Скачать презентацию Система m линейных уравнений с n переменными в Скачать презентацию Система m линейных уравнений с n переменными в

матем 2лекция.ppt

  • Количество слайдов: 83

Система m линейных уравнений с n переменными в общем случае имеет вид: 1 Система m линейных уравнений с n переменными в общем случае имеет вид: 1

n n Где числа называются коэффициентами при переменных; - свободные члены; - переменные. Иначе n n Где числа называются коэффициентами при переменных; - свободные члены; - переменные. Иначе систему (1) можно записать:

Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел k 1, k 2, …kn при Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел k 1, k 2, …kn при подстановке которых каждое уравнение обращается в верное равенство.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система называется определенной, если Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система называется определенной, если она имеет ровно одно решение. Система называется неопределенной, если она имеет более одного решения. Система называется несовместной, если она не имеет решений.

Запишем систему уравнений в матричной форме. Обозначим: – матрица коэффициентов при переменных или матрица Запишем систему уравнений в матричной форме. Обозначим: – матрица коэффициентов при переменных или матрица системы

–матрица-столбец переменных –матрица-столбец членов свободных –матрица-столбец переменных –матрица-столбец членов свободных

Рассмотрим произведение: - матрица-столбец, элементами которой являются левые части системы (1). Тогда в матричной Рассмотрим произведение: - матрица-столбец, элементами которой являются левые части системы (1). Тогда в матричной форме систему (1) можно записать: АХ=В

1. МЕТОД ГАУССА n Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из системы уравнений. 1. МЕТОД ГАУССА n Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из системы уравнений. International Sakharov Environmental University

n Дана система из трех уравнений: n Матрица системы будет иметь вид: Если включить n Дана система из трех уравнений: n Матрица системы будет иметь вид: Если включить в нее столбец свободных членов, то она будет называться расширенной: International Sakharov Environmental University

Исключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Это эквивалентно получению нулей во Исключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Это эквивалентно получению нулей во 2 -й и 3 -ей строке первого столбца. Для этого умножим первое уравнение на ( -2) и (-3) и сложим соответственно, со 2 -м и 3 -м уравнением: International Sakharov Environmental University

Теперь исключим переменную x 2 из третьего уравнения (получим ноль в 3 -ей строке Теперь исключим переменную x 2 из третьего уравнения (получим ноль в 3 -ей строке 2 -го столбца). Для этого умножим 2 -е уравнение на (-5) и сложим его с третьим: International Sakharov Environmental University

Запишем полученную уравнений: Последовательно находим: Ответ: International Sakharov Environmental University систему Запишем полученную уравнений: Последовательно находим: Ответ: International Sakharov Environmental University систему

2. МЕТОД КРАМЕРА Пусть дана система (1). Рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно 2. МЕТОД КРАМЕРА Пусть дана система (1). Рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений. Найдем определитель матрицы системы: International Sakharov Environmental University

Пусть ΔJ – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j–го столбца столбцом свободных Пусть ΔJ – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j–го столбца столбцом свободных членов: Тогда, если определитель матрицы системы не равен 0, то система уравнений (1) имеет единственное решение, которое определяется по формулам: International Sakharov Environmental University

International Sakharov Environmental University International Sakharov Environmental University

Решим систему из предыдущего примера. Матрица системы имеет вид: Находим ее определитель: International Sakharov Решим систему из предыдущего примера. Матрица системы имеет вид: Находим ее определитель: International Sakharov Environmental University

Найдем определители Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 : International Sakharov Environmental Найдем определители Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 : International Sakharov Environmental University

Используем формулы Крамера: Ответ: International Sakharov Environmental University Используем формулы Крамера: Ответ: International Sakharov Environmental University

Замечание: Если Δ=0 при том, что хотя бы один из определителей ΔJ не равен Замечание: Если Δ=0 при том, что хотя бы один из определителей ΔJ не равен нулю, то система (1) несовместна. Если Δ=0 и все ΔJ тоже равны нулю, то система неопределенная, так как она имеет бесконечное множество решений. International Sakharov Environmental University

3. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Пусть дана система (1). Снова рассмотрим случай, когда число неизвестных 3. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Пусть дана система (1). Снова рассмотрим случай, когда число неизвестных равно числу уравнений. В матричной форме система имеет вид: Пусть существует обратная матрица А-1 к матрице системы А. International Sakharov Environmental University

Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец Х: Проверяем: International Sakharov Environmental University Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец Х: Проверяем: International Sakharov Environmental University

Решим систему из предыдущего примера. Матрица системы и столбец свободных членов имеют вид: Найдем Решим систему из предыдущего примера. Матрица системы и столбец свободных членов имеют вид: Найдем обратную матрицу А-1 : Ранее был найден определитель матрицы А: International Sakharov Environmental University

Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А : International Sakharov Environmental University Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А : International Sakharov Environmental University

International Sakharov Environmental University International Sakharov Environmental University

Составляем матрицу из найденных алгебраических дополнений: Транспонируем определитель. матрицу: ее и делим на Получаем Составляем матрицу из найденных алгебраических дополнений: Транспонируем определитель. матрицу: ее и делим на Получаем обратную International Sakharov Environmental University

Находим решение системы уравнений: Ответ: International Sakharov Environmental University Находим решение системы уравнений: Ответ: International Sakharov Environmental University

Система m линейных уравнений с n переменными называется однородной, если все свободные члены в Система m линейных уравнений с n переменными называется однородной, если все свободные члены в системе равны нулю. International Sakharov Environmental University

International Sakharov Environmental University International Sakharov Environmental University

Такая система всегда совместна, так как имеет, по крайней мере, нулевое решение. Если в Такая система всегда совместна, так как имеет, по крайней мере, нулевое решение. Если в системе число неизвестных равно числу уравнений (n=m), а ее определитель не равен нулю, то такая система имеет только нулевое решение. Для того, чтобы система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы число уравнений было меньше числа переменных или чтобы определитель системы был равен нулю. International Sakharov Environmental University

Таким образом, если n=m , то ненулевое решение системы возможно только в том случае, Таким образом, если n=m , то ненулевое решение системы возможно только в том случае, если ее определитель равен нулю. Действительно, предположим Δ=0. По формулам Крамера все Δ 1, Δ 2… ΔJ тоже будут равны 0, так как они будут содержать нулевой столбец свободных членов. Поэтому система будет иметь бесконечное множество решений. Если. Sakharov Environmental Universityнулю, то система же Δ не равен International

International Sakharov Environmental University International Sakharov Environmental University

Направленный отрезок, на котором заданы начало, конец и направление, называется вектором. Обозначает ся: International Направленный отрезок, на котором заданы начало, конец и направление, называется вектором. Обозначает ся: International Sakharov Environmental University

Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом и концом. Обозначает ся: Векторы, Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом и концом. Обозначает ся: Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым. International Sakharov Environmental University

В любой системе отсчета вектор характеризуется своими координатами. Пусть в системе отсчета XYZ заданы В любой системе отсчета вектор характеризуется своими координатами. Пусть в системе отсчета XYZ заданы координаты начала и конца вектора: Тогда координаты вектора будут: Где: Или: International Sakharov Environmental University

International Sakharov Environmental University International Sakharov Environmental University

Длина вектора определяется по формуле: International Sakharov Environmental University Длина вектора определяется по формуле: International Sakharov Environmental University

Пусть два вектора координатами: заданы своими Если эти вектора коллинеарны, то их соответствующие координаты Пусть два вектора координатами: заданы своими Если эти вектора коллинеарны, то их соответствующие координаты должны быть пропорциональны: International Sakharov Environmental University

Суммой двух векторов будет вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат исходных векторов. International Суммой двух векторов будет вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат исходных векторов. International Sakharov Environmental University

Для построения суммы векторов, нужно совместить конец первого вектора с началом второго. Тогда вектор Для построения суммы векторов, нужно совместить конец первого вектора с началом второго. Тогда вектор их суммы будет направлен от начала первого вектора к концу второго: Аналогично определяется сумма нескольких векторов. International Sakharov Environmental University

Разностью векторов называется векторов двух сумма International Sakharov Environmental University Разностью векторов называется векторов двух сумма International Sakharov Environmental University

В параллелограмме, построенном на двух векторах, одна диагональ представляет собой сумму этих векторов, а В параллелограмме, построенном на двух векторах, одна диагональ представляет собой сумму этих векторов, а другая – разность: International Sakharov Environmental University

Произведением вектора на число будет вектор, координаты которого равны произведению соответствующих координат исходного вектора Произведением вектора на число будет вектор, координаты которого равны произведению соответствующих координат исходного вектора на это число. International Sakharov Environmental University

Геометрически смысл умножения вектора на число заключается в увеличении его длины в λ раз, Геометрически смысл умножения вектора на число заключается в увеличении его длины в λ раз, если lλl>1, и в ее сокращении во столько же раз при lλl<1. International Sakharov Environmental University

1 2 International Sakharov Environmental University 1 2 International Sakharov Environmental University

3 4 5 International Sakharov Environmental University 3 4 5 International Sakharov Environmental University

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. International Sakharov Environmental University

Если два вектора координатами: заданы То скалярное произведение следующим образом: своими выразится Отсюда можно Если два вектора координатами: заданы То скалярное произведение следующим образом: своими выразится Отсюда можно выразить угол между двумя векторами: International Sakharov Environmental University

Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение должно быть равно нулю: International Sakharov Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение должно быть равно нулю: International Sakharov Environmental University

n – мерным вектором Х называется любой упорядоченный набор из n – действительных чисел n – мерным вектором Х называется любой упорядоченный набор из n – действительных чисел х1, х2, …хn Числа, входящие в этот набор, называются координатами вектора. Два n – мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты. International Sakharov Environmental University

1 2 International Sakharov Environmental University 1 2 International Sakharov Environmental University

3 4 5 International Sakharov Environmental University 3 4 5 International Sakharov Environmental University

6 Существует нулевой вектор такой что для любого вектора X 7 Для любого вектора 6 Существует нулевой вектор такой что для любого вектора X 7 Для любого вектора X существует противоположный вектор –Х, такой что International Sakharov Environmental University

8 При умножении любого вектора на число получается тот же самый вектор: International Sakharov 8 При умножении любого вектора на число получается тот же самый вектор: International Sakharov Environmental University

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным свойствам, называются векторным пространством. International Sakharov Environmental University

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное сумме произведений соответствующих компонент этих векторов: International Скалярным произведением двух векторов называется число, равное сумме произведений соответствующих компонент этих векторов: International Sakharov Environmental University

Экономический смысл: Если есть вектор товаров, объемов различных есть вектор цен этих товаров, то Экономический смысл: Если есть вектор товаров, объемов различных есть вектор цен этих товаров, то их скалярное произведение есть суммарная стоимость этих товаров. International Sakharov Environmental University

1 2 International Sakharov Environmental University 1 2 International Sakharov Environmental University

3 4 (равенство нулю для нулевого вектора) International Sakharov Environmental University 3 4 (равенство нулю для нулевого вектора) International Sakharov Environmental University

Два вектора будут ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. International Sakharov Environmental University Два вектора будут ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. International Sakharov Environmental University

Длина или норма n-мерного вектора определяется по формуле: International Sakharov Environmental University Длина или норма n-мерного вектора определяется по формуле: International Sakharov Environmental University

Угол между двумя векторами определяется по формуле: International Sakharov Environmental University Угол между двумя векторами определяется по формуле: International Sakharov Environmental University

Это неравенство выполняется благодаря неравенству Коши-Буняковского: которое справедливо для любых двух векторов. International Sakharov Это неравенство выполняется благодаря неравенству Коши-Буняковского: которое справедливо для любых двух векторов. International Sakharov Environmental University

Линейной комбинацией векторов называется вектор гд любые е действительные числа. International Sakharov Environmental University Линейной комбинацией векторов называется вектор гд любые е действительные числа. International Sakharov Environmental University

Например, даны три вектора: И числа Линейной комбинацией этих векторов будет вектор: Говорят, что Например, даны три вектора: И числа Линейной комбинацией этих векторов будет вектор: Говорят, что векторам а. вектор b International Sakharov Environmental University разлагается по

Вектор ы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные нулю одновременно, что Вектор ы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные нулю одновременно, что В противном случае вектора называются линейно независимыми. International Sakharov Environmental University

Пусть система векторов линейно зависима: Выберем в этой сумме член с номером s и Пусть система векторов линейно зависима: Выберем в этой сумме член с номером s и выразим его через стальные слагаемые: Т. об. , один из векторов линейно зависимой системы оказывается выраженным через другие вектора этой системы. International Sakharov Environmental University

1 Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима. 2 Система, содержащая нулевой вектор, всегда 1 Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима. 2 Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима. International Sakharov Environmental University

3 Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди 3 Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится хотя бы один вектор, который линейно выражается через остальные вектора системы. International Sakharov Environmental University

Геометрический смысл линейной зависимости векторов: Если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны: Если Геометрический смысл линейной зависимости векторов: Если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны: Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны. International Sakharov Environmental University

Система векторов называется базисом пространства Rn, если 1 Векторы этой системы линейно независимы. 2 Система векторов называется базисом пространства Rn, если 1 Векторы этой системы линейно независимы. 2 Любой вектор из этого пространства линейно выражается через векторы этой системы. International Sakharov Environmental University

ТЕОРЕМА Линейно независимая система векторов в пространстве Rn является базисом тогда и только тогда, ТЕОРЕМА Линейно независимая система векторов в пространстве Rn является базисом тогда и только тогда, когда число векторов этой системы равно размерности пространства n. International Sakharov Environmental University

ТЕОРЕМА Разложение любого вектора в данном базисе является единственным. International Sakharov Environmental University ТЕОРЕМА Разложение любого вектора в данном базисе является единственным. International Sakharov Environmental University

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть система векторов является базисом. Предположим, что вектор b может быть представлен в ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть система векторов является базисом. Предположим, что вектор b может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов двумя способами: International Sakharov Environmental University

Причем наборы чисел и не совпадают. Вычтем одно равенство из другого: Получили, что линейная Причем наборы чисел и не совпадают. Вычтем одно равенство из другого: Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, т. е. Система оказалась линейно зависимой, что противоречит условию теоремы. Следовательно, разложение вектора в данном базисе будет единственным. International Sakharov Environmental University

Таким образом, в произвольном базисе пространства Rn любой вектор из этого пространства представим в Таким образом, в произвольном базисе пространства Rn любой вектор из этого пространства представим в виде разложения по базисным векторам: Причем, это разложение является единственным для данного базиса. Числа называются координатами вектора в базисе International Sakharov Environmental University

Чтобы найти коэффициенты разложения αi в случае произвольного базиса, нужно приравнять соответствующие координаты линейной Чтобы найти коэффициенты разложения αi в случае произвольного базиса, нужно приравнять соответствующие координаты линейной комбинации и координаты вектора Пусть базисные вектора заданы в координатной форме: И задан вектор International Sakharov Environmental University

Тогда получим систему линейных уравнений: Решая эту систему, находим коэффициенты разложения International Sakharov Environmental Тогда получим систему линейных уравнений: Решая эту систему, находим коэффициенты разложения International Sakharov Environmental University

Рассмотрим базис пространства Rn , в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса: Такой Рассмотрим базис пространства Rn , в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса: Такой базис называется ортогональным. Они хорошо представимы на плоскости и в пространстве: International Sakharov Environmental University

International Sakharov Environmental University International Sakharov Environmental University

Найдем разложение вектора в ортогональном базисе: Умножим обе части равенства на Поскольку все вектора Найдем разложение вектора в ортогональном базисе: Умножим обе части равенства на Поскольку все вектора базиса взаимно ортогональны, то International Sakharov Environmental University

Имеем: В общем случае: International Sakharov Environmental University Имеем: В общем случае: International Sakharov Environmental University

Частным случаем ортогонального базиса является ортонормированный базис. В этом случае все базисные вектора имеют Частным случаем ортогонального базиса является ортонормированный базис. В этом случае все базисные вектора имеют единичную длину: Тогда коэффициенты разложения имеют вид: International Sakharov Environmental University