Система натуральных чисел Вводный курс математики Множество

Система натуральных чисел Вводный курс математики

Множество натуральных чисел – множество N (N ), если: • выделен элемент 1 • для каждого элемента однозначно определен последующий элемент • выполняются аксиомы Пеано (Peano)

m, n N Аксиомы Пеано P 1. 1 (единица) является натуральным числом P 2. ( n N ) & ( n = m ) Всюду определено и однозначно P 3. n 1 Не сюръективно P 4. n = m Инъективно P 5. Аксиома индукции: M N ( 1 M & n N ( n M ) ) N M N=M

Сложение натуральных чисел – бинарная операция T: N N N, удовлетворяющая условиям: m, n N 1) n T 1 = n 2) n T m = (n T m) Сумма – результат сложения Сложение натуральных чисел существует и единственно Обозначим: a + b

Свойства сложения 1) a N a + 1 = a 2) a, b N a + b = (a + b) 3) a N 1 + a = a 4) a, b N a + b = (a + b) 5) a, b N a + b = b + a 6) a, b, c N (a + b) + c = a + (b + c) 1) a, b, c N a + c = b + c a = b c+a=c+b a=b

Умножение натуральных чисел – бинарная операция П: N N N, удовлетворяющая условиям: m, n N 1) n П 1 = n 2) n П m = n П m + n Произведение – результат умножения Умножение натуральных чисел существует и единственно Обозначим: a b

Свойства умножения 1) a N a 1 = a 2) a, b N a b = a b + a 3) a N 1 a = a 4) a, b N a b = a b + b 5) a, b, c N a (b + c) = a b + a c 6) a, b N a b = b a 7) a, b, c N (a b) c = a (b c)

Три формы метода математической индукции для натуральных чисел Пусть P(x) – предикат, определенный на N Первая форма: [ P(1) & n ( P(n) P(n+1) ) ] m P(m) Вторая форма: [ P(1) & n ( k