые знакомы с данной Построение матрицы парных сравнений (5) l Как решается? Эксперты (лица, которые знакомы с данной предметной областью) заполняют матрицу попарных сравнений, определяя, во сколько одна альтернатива значимее другой. Полученная матрица называется матрицей попарных сравнений

Построение матрицы парных сравнений (6) l Достаточно выполнить только n(n-1)/2 сравнений, чтобы, например, заполнить Построение матрицы парных сравнений (6) l Достаточно выполнить только n(n-1)/2 сравнений, чтобы, например, заполнить все элементы выше диагонали. Остальные элементы находятся из соотношения vij=1/vji

Построение матрицы парных сравнений (7) l l Как сравнивать элементы? Предлагается использовать шкалу {1/9, Построение матрицы парных сравнений (7) l l Как сравнивать элементы? Предлагается использовать шкалу {1/9, 1/8, …, 1/2, 1, 2, 3, …. , 8, 9} – – – 1 – равная важность 3 - слабое превосходство 5 - сильное превосходство 7 – очень сильное превосходство 9 – абсолютное превосходство 2, 4, 6, 8 – промежуточные случаи

Построение матрицы парных сравнений (8) l Для получения вектора W необходимо найти собственные числа Построение матрицы парных сравнений (8) l Для получения вектора W необходимо найти собственные числа матрицы V, т. е. решить систему: l После нахождения собственного числа матрицы можно вычислить собственный вектор, а затем нормализовать его так, чтобы выполнялось условие: w 1+w 2+…. +wn =1

Построение матрицы парных сравнений (9) l 1. 2. 3. Замечания: На практике свойство совместности Построение матрицы парных сравнений (9) l 1. 2. 3. Замечания: На практике свойство совместности не удовлетворяется Максимальное собственное значение больше n Поэтому для оценки того, что матрица парных сравнений удовлетворяет условию совместности вводят индекс согласованности

Индекс согласованности (1) l ИС - количественная оценка противоречивости результатов сравнений. Индекс согласованности Индекс согласованности (1) l ИС - количественная оценка противоречивости результатов сравнений. Индекс согласованности не зависит от шкал сравнений, но зависит от количества парных сравнений. Индекс согласованности – положительное число. Чем меньше противоречий в сравнениях, тем меньше значение индекса согласованности. При использовании способа сравнений с эталоном значение индекса согласованности равно нулю.

Индекс согласованности (2) l l Насколько плоха согласованность суждений для определенной задачи, можно оценить Индекс согласованности (2) l l Насколько плоха согласованность суждений для определенной задачи, можно оценить путем сравнения индекса согласованности (ИС) и случайного индекса согласованности (СИ). Случайным индексом согласованности (СИ) называют индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратносимметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов.

Случайный индекс согласованности Средние значения индекса случайной согласованности (СИ) для случайных матриц порядка от Случайный индекс согласованности Средние значения индекса случайной согласованности (СИ) для случайных матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок

Отношение согласованности l Отношение индекса согласованности (ИС) к среднему значению случайного индекса согласованности (СИ) Отношение согласованности l Отношение индекса согласованности (ИС) к среднему значению случайного индекса согласованности (СИ) называется отношением согласованности (ОС): l Отклонение от согласованности считается приемлемым, если: l Для матриц порядка n=3 желательно выполнение условия , а для матриц порядка n=4

Пример. Матрица парных сравнений (1) Пусть имеется матрица парных сравнений: Пример. Матрица парных сравнений (1) Пусть имеется матрица парных сравнений:

Пример. Матрица парных сравнений (2) l Чтобы найти максимальное собственное число (вещественное), необходимо решить Пример. Матрица парных сравнений (2) l Чтобы найти максимальное собственное число (вещественное), необходимо решить уравнение: l Единственный вещественный корень уравнения l Индекс согласованности l Отношение согласованности: l Отношение согласованности не превышает 0. 05, следовательно, матрица согласована

Пример. Матрица парных сравнений (3) l Собственный вектор, соответствующий данному числу равен: W = Пример. Матрица парных сравнений (3) l Собственный вектор, соответствующий данному числу равен: W = {0. 91, 0. 35, 0. 19} Нормированный вектор будет равен: w* = { 0. 62, 0. 24, 0. 13} Замечание: Для получения нормированного вектора используем следующую формулу: Например,

Метод Саати l Томас Саати предложил следующий метод вычисления собственного вектора: Метод Саати l Томас Саати предложил следующий метод вычисления собственного вектора:

Пример метода Саати l Используя метод Саати, имеем: l После нормализации: w* = { Пример метода Саати l Используя метод Саати, имеем: l После нормализации: w* = { 0. 624, 0. 238, 0. 136}

Пример применения Метода Анализа Иерархий (1) l Пусть имеются две независимые группы экспертов, оценивающих Пример применения Метода Анализа Иерархий (1) l Пусть имеются две независимые группы экспертов, оценивающих кандидатов.

Пример применения Метода Анализа Иерархий (2) l Матрица парных сравнений по критерию «образование» Тогда Пример применения Метода Анализа Иерархий (2) l Матрица парных сравнений по критерию «образование» Тогда приоритеты кандидатов по данному критерию равны l Матрица парных сравнений по критерию «опыт» Тогда приоритеты кандидатов по данному критерию равны

Пример применения Метода Анализа Иерархий (3) l Построим матрицу парных сравнений для критериев «образование» Пример применения Метода Анализа Иерархий (3) l Построим матрицу парных сравнений для критериев «образование» и «опыт» в соответствии с представлениями экспертов первой группы: Веса критериев следующие: Замечание: По мнению экспертов первой группы опыт более значим чем образование (примерно в 2 раза)

Пример применения Метода Анализа Иерархий (4) l Построим матрицу парных сравнений для критериев «образование» Пример применения Метода Анализа Иерархий (4) l Построим матрицу парных сравнений для критериев «образование» и «опыт» в соответствии с представлениями экспертов второй группы: Веса критериев следующие:

Пример применения Метода Анализа Иерархий (5) l Матрица парных сравнений самих групп экспертов. Замечание: Пример применения Метода Анализа Иерархий (5) l Матрица парных сравнений самих групп экспертов. Замечание: означает, что мнение экспертов второй группы значимее, чем мнение экспертов первой группы Веса критериев первого уровня (веса групп)

Пример применения Метода Анализа Иерархий (6) l Итоговый вес первого кандидата: l Итоговый вес Пример применения Метода Анализа Иерархий (6) l Итоговый вес первого кандидата: l Итоговый вес второго и пятого кандидатов: Таким образом, оптимальным является первый кандидат:

Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(1) l Студент старших курсов выбирает Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(1) l Студент старших курсов выбирает себе научного руководителя, руководствуясь следующими критериями: 1. Перспективность проводимых исследований в группе с точки зрения дальнейшего трудоустройства С 1 2. Личный интерес студента к проводимым исследованиям С 2 3. Связь научной группы с конкретными группами, принимающими специалистов на работу С 3 4. Профессионализм, характер и личные качества научного руководителя С 4 – Имеется три кандидата A, B и С

Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(2) 1. 2. Строим иерархию Необходимо Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(2) 1. 2. Строим иерархию Необходимо построить следующие матрицы попарных сравнений: 1. 4 матрицы попарных сравнений кандидатов относительно каждого критерия. В итоге получаем вектор приоритетов кандидатов относительно каждого критерия 2. Матрицу попарных сравнений критериев. В итоге получаем вектор приоритетов критериев.

Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(3) 1) матрица попарных сравнений относительно Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(3) 1) матрица попарных сравнений относительно первого критерия W*i A B C Wi A 1, 00 3, 00 7, 00 2, 76 0, 65 B 0, 33 1, 00 5, 00 1, 19 0, 28 C 0, 14 0, 20 1, 00 0, 31 0, 07 ОС<0. 1 , следовательно, матрица согласована

Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(4) 2) матрица попарных сравнений относительно Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(4) 2) матрица попарных сравнений относительно второго критерия Информация в таблице говорит о том, что A cильно превосходит B, но С очень сильно превосходит A. Следовательно, С должно превосходить B A B C wi wwi A 1, 00 5, 00 0, 14 0, 89 0, 17 B 0, 20 1, 00 0, 11 0, 28 0, 05 C 7, 00 9, 00 1, 00 3, 98 0, 77 ОС > 0. 1 , следовательно, матрица плохо согласована и оценки экспертов необходимо пересмотреть

Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(5) Обновленная матрица попарных сравнений относительно Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(5) Обновленная матрица попарных сравнений относительно второго критерия A B C A 1, 00 0, 33 7, 00 B 3, 00 1, 00 9, 00 C 0, 14 0, 11 1, 00 wi 0, 75 0, 33 3, 98 wwi 0, 15 0, 07 0, 79 ОС<0. 1 , следовательно, матрица согласована

Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(5) 3) матрица попарных сравнений относительно Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(5) 3) матрица попарных сравнений относительно третьего критерия (Связь научной группы с конкретными группами, принимающими специалистов С 3) A B C wi wwi A 1, 00 0, 20 0, 50 0, 46 0, 12 B 5, 00 1, 00 3, 00 2, 47 0, 65 C 2, 00 0, 33 1, 00 0, 87 0, 23 ОС<0. 1 , следовательно, матрица согласована

Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(6) 4) матрица попарных сравнений относительно Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(6) 4) матрица попарных сравнений относительно 4 -ого критерия (Профессионализм, характер и личные качества научного руководителя С 4) A B C wi wwi A 1, 00 9, 00 3, 00 0, 66 B 0, 11 1, 00 0, 14 0, 25 0, 05 C 0, 33 7, 00 1, 33 0, 29 ОС<0. 1 , следовательно, матрица согласована

Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(7) 5) Строим матрицу попарных сравнений Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(7) 5) Строим матрицу попарных сравнений для критериев 1. 2. 3. 4. Перспективность проводимых исследований в группе с точки зрения дальнейшего трудоустройства С 1 Личный интерес студента к проводимым исследованиям С 2 Связь научной группы с конкретными группами, принимающими специалистов на работу С 3 Профессионализм, характер и личные качества научного руководителя С 4 c 1 c 2 c 3 c 4 5. 6. C 1 1, 00 3, 00 0, 20 c 2 1, 00 3, 00 0, 20 c 3 0, 33 1, 00 0, 20 c 4 5, 00 1, 00 w 1, 14 1, 13 2, 59 0, 30 ww 0, 22 0, 50 0, 06 Критерии C 1 и С 2 равны. Критерий С 1 слабо уступает С 3, но сильно превосходит С 4. ОС <0. 1, следовательно, матрица согласована

Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(8) l Сворачиваем критерии с учетом Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(8) l Сворачиваем критерии с учетом векторов приоритетов, полученных ранее: А = 0. 65*0. 22+0. 12*0. 5+0. 66*0. 06 =0. 27 – B = 0. 18 – C = 0. 31 Ответ. Более предпочтительным является последний вариант, хотя предпочтение слабое по сравнению с первым вариантом –

Домашнее задание МАИ (1) l l Решить задачу, используя МАИ. Студент технического ВУЗа ищет Домашнее задание МАИ (1) l l Решить задачу, используя МАИ. Студент технического ВУЗа ищет работу и рассматривает следующие четыре варианта: – – А: работа по специальности на кафедре. В: работа официантом в ресторане. С: работа инженером по специальности на предприятии. D: не работать вообще и сфокусироваться на учебе.

Домашнее задание МАИ (2) l Предлагаются следующие критерии: – С 1: Заработная плата (У. Домашнее задание МАИ (2) l Предлагаются следующие критерии: – С 1: Заработная плата (У. е. /месяц) – С 2: Свободное время (часы /неделю), которое планируется потратить на учебу. Вычисляется из расчета: l 128 ч (неделя) – 18 ч (12 пар в неделю) – 49 ч (7 ч на сон в день) = 61 ч l Далее из 61 ч вычитается кол-во часов, планируемое потратить на работу в неделю. – С 3: Профессиональные перспективы с точки зрения работы по специальности после окончания института – С 4: Вероятность поступления в аспирантуру после окончания института Замечание: Вы можете добавить свои критерии к перечисленным выше и дополнить таблицу с исходными данными

Домашнее задание МАИ (3) Варианты Критерии C 1 С 2 С 3 С 4 Домашнее задание МАИ (3) Варианты Критерии C 1 С 2 С 3 С 4 А 100 41 Выше среднего Высокие B 600 13 Низкие C 300 21 Высокие Средние D 0 61 Выше среднего

Домашнее задание МАИ(4) l Необходимо: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Составить иерархию для Домашнее задание МАИ(4) l Необходимо: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Составить иерархию для поставленной задачи Составить матрицы попарных сравнений альтернатив относительно каждого критерия, используя исходные данные, представленные в таблице. Проверить каждую таблицу на согласованность данных Составить матрицу попарных сравнений критериев, исходя из собственных мировоззрений Проверить таблицу на согласованность данных Выполнить свертку критериев для каждой альтернативы, используя векторы приоритетов, вычисленные в п. 2, 4.

Домашнее задание МАИ (5) l Сроки выполнения ДЗ: – l Сдавать не позднее 18. Домашнее задание МАИ (5) l Сроки выполнения ДЗ: – l Сдавать не позднее 18. 11. 2012 Выполнение данного задания +10 баллов.