Скачать презентацию СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ВИДИ ВЛАСТИВОСТІ АРИФМЕТИКА Скачать презентацию СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ВИДИ ВЛАСТИВОСТІ АРИФМЕТИКА

Lect_sist_sch.pptx

  • Количество слайдов: 43

СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ, ВИДИ, ВЛАСТИВОСТІ, АРИФМЕТИКА. СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ, ВИДИ, ВЛАСТИВОСТІ, АРИФМЕТИКА.

СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ – сукупність прийомів і правил для запису чисел за допомогою певного набору СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ – сукупність прийомів і правил для запису чисел за допомогою певного набору коефіцієнтів. Коефіцієнти - знаки (цифри), які використовуються для запису чисел. Найбільш відома десяткова система числення, в якій для запису чисел використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Способів запису чисел цифровими знаками є дуже багато. Довільна призначена для практичного застосування система Способів запису чисел цифровими знаками є дуже багато. Довільна призначена для практичного застосування система числення повинна забезпечувати: o можливість подання довільного числа у поданому діапазоні величин; o єдинність представлення (кожній комбінації символів повинна відповідати одна і тільки одна величина); o простоту оперування числами.

ВЛАСТИВОСТІ СИСТЕМ ЧИСЛЕННЯ Всі системи подання чисел поділяють на позиційні і непозиційні. Непозиційна система ВЛАСТИВОСТІ СИСТЕМ ЧИСЛЕННЯ Всі системи подання чисел поділяють на позиційні і непозиційні. Непозиційна система числення - система, для якої значення символу не залежить від його місця розташування в числі. Непозиційні система числення сьогодні використовуються рідко, в основному з метою нумерації. Прикладом такої системи є римська система числення з цифрами: Десяткові цифри 1 5 10 50 100 500 1000 Римські цифри V X L C D M I Декілька однакових цифр, які розміщені поруч сумуються: ХХХ =Х +Х +Х= 30. Якщо поруч стоять дві різні цифри, при цьому молодша - справа від старшої, то вони також сумуються: XVI= X+ V+ I= 16; якщо ж молодша цифра знаходиться зліва від старшої, то вона віднімається від цієї старшої цифри: IX= X- I= 9. Наприклад, MCMLXV= 1965; MMDCLIII= 2653.

ОСНОВНІ НЕДОЛІКИ НЕПОЗИЦІЙНИХ СИСТЕМ ЧИСЛЕННЯ: Ø теоретично включають безкінечну кількість цифр; Ø арифметичні дії ОСНОВНІ НЕДОЛІКИ НЕПОЗИЦІЙНИХ СИСТЕМ ЧИСЛЕННЯ: Ø теоретично включають безкінечну кількість цифр; Ø арифметичні дії над числами в них дуже складні. Наприклад, помножити: XXXII і XXIV. Тому, на практиці в основному використовуються позиційні системи числення.

ВИЗНАЧЕННЯ ПОЗИЦІЙНОЇ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ Позиційними називають такі системи, в яких значення кожної цифри знаходиться ВИЗНАЧЕННЯ ПОЗИЦІЙНОЇ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ Позиційними називають такі системи, в яких значення кожної цифри знаходиться в строгій залежності від її позиції в числі. Наприклад, 222 - перша права цифра означає дві одиниці, сусідня з нею - два десятки, а ліва - дві сотні. Довільна позиційна система числення характеризується основою (P).

ОСНОВА ПОЗИЦІЙНОЇ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ Основа позиційної системи числення – кількість знаків або символів, які ОСНОВА ПОЗИЦІЙНОЇ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ Основа позиційної системи числення – кількість знаків або символів, які використовуються для зображення чисел в даній системі. Можливим є задання безкінечної кількості позиційних систем, оскільки за основу можна обрати довільне число, сформувавши таким чином нову систему. Наприклад, запис числа в шістнадцятковій системі може виконуватися за допомогою наступних цифр(знаків): 0, 1, . . . , 9, A, B, . . . , F.

Послідовність чисел, кожне з яких задає «вагу» відповідного розряду, називається базисом позиційної системи числення Послідовність чисел, кожне з яких задає «вагу» відповідного розряду, називається базисом позиційної системи числення

РОЗГОРНУТА ФОРМА ЗАПИСУ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦІЙНІЙ СИСТЕМІ ЧИСЛЕННЯ Для позиційної системи числення справедлива теорема: РОЗГОРНУТА ФОРМА ЗАПИСУ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦІЙНІЙ СИСТЕМІ ЧИСЛЕННЯ Для позиційної системи числення справедлива теорема: Довільне число в позиційній системі можна записати в розгорнутій формі, через основу, при цьому єдиним способом. Тобто: A= anpn + an-1 pn-1 +. . . + a 1 p 1 + a 0 p 0 + a-1 p-1 +. . . + a-mp-m де А- довільне число, записане в системі числення з основою р; аi- коефіцієнти ряду (цифри системи числення); n, m- кількість цілих і дробових розрядів. На практиці використовують скорочений запис чисел: А= anan-1. . . a 1 a 0 a-1. . . a-m

ПРИКЛАДИ РОЗГОРНУТОЇ ФОРМИ ЗАПИСУ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦІЙНИХ СИСТЕМАХ ЧИСЛЕННЯ o В десятковій системі числення ПРИКЛАДИ РОЗГОРНУТОЇ ФОРМИ ЗАПИСУ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦІЙНИХ СИСТЕМАХ ЧИСЛЕННЯ o В десятковій системі числення числа зображаються за допомогою цифр 0, 1, …, 9. Наприклад, 3957, 25=3*103+9*102+5*101+7*100+ 2*10 -1+5*10 -2 o У вісімковій системі числення числа зображають за допомогою цифр 0, 1, . . . , 7. Наприклад, 124, 5378= 1*82 + 2*81 +4*80 + 5*8 -1 + 3*8 -2 + 7*8 -3. o У двійковій системі числення використовують цифри 0, 1. Наприклад, 1001, 11012=1*23 + 0*22 + 0*21 +1*20+1*2 -1 + 1*2 -2 +1*2 -3 +0*2 -4. o Для запису чисел в трійковій системі беруть цифри 0, 1, 2. Наприклад, 21223=2*33 + 1*32 + 2*31 + 2*30.

ДЕСЯТКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ o Основа системи – число 10; o Містить 10 цифр: 0, ДЕСЯТКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ o Основа системи – число 10; o Містить 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; o Довільне десяткове число можна подати у вигляді суми степенів числа 10 – основи системи;

ДВІЙКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ o Основа системи – 2; o Містить 2 цифри: 0; 1; ДВІЙКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ o Основа системи – 2; o Містить 2 цифри: 0; 1; o Довільне двійкове число можна подати у вигляді суми степенів числа 2 – основи системи; o Приклади двійкових чисел: 11100101; 10101;

ПРАВИЛА ПЕРЕВЕДЕННЯ 1. З десяткової в двійкову СЧ: o Поділити десяткове число на 2. ПРАВИЛА ПЕРЕВЕДЕННЯ 1. З десяткової в двійкову СЧ: o Поділити десяткове число на 2. Отримаємо частку і остачу. o Частку знову ділимо на 2. Отримаємо частку і остачу. o Виконуємо ділення до тих пір, поки остання частка не стане меншою 2. o Записати останню частку і всі остачі у зворотньому порядку. Отримане число і буде двійковим записом вихідного десяткового числа.

ПРИКЛАДИ ПРИКЛАДИ

Завдання 1: Для десяткових чисел 341; 125; 1024; 4095 виконайте переведення в двійкову систему Завдання 1: Для десяткових чисел 341; 125; 1024; 4095 виконайте переведення в двійкову систему числення.

ПРАВИЛА ПЕРЕВЕДЕННЯ 2. З двійкової в десяткову СЧ. Для переведення з двійкової системи числення ПРАВИЛА ПЕРЕВЕДЕННЯ 2. З двійкової в десяткову СЧ. Для переведення з двійкової системи числення в десяткову необхідно двійкове число подати у вигляді суми степенів двійки і знайти її десяткове значення. Приклад:

Завдання № 2: o Двійкові числа 1011001, 11110, 11011011 перевести в десяткову систему. Завдання № 2: o Двійкові числа 1011001, 11110, 11011011 перевести в десяткову систему.

ВІСІМКОВА СЧ o Основа системи – 8; o Містить 8 цифр: 0; 1; 2; ВІСІМКОВА СЧ o Основа системи – 8; o Містить 8 цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; o Довільне вісімкове число можна подати у вигляді суми степенів числа 8 – основи систем; o Приклади вісімкових чисел: 2105; 73461;

Правило переведення з десяткової системи численння в вісімкову o Поділити десяткове число на 8. Правило переведення з десяткової системи численння в вісімкову o Поділити десяткове число на 8. Отримаємо частку і остачу. o Частку знову поділити на 8. Отримаємо частку і остачу. o Виконуємо ділення до тих пір, доки остання частка не стане меншою 8. o Записати останню частку і всі остачі у зворотному порядку. Отримане число і буде вісімковим записом вихідного десяткового числа.

Приклад Приклад

Завдання № 3: Десяткові числа 421, 5473, 1061 перевести у вісімкову систему. Завдання № 3: Десяткові числа 421, 5473, 1061 перевести у вісімкову систему.

Правило переходу з вісімкової системи числення в десяткову. o Для перехода з вісімкової системи Правило переходу з вісімкової системи числення в десяткову. o Для перехода з вісімкової системи числення в десяткову необхідно вісімкове число подати у вигляді суми степенів вісімки і знайти її десяткове значенння.

Завдання № 4: Вісімкові числа 41, 520, 306 перевести в десяткову систему. Завдання № 4: Вісімкові числа 41, 520, 306 перевести в десяткову систему.

Шістнадцяткова СЧ o Основа системи – 16; o Містить 16 цифр: від 0 до Шістнадцяткова СЧ o Основа системи – 16; o Містить 16 цифр: від 0 до 9; A; B; C; D; E; F; o Довільне шістнадцяткове число можна подати у вигляді суми степенів числа 16 – основи системи; o Приклади шістнадцяткових чисел: 21 AF 3; B 09 D;

Правило переведення з десяткової системи числення в шістнадцяткову o Поділити десяткове число на 16. Правило переведення з десяткової системи числення в шістнадцяткову o Поділити десяткове число на 16. Отримаємо частку і остачу. o Частку знову ділимо на 16. Отримаємо частку і остачу. o Виконуємо ділення до тих пір, поки остання частка не стане меншою 16. o Записати останню частку і всі остачі у зворотньому порядку. Отримане число і буде шістнадцятковим записом вихідного десяткового числа.

Приклад Приклад

Завдання № 5: Десяткові числа 512, 302, 2045 перевести в шістнадцяткову систему. Завдання № 5: Десяткові числа 512, 302, 2045 перевести в шістнадцяткову систему.

Правило переходу з шістнадцяткової системи числення в десяткову. Необхідно шістнадцяткове число подати у вигляді Правило переходу з шістнадцяткової системи числення в десяткову. Необхідно шістнадцяткове число подати у вигляді суми степенів шістнадцяти і знайти її десяткове значення.

Завдання № 6: Шістнадцяткові числа B 5, A 28, CD перевести в десяткову систему. Завдання № 6: Шістнадцяткові числа B 5, A 28, CD перевести в десяткову систему.

Звязок систем числення 10 -а 2 -а 8 -а 16 -а 0 0 1 Звязок систем числення 10 -а 2 -а 8 -а 16 -а 0 0 1 1 2 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F

Правило переходу з двійкової системи числення у вісімкову Розбити двійкове число на класи з Правило переходу з двійкової системи числення у вісімкову Розбити двійкове число на класи з права на ліво по три цифри в кожному. Замінити кожен клас відповідною вісімковою цифрою.

Правило переведення з вісімкової системи числення у двійкову Кожну вісімкову цифру замінити двійковим класом Правило переведення з вісімкової системи числення у двійкову Кожну вісімкову цифру замінити двійковим класом по три цифри в кожному

Правило переведення з шістнадцяткової системи числення в двійкову Кожну шістнадцяткову цифру замінити двійковим класом Правило переведення з шістнадцяткової системи числення в двійкову Кожну шістнадцяткову цифру замінити двійковим класом по чотири цифри в кожному

АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ Для виконання арифметичних операцій в системі числення з основою P необхідно мати АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ Для виконання арифметичних операцій в системі числення з основою P необхідно мати відповідні таблиці додавання і множення. Для P = 2. + 0 1 * 0 1 0 0 0 1 1 10 1

АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ Для P = 8. АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ Для P = 8.

АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ Для P = 16. АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ Для P = 16.

АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ Для P = 16. АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ Для P = 16.

Приклади Додати числа: а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2). б) 223, 2(8) + 427, Приклади Додати числа: а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2). б) 223, 2(8) + 427, 54(8) = 652, 74(8). в) 3 B 3, 6(16) + 38 B, 4(16) = 73 E, A(16). Виконаємо перевірку переведенням в десяткову систему числення. а) 10000000100(2)=1× 210+1× 22 = 1024+4=1028(10) 111000010(2)=1× 28+ 1× 27+ 1× 26+ 1× 21 = 256+128+64+2 = 450(10) 10111000110(2)=1× 210+ 1× 28+ 1× 27+ 1× 26+ 1× 22+ 1× 21 = 1024+256+128+64+4+2 = 1478(10) 1028(10)+450(10) = 1478(10) Результати співпадають, отже обчислення виконано правильно!

Приклади Виконати віднімання: а) 1100000011, 011(2) - 101010111, 1(2) = 110101011, 111(2). б) 1510, Приклади Виконати віднімання: а) 1100000011, 011(2) - 101010111, 1(2) = 110101011, 111(2). б) 1510, 2(8) - 1230, 54(8) = 257, 44(8). в) 27 D, D 8(16) - 191, 2(16) = EC, B 8(16).

Приклади Виконати множення: а) 100111(2) * 1000111(2) = 101011010001(2). б) 1170, 64(8) * 46, Приклади Виконати множення: а) 100111(2) * 1000111(2) = 101011010001(2). б) 1170, 64(8) * 46, 3(8) = 57334, 134(8). в) 61, A(16) * 40, D(16) = 18 B 7, 52(16).

Приклади Виконати ділення: а) 10011000(2) : 101011(2)=111001000(2); б) 46230(8) : 53(8)=710(8); в) 4 C Приклади Виконати ділення: а) 10011000(2) : 101011(2)=111001000(2); б) 46230(8) : 53(8)=710(8); в) 4 C 98(16) : 2 B(16)=1 C 8(16).

Завдання для домашньої роботи 1. Для кожного з чисел : 12310, 45610 виконати переведення: Завдання для домашньої роботи 1. Для кожного з чисел : 12310, 45610 виконати переведення: 10 2, 10 8, 10 16. 2. Для кожного з чисел: 1000112, 1010010112, 11100100012 виконати переведення: 2 10, 2 8, 2 16. 3. Для чисел: 543218, 545258, 7778, 1 AB 16, A 1 B 16, E 2 E 416, E 7 E 516 виконати відповідне переведення: 8 2, 16 2.