Системи лінійних алгебраїчних рівнянь З курсу Чисельні методи Доповідач: Олег Ковалюк
План лекції • Вступ • Порівняння точних і наближених методів розв’язання СЛАР • Точні методи розв’язання СЛАР 1. 2. 3. 4. 5. Метод Крамера Метод Гауса Метод головних елементів Метод Гауса-Халецького Метод Гауса - Жордана
Вступ Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) — в лінійній алгебрі це система m лінійних рівнянь з n невідомими виду: У якій x 1, x 2, …, xn є невідомими, a 11, a 12, …, amn – коефіцієнти систем, b 1, b 2, …, bm – вільні члени
Порівняння точних і наближених методів Всі методи рішення СЛАР діляться на дві групи - точні (прямі) і ітераційні. Точні методи дозволяють одержати рішення системи лінійних рівнянь за скінченне число арифметичних операцій (метод Гаусса, правило Крамера і т. д. ). Використання ітераційних методів дає можливість знайти наближене рішення системи із заданим ступенем точності (метод простої ітерації, метод Зейделя, метод послідовної релаксації). Критеріями порівняння точних і ітераційних методів розв'язання СЛАР з використанням обчислювальної техніки є: – область застосування методу; – часові витрати на розв'язання; – похибка результату.
Порівняння точних і наближених методів • Точним методам вирішення СЛАР властива похибка округлення, яка може виникати в ході обчислення, а так само в процесі реалізації цих методів на ЕОМ. • Основна перевага ітераційних методів полягає в тому, що точність шуканого рішення задається. Число ітерацій n = n (e), яке необхідно виконати для отримання заданої точності, є основною оцінкою якості методу. З цього числа проводиться порівняння різних ітераційних методів. • При вирішенні матриць великої розмірності доцільно застосовувати ітераційні методи. Використання цих методів призводить до економії машинного часу і оперативної пам'яті ЕОМ.
Порівняння точних і наближених методів На рисунку показана залежність часу рішення від розмірності матриці для вирішення СЛАР методами Гауса і Зейделя.
Метод Крамера Нехай дана система лінійних рівнянь, в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих: Припустимо, що визначник системи d≠ 0. Якщо замінити послідовно у визначнику стовпці коефіцієнтів при невідомих xj стовпцем вільних членів bi, то вийдуть відповідно n визначників d 1, . . . , dn. Теорема Крамера. Система n лінійних рівнянь з n невідомими, визначник якої відмінний від нуля, завжди сумісна і має єдиний розв’язок, який обчислюється по формулах:
Метод Гауса з послідовним виключення змінних Нехай дана система , де A – матриця розмірності m×m (квадратна). припущенні, що a 11≠ 0, перше рівняння системи Ділимо на коефіцієнт a 11, у результаті одержуємо рівняння: Потім з кожного з інших рівнянь віднімається перше рівняння, помножене на відповідний коефіцієнт ai 1. У результаті ці рівняння перетворяться до виду: У
Метод Гауса з послідовним виключення змінних (продовження) Перше невідоме виявилося виключеним із усіх рівнянь, крім першого. Далі в припущенні, що що a 22≠ 0 , ділимо друге рівняння на коефіцієнт і виключаємо невідоме з усіх рівнянь, починаючи з третього і т. д. У результаті послідовного виключення невідомих, матриця системи рівнянь стане трикутною: Сукупність проведених обчислень називається прямим ходом методу Гауса. З m-го рівняння системи визначаємо xm, з (m-1)-го рівняння визначаємо xm-1 і т. д. до x 1. Сукупність таких обчислень називають зворотнім ходом методу Гауса. Реалізація прямого методу Гауса вимагає N~2 m 2/3 арифметичних операцій, а зворотнього – N~m 2 арифметичних операцій.
Метод головних елементів Нехай дана система n лінійних рівнянь з n невідомими: • • • де елементи aij (i, j=1, …, n) утворюють розширену матрицю системи. Виберемо найбільший по модулю і не належачий стовпцю вільних членів елемент apq матриці , який називається головним елементом Обчислимо множники mi=-aiq /apq для всіх рядків з номерами i≠p (р-й рядок, що містить головний елемент, називається головним рядком). Далі до кожного другорядного i-го рядку додамо головний рядок, помножений на відповідний множник mi. У результаті одержимо нову матрицю, усі елементи q-го стовпця якої, крім apq, складаються з нулів. Відкинувши цей стовпець і головний p-й рядок, одержимо нову матрицю, число рядків і стовпців якої на одиницю менше. Повторюємо ті ж операції з отриманою матрицею, після чого одержуємо нову матрицю і т. д. Таким чином, побудуємо послідовність матриць. Для визначення невідомих xj поєднуємо в систему всі головні рядки, починаючи з останнього.
Метод Гауса - Халецького Нехай система лінійних алгебраїчних рівнянь дана в матричному вигляді: , де А – квадратна матриця розмірності n; , – вектори-стовпці. Представимо матрицю А у вигляді добутку нижньої трикутної матриці С і верхньої трикутної матриці В з одиничною діагоналлю, тобто А=СВ, де Причому елементи сij і bij визначаються по формулах:
Метод Гауса – Халецького (продовження) Рівняння можна записати в наступному вигляді: (1) Добуток матриці B на вектор-стовпець є вектор-стовпцем, який позначимо через : Тоді рівняння (1) перепишемо у вигляді: Після того, як усі yi визначені по формулах значення невідомих, починаючи з останнього, обчислюємо по наступних формулах:
Метод Гауса-Жордана Алгоритм: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Обирається перша зліва колонка, що містить хоч одне ненульове значення. Якщо верхнє число у цій колонці - нуль, то обмінюється увесь перший рядок з іншим рядком матриці, де у цій колонці нема нуля. Усі елементи першого рядка діляться на верхній елемент обраної колонки. Від рядків, що залишились, віднімається перший рядок, помножений на перший елемент відповідного рядка. Повторюємо ці операції із матрицею, отриманою з початкової матриці після викреслювання першого рядка та першого стовпчика. Після повторення операцій n-1 разів отримаємо верхню трикутну матрицю. Віднімаємо від передостаннього рядка останній рядок, помножений на відповідний коефіцієнт, щоб у передостанньому рядку залишилась лише 1 на головній діагоналі. Повторюємо попередній крок для наступних рядків. У результаті отримуємо одиничну матрицю і рішення на місці вільного вектора.
• Дякую за увагу!
Скачать презентацию Системи лінійних алгебраїчних рівнянь З курсу Чисельні методи
SLAR.ppt