Система аксиом школьного курса геометрии. Аксиомы геометрии

Система аксиом школьного курса геометрии.

Аксиомы геометрии представляют собой исходные положения, на основе которых строится вся геометрия, т. е. путем логических рассуждений устанавливаются свойства геометрических фигур. В аксиомах выражены свойства основных геометрических понятий. К таковым относятся понятия точки, прямой и плоскости, понятие «лежат между» для точек прямой и понятие наложения. Кроме того, в аксиомах геометрии и вытекающих из них утверждений используются такие общематические понятия, как «лежат на» , «множество» , «число» . Здесь я приведу все аксиомы геометрии.

Первая группа аксиом характеризует взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. 1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки. 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. 4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 5. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Вторая группа аксиом характеризует наложение и равенство фигур. • Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими. • Каждая точка О прямой разделяет ее на две части- два луча- так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. • Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части(две полуплоскости)так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.

• Каждая плоскость L разделяет пространство на две части(два полупространства)так, что любые две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от плоскости L, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от плоскости L. • Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. • На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. • От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

• Два равных угла hk и h 1 k 1 , лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств P и P 1, можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства P и P 1 , причем это можно сделать двумя способами: в одном случае совместятся лучи h 1, k и k 1, а в другом- лучи h и k 1, k и h 1 • Любая фигура равна самой себе. • Если фигура Ф равна фигуре Ф 1, то фигура Ф 1 равна фигуре Ф. • Если фигура Ф 1 равна фигуре Ф 2, а фигура Ф 2 равна фигуре Ф 3, то фигура Ф 1 равна фигуре Ф 3.

Третья группа аксиом характеризует измерение и существование отрезка данной длины. • При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. • При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом. И последняя аксиома в стереометрии, как и планиметрии, есть аксиома параллельных прямых. • В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Вопросы. 1) Что представляют собой аксиомы геометрии? 2) Если фигура Ф 1 равна фигуре Ф 2, а фигура Ф 2 равна фигуре Ф 3, то………… а) фигуры Ф 1, Ф 2, Ф 3 не равны; б) фигура Ф 1 равна фигуре Ф 3; в) фигура Ф 1 не равна фигуре Ф 3.

3)Закончите аксиому. 1. 2. 3. 4. 5. Через любые две точки проходит прямая… Если две точки прямой лежат в плоскости… На любом луче от его начала можно отложить отрезок… Любая фигура равна… В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости… 1. проходит только одна прямая, параллельная данной; 2. равный данному, и притом только один; 3. и притом только одна; 4. то все точки прямой лежат в этой плоскости; 5. самой себе.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!