Система неравенств Бактыбай Алпамыс 11 Ж

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Система неравенств Бактыбай Алпамыс 11, , Ж’’

1. Системы линейных неравенств с двумя переменными Рассмотрим систему неравенств вида Пример 1. Решить систему неравенств Найдем точку А, в которой пересекаются прямые l 1 и l 2 заданные соответственно уравнениями Решив систему (7), найдем, что прямые l 1 и l 2 пересекаются в точке A( -9/5; 4/5) Так координаты точки 0(0; 0) удовлетворяют первому неравенству системы (6) и не удовлетворяют второму неравенству, то системе (6) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые лежат ниже прямой l 1 и ниже прямой l 2, т. е. точки угла с вершиной A, содержащего точку (— 2; 0), см. рис. 5. А

Рассмотрим неравенство вида Пример 2. Решить неравенство Прямые y-x-2=0 и 3 x+y-6=0 пересекаются в точке A(1; 3). Первая из этих прямых проходит через точки С(— 2; 0) и D(0; 2), вторая —через точки Е(2; 0) и F(0; 6). На рис. 7 угол M 1(содержит точку О) и угол М 2 составляют одну пару вертикальных углов с вершиной А; N 1 и N 2 — другую пару. В точке О∈М 1 левая часть неравенства (11) положительна, и поэтому множество решений неравенства (11) — объединение множеств М 1 и М 2

Пример 3. Найти площадь фигуры Ф, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств Первым двум неравенствам системы удовлетворяют все точки первого квадранта (включая его границу), третьему— точки, лежащие ниже прямой l 1 и на этой прямой (рис. 7), а четвертому— точки, лежащие ниже прямой l 2 и на этой прямой (рис. 7). Следовательно, множество решений системы (12) (фигура Ф) — четырехугольник OEAD Пусть S 1, S 2 и S — площади треугольников OEF, DAF и фигуры Ф соответственно. Тогда S 1=6, S 2=1/2 DF*1=2 , S=S 1 -S 2=4

Пример 5. Пусть Ф — множество точек плоскости с координатами (х; у) таких, что числа Зх, 2 у и 9 — у являются длинами сторон некоторого треугольника. Найти площадь фигуры Ф. По свойству длин сторон треугольника справедливы неравенства, образующие систему неравенств ⇔ Пусть l 1, l 2 и l 3 — прямые (рис. 8), заданные соответственно уравнениями y-3 x+9=0, y-x-3= 0, х+у-3=0. Прямые l 1 и l 2 пересекаются в точке A (6; 9), прямые l 2 и l 3 пересекаются в точке В(0; 3), а прямые l 3 и l 1— в точке С(3; 0). Системе неравенств (13) удовлетворяют точки, расположенные внутри треугольника ABC. Пусть D и Е — проекции точки А на оси Ох и Оу соответственно, тогда D(6; 0), E(0; 9). Если S — площадь фигуры Ф, S 1, S 2, S 3 —площади треугольников ОВС, ACD и ВАЕ соответственно, a S 4—площадь прямоугольника ODAE, то S = S 4—(Si + S 2 + S 3). Так как S 4 = 9 • 6 = 54, S 1=1/2 • З 2 = 9/2, S 2 = 1/2 • 3 • 9 = 27/2, S 3 = 1/2 • 62 = 18, то S = 18. Итак, искомая площадь равна 18

Пример 6. Найти все пары целых чисел х, y, удовлетворяющих системе неравенств Эту задачу можно решить, изобразив фигуру Ф, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств (14), а затем найти точки с целыми координатами, принадлежащие фигуре Ф. Рассмотрим другой способ решения. Умножая третье неравенство на 3 и складывая с первым, получаем 7 х < 54, откуда Умножая второе неравенство на -3 и складывая с первым, находим -5 х <-27, откуда Итак, из условия целочисленности переменной х вытекает, что 6 ≤х≤ 7, т. е. х=6 или х=7. При х= 6 из первых двух неравенств системы (14) получаем 18 < у < 19, что не выполняется ни при каком целом у. При х=7 получим у=19. Следовательно, система (14) имеет единственное целочисленное решение (7; 19).

Задачи для закрепления 1. Решить систему неравенств: 2. Найти все пары натуральных чисел х, y, удовлетворяющие системе неравенств: 3. Решить неравенство:

Ответы: 1. 1) Угол с вершиной (4; 0), образованный прямыми у =4 -х и у =3/4 х-3, содержащий точку (0; 0), без границы; 1. 2) угол с вершиной (1; 1), образованный прямыми 2 у-х-1 = 0 и у =2 - х, содержащий точку (0; 0), без границы; 1. 3) треугольник с вершинами (1; 1), (4; 2) и (2; 0); 1. 4) треугольник с вершинами (— 6; 0), (2/3; 10/3), (-1, 0) 2. 1) (4; 3); 2. 2) (4; 3). 3. 1) Два вертикальных угла без границы с вершиной (4; 0), образованных прямыми х+у-4=0 и 3 x-4 у-12=0; один из этих углов содержит точку (0; 0); 2) два вертикальных угла с вершиной (-1; 2), образованных прямыми у = 1 - х и у= х+3 ; один из этих углов содержит точку (0; 0); 3) два вертикальных угла с вершиной (0; 0), образованных прямыми у=х и у =-x/2 один из этих углов содержит точку (0; 1); 4) два вертикальных угла без границы с вершиной (0; 0), образованных прямыми у=Зх и y=-x/2 один из этих углов содержит точку (1; 0)

2. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными Пример 7. Решить систему неравенств Складывая первое неравенство со вторым, умноженным на 3, находим откуда у-Зх+3 = 0. Подставляя у-Зх-З в исходную систему, получаем систему неравенств Которую можно записать в виде откуда следует, что 2 х2 -4 х+1=0. Решив систему уравнений найдем два ее решения, которые являются решениями исходной системы неравенств.

Пример 8. Найти все такие пары целых чисел x, y которые удовлетворяют системе неравенств Запишем данную систему так: Так как lх2 -2 хl ≥ 0, lх-1|>0, то из неравенств полученной системы следует, что Целыми числами, удовлетворяющими неравенству (5), являются лишь 0 и 1, поэтому система (3), (4) может иметь целые решения только при у=0 и у = 1. а) Если у=0, то система (3), (4) примет вид

Второму из этих неравенств удовлетворяют целые числа 0, 1 и 2. Проверка показывает, что первому неравенству удовлетворяют лишь 0 и 2. Следовательно, пары чисел и х1 = 0, у1= 0 и x 2=2, y 2=0 образуют решения исходной системы неравенств. б) Если у =1, то система (3), (4) приводится к виду Второму неравенству этой системы удовлетворяет единственное целое число х = 1, которое является также и решением первого неравенства.

Пример 9. Изобразить на координатной плоскости Оху фигуру Ф, заданную системой неравенств, и найти площадь S этой фигуры: 1) Неравенство х2+у2<4 задает множество точек, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 2, а неравенство х. Зу+2<0 — множество точек, расположенных выше прямой х-Зу + 2 = 0. Эта прямая пересекает окружность в точках А(— 2; 0) и B(8/5; 6/5), а фигура Ф представляет собой сегмент (рис. 15). Искомая площадь S равна разности площадей S 1 -S 2, где S 1 — площадь сектора с углом PI—arcsin(3/5) (рис. 15), S 2— площадь треугольника АОВ. Так как а то

2) Фигура Ф — это множество точек, лежащих внутри окружности с центром в точке О(0; 0) и радиусом 2, но вне окружности с центром в точке (-1; 0) и радиусом 1 (рис. 16). Значит, площадь фигуры Ф равна S= 4 pi-pi= Зpi Ответ. 1) 2(pi- arcsin(3/5))- 3/10; 2)S= 3 pi

Задачи: 1. Решить систему неравенств: 2. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств: 3. Найти все пары целых чисел х , у, удовлетворяющих системе неравенств 4*. Дана система неравенств Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют: а) первому неравенству системы; б) первым двум неравенствам системы; в) всем трем неравенствам системы.

Ответы: 1. 2. 3. 4.

3. Cистемы неравенств с параметрами Пример 10. Найти все значения параметра а, при которых множество решений системы неравенств содержит отрезок l с концами в точках A(1; 0) и B(1; 1). Пусть точка М( х; у) принадлежит отрезку l, тогда х =1, 0≤y≤ 1. Поэтому задача сводится к нахождению значений а, при которых система неравенств полученная из данной системы при х=1, имеет решения при любом Система (6) равносильна системе Если у = 1, то система (7) примет вид

откуда следует, что а=-2. Если yϵ[0; 1], то из системы (7) получаем откуда следует, что -3≤а≤-1. Так как -2ϵ[-3; -1], то при а =-2 (и только при этом значении а) система (7) и равносильная ей система (6) имеют решение при всех yϵ[О; 1]. Ответ: а=-2. Пример 11. Найти все значения параметра a, при которых множество решений системы неравенств содержит отрезок [-1; 0] оси Ох. Подставив в данную систему у=0, получим

Множество решений неравенства (9) —отрезок А 1 = [х1; x 2], где х1 и x 2 — абсциссы точек пересечения параболы С осью Ох. Если Д С Д 1 то так как f{x)≤ 0 для всех хϵΔ 1 Обратно, если выполняются условия (11), то -1ϵΔ 1 и OϵΔ 1, откуда следует, что ΔCΔ 1 Таким образом, условиям задачи удовлетворяют те и только те значения а ^ 0, для которых выполняются неравенства (11), т. е. Откуда находим 0≤a≤ 3 Ответ: 0≤a≤ 3

Задачи: 1. Вершины B, C, D параллелограмма ABCD имеют соответственно координаты (-3; 2), (2; 3), (3; -4). Найти все значения параметра а, для которых координаты вершины А являются решением системы неравенств 2. Найти все значения параметра а, при которых система неравенств имеет решение. 3. Найти все значения параметра а, при которых множество решений системы неравенств

Ответы: 1. 2. 3.

Скачать презентацию Система неравенств Бактыбай Алпамыс 11 Ж

Система неравенств.pptx

Количество слайдов: 20