Системи числення Система числення це сукупність прийомів

Системи числення Система числення — це сукупність прийомів і правил, за якими числа записуються і читаються

Непозиційні системи числення Вага цифри (вклад, який вона вносить у значення числа) не залежить від її позиції у запису числа. Наприклад, в римській системі числення в числі ХХХII (тридцять два) вага цифри Х в будь якій позиції дорівнює десяти. Позиційні системи числення Вага кожної цифри змінюється в залежності від її положення (позиції) у послідовності цифр, які відображають число. Наприклад, в числі 757, 7 пера семірка означає 7 сотень, друга — 7 одиниць, а третя — 7 десятих часток одиниці. Запис 757, 7 означає скорочений запис виразу 700 + 50 + 7 + 0, 7 = 7 102 + 5 101 + 7 100 + 7 10 -1 = 757, 7. 2

Основа позиційної системи числення — кількість різних цифр, які використовуються для зображення чисел у даній системі числення. Системи числення, які використовують фахівці при роботі на комп’ютерах: 2 - двійкова (цифри 0, 1); 8 - вісімкова (цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7); 16 - шістнадцятирічна (цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)). 3

Переваги двійкової системи числення для комп’ютерів: • Для її реалізації потрібні технічні пристрої лише з двома стійкими станами; • Представлення інформації за допомого двох станів надійно і стійке до перешкод; • можливо застосувати апарат булєвої алгебри для виконання логічних перетворень і інформації; • двійкова арифметика набагато простіше десяткової. Недолік двійкової системи — швидке зростання кількості розрядів, які потрібні для запису чисел. 4

Чому в комп'ютерах використовуються вісімкова і шістнадцятирична системи числення? Числа в цих системах читаються майже так само легко, як десяткові, вимагають відповідно в три (вісімкова) і в чотири (шістнадцятирічна) рази менше розрядів, чим в двійковій системі (адже числа 8 і 16 — відповідно, третій і четвертий ступені числа 2). Переклад вісімкових і шістнадцятирічних чисел в двійкову систему дуже простий: достатньо кожну цифру замінити еквівалентною їй двійковою тріадою (трійкою цифр) або тетрадою (четвіркою цифр). Наприклад: 5

Щоб перевести число з двійкової системи у вісімкову або шістнадцятирічну, його потрібно розбити вліво і вправо від коми на тріади (для вісімкової) або тетради (для шістнадцятиричної) і кожну таку групу замінити відповідною вісімковою (шістнадцятирічною) цифрою. Наприклад 6

Перевід цілого десяткового числа N в іншу систему числення Приклад: Переведемо число 75 з десяткової системи в двійкову, вісімкову і шістнадцятиричну: Відповідь: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4 B 16. 7

Перевід в двійкову систему Перевід у вісімкову систему Перевід у шістнадцятирічну систему 75 37 18 9 4 2 1 1 1 0 0 1 75 9 1 3 1 1 75 4 11= В 4 Відповідь: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4 B 16. 8

Перевід правильного десяткового дробу в будь-яку іншу позиційну систему числення Приклад. Переведемо число 0, 36 з десяткової системи в двійкову, вісімкову і шістнадцятирічну: Для чисел, що мають як цілу, так і дробову частини, перевід з десяткової системи числення в іншу здійснюється окремо для цілої і дробової частин по правилах, вказаних вище. 9

Арифметичні операції в позиційних системах числення Додавання В двійковій системі У вісімковій системі 10

Додавання в шістнадцятирічній системі 11

Приклад. Додаємо числа 15 і 6 в різних системах числення. Шістнадцятирічна: F 16+616 Відповідь: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. Перевірка. Перетворимо отримані суми до десяткового вигляду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 258 = 2 81 + 5 80 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1 161 + 5 160 = 16+5 = 21. 12

Віднімання Приклад. Віднімемо число 59, 75 з числа 201, 25. 13

У двійковій системі Множення У вісімковій системі 14

Приклад. Перемножимо числа 5 і 6. Відповідь: 56 = 3010 = 111102 = 368. Перевірка. Перетворимо отримані твори до десяткового вигляду: 111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30; 368 = 3 81 + 6 80 = 30. 15

Ділення Приклад. Розділимо число 30 на число 6. Відповідь: 30: 6 = 510 = 1012 = 58. 16

Представлення в комп’ютері цілих чисел Додатні цілі числа В однобайтовому форматі приймають значення від 00002 до 11112 (0 -255). В двобайтовому форматі — от 000000002 до 111111112 (065535). Примеры: а) число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате: б) число 65535 в двобайтовому форматі: 17

Від’ємні цілі числа Займають в пам’яті комп’ютера один, два або чотири байти. Самий лівий розряд містить інформацію про знак числа. Діапазони значень від’ємних цілих чисел зі знаком Формат числа в Диапазон Запись с порядком Обычная запись байтах 1 – 27. . . 27– 1 – 128. . . 127 2 – 215. . . 215– 1 – 32768. . . 32767 4 – 231. . . 231– 1 – 2147483648. . . 2147483647 В комп’ютерній техніці застосовують три форми запису (кодування) від’ємних цілих чисел: прямий код, обернений код, додатковий код. Додатні числа в прямому, оберненому і додатковому кодах відтворюються однаково — двійковим кодом з цифрою Наприклад: 0 в знаковому розряді. 18

Від’ємні числа у прямому, оберненому и додатковому кодах мають різне зображення. 1. Прямий код. В знаковий розряд записують цифру 1, а в розряди цифрової частини числа — двійковий код його абсолютної величини. Наприклад: 2. Обернений код. Одержують інвертуванням всіх цифр двійкового коду абсолютної величини числа, включаючи розряд знака: нулі заміняються одиницями, а одиниці — нулями. Наприклад: 19

3. Додатковий код. Одержують утворенням оберненого коду з подальшим збільшенням одиниці до його молодшого розряду. Наприклад: Додавання і віднімання У комп'ютерах операція віднімання не використовується. Замість неї робиться складання зворотних або додаткових кодів зменшуваного і такого, що віднімається. 1. А і В позитивні. Складання зворотних кодів. Наприклад: 20

2. А позитивне, B від’ємне та за абсолютною величиною більше, ніж А. Наприклад: 3. А позитивне, B від’ємне та за абсолютною величиною менше, ніж А. Наприклад: Комп’ютер виправляє спочатку невірний результат (6 замість 7) перенесенням одиниці зі знакового розряду в молодший розряд суми. 21

При додаванні може виникнути ситуація, коли старші розряди результату операції не поміщаються у відведеній для нього області пам'яті. Така ситуація називається переповнюванням розрядної сітки формату числа. Наприклад: 22

Множення У комп'ютерах множення проводиться як послідовність складань і зрушень. Для цього в АЛУ (арифметично-логічний устрій) є регістр, званий накопичуючим суматором, який до початку виконання операції містить число нуль. В процесі виконання операції в нім по черзі розміщуються множене і результати проміжних складань, а після закінчення операції — остаточний результат. Інший регістр АЛУ, що бере участь у виконанні цієї операції, спочатку містить множник. Потім у міру виконання складань число, що міститься в нім, зменшується, поки не досягне нульового значення. Для ілюстрації помножимо 1100112 на 1011012. 23

Представлення в комп'ютері дійсних чисел В комп'ютерах числа зберігаються в регістрах і елементах пам'яті з обмеженою кількістю розрядів. У наслідок цього система дійсних чисел, уявних в машині, є дискретною (переривчастою) і кінцевою. Для відображення дійсних чисел використовується форма запису чисел з порядком: 1. 25 100 = 0. 125 101 = 0. 0125 102 =. . . Мантиса повинна бути правильним дробом, у якого перша цифра після крапки відмінна від нуля: 0. 12 <= |M| < 1. Таке число називається нормалізованим. 753. 15 = 0. 75315103; — 101. 01 = — 0. 10101211. Записи чисел мають структуру такого вигляду: 24

Порядок n-разрядного нормалізованого числа задається в зміщеній формі: порядок, що приймає значення в діапазоні від — 128 до +127, представляється зміщеним порядком, значення якого міняються від 0 до 255. Стандартні формати представлення дійсних чисел: 1) одинарний — 32 -розрядне нормалізоване число із знаком, 8 розрядним зміщеним порядком і 24 -розрядною мантисою (старший біт мантиси, завжди рівний 1, не зберігається в пам'яті, і розмір поля, виділеного для зберігання мантиси, складає тільки 23 розряди). 2) подвійний — 64 -розрядне нормалізоване число із знаком, 11 розрядним зміщеним порядком і 53 -розря дною мантисою (старший біт мантиси не зберігається, розмір поля, виділеного для зберігання мантиси, складає 52 розряди). 3) розширений — 80 -розрядне число із знаком, 15 -розрядним зміщеним порядком і 64 -розрядною мантисою. Дозволяє зберігати ненормалізовані числа. 25

Додавання і віднімання При додаванні і відніманні спочатку проводиться підготовча операція – вирівнюванням порядків. В процесі вирівнювання порядків мантиса числа з меншим порядком зрушується в своєму регістрі управо на кількість розрядів, рівну різниці порядків операндів. Після кожного зрушення порядок збільшується на одиницю. Після цього мантиси додаються або віднімаються. У разі потреби отриманий результат нормалізується. Приклад. Скласти двійкові нормалізовані числа 0. 10111 2– 1 і 0. 11011 210. Різниця порядків доданків тут рівна трьом, тому перед складанням мантиса першого числа зрушується на три розряди управо: 26

Множення При множенні двох нормалізованих чисел їх порядки складаються, а мантиси перемножуються. Приклад. Виконати множення двійкових нормалізованих чисел: (0. 11101 2101) (0. 1001 211) = (0. 11101 0. 1001) 2(101+11) = 0. 100000101 21000. 27