Символический метод 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод Рассмотрим стальной сердечник с двумя катушками индуктивности Ф 12 I 2(t) i 1(t) Ф 11 = Ф 1 s+ Ф 12 Ф 22 = Ф 2 s+ Ф 21 Ф 2 s U 1(t) Каждая катушка создает свой магнитный поток. ф21 U 2(t) Ф 1 S , Ф 2 s – потоки рассеяния Ф 12, Ф 21 - потоки взаимоиндукции Ф 1 s μ μ 0 Стальной сердечник Когда потоки само и взаимоиндукции совпадают в магнитосвязанных катушках, то такое включение называют согласным. 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод Таким образом при согласном включении напряжение на катушках Так как ψ11 =L 1 i 1 , ψ22= L 2 i 2 , ψ12= Mi 1 , ψ21= Mi 2 , то Или в комплексном виде U k 1= I 1 jωL 1+ I 2 jωM 2003 г U k 2= I 2 jωL 2+ I 1 jωM Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод Изменим направление тока во второй катушке. Тогда потоки взаимоиндукции будут направлены встречно. (Рис2) ф21 Ф 12 i 1(t) U 2(t) Ф 2 s U 1(t) Ф 1 s I 2(t) μ μ 0 Рис. 2 U k 1= I 1 jωL 1 - I 2 jωM 2003 г U k 2= I 2 jωL 2 - I 1 jωM Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод Если потоки само и взаимоиндукции в магнитосвязанных катушках направлены навстречу другу, то такое включение катушек называется встречным. На электрической схеме способ включения катушек обозначается звездочками, причем если токи одинаково ориентированы относительно помеченных зажимов, то включение катушек называется согласным, если токи ориентированы по-разному то включение катушек называется встречным. М Ik(t) * Lk Is(t) Ls * Согласное включение 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод М Ik(t) * Is(t) Lk Ls * встречное включение Если взаимодействующих катушек индуктивности больше чем две, и влияют они друг на друга по разному , то обязательно указываются индексы взаимодействующих катушек М 12 L 1 * 2003 г М 13 * L 2 М 23 Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод Правило знаков при записи законов Кирхгофа 1. Если в электрической цепи две магнитосвязанных катушки включены согласно, то в законах Кирхгофа напряжение самоиндукции и взаимоиндукции записываются с одинаковыми знаками, если встречно-то с противоположными знаками. Замечание. Напряжение, обусловленное потоком самоиндукции (Ф 11, Ф 22) называется напряжением самоиндукции, а потоками (Ф 12, Ф 21) напряжением взаимоиндукции. U 1=I 1 jωL 1 , U 2= I 2 jωL 2 -напряжения самоиндукции U 12=I 2 jωM - напряжение взаимоиндукции( напряжение на первой катушке обусловленное током второй катушки. ) U 21=I 1 jωM - напряжение взаимоиндукции( напряжение на второй катушке обусловленное током первой катушки. ) 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод Пример 2. Если в электрической цепи взаимодействуют катушки К и S , то при определении знака напряжения взаимной индукции сравнивают направление обхода катушки К и тока в катушке S относительно одноименных зажимов. Если эти направления совпадают, то знаки у напряжений само- и взаимоиндукции одинаковы, если нет-то противоположные. Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод M I 1 U 1 R 2 *L 1 L 2 * I 2 U 2 I 1 R 1 + I 1 jx. L 1 - I 2 jxm = U 1 I 2 R 2 + I 2 jx. L 2 - I 1 jxm + U 2=0 Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод Последовательное включение магнитосвязанных элементов а) Согласное включение катушек M I U R 1 * U k 1 R 2 L 1 н. о. L 2 * U k 2 Второй закон Кирхгофа для контура IR 1+ I jx. L 1+ I jхm+ I R 2+I jx. L 2+I jxm= U 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод U = I (R 1+ R 2 ) + I j ( x. L 1+ x. L 2 +2 xm) Xсогл. ( x. L 1+ x. L 2 +2 xm) = х согл. - полное реактивное сопротивление катушек при их согласном последовательном включении Векторная диаграмма Ijxm Uk 2 Ijx. L 2 U Ijxm Uk 1 IR I jxm - напряжение взаимоиндукции I jx. L 1 , I jx. L 2 - напряжения самоиндукции I jx. L 1 I 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами

в) Встречное включение катушек M I U R 1 * U k 1 R 2 L 1 н. о. L 2 U k 2 * Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура I R 1+ I jx. L 1 - I jхm+ I R 2+I jx. L 2 - I jxm=U U = I (R 1+ R 2 ) + I j ( x. L 1+ x. L 2 - 2 xm) Xвстречн.

Символический метод ( x. L 1+ x. L 2 - 2 xm) = х встречн. - Полное реактивное сопротивление катушек при их последовательном встречном включении Векторная диаграмма I jx. L 2 I jx. L 1 U Uk 1 2003 г - I jxm Uk 2 IR 1 I Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод Общий принцип расчета цепей с взаимной индукцией Расчет цепей со взаимной индукцией М, без предварительных преобразований, можно осуществлять только по законам Кирхгофа, методу контурных токов, методу наложения. Все остальные методы ( узловых потенциалов, эквивалентного генератора, преобразования электрических цепей ) для расчета цепей со взаимной индукцией не могут использоваться, так как токи в ветвях зависят не только от разности потенциалов обусловленной источником питания, но и от взаимодействия ветвей друг с другом. 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод Расчет сложных электрических цепей с взаимоиндукцией Пример R 4 I 33 I 1+I 2+I 3=0 * jx. L 4 j x. L 1 jx. L 3 R 2 R 1 I 11 E 1 (для верхнего узла) I 1 R 1+I 1 jx. L 1 -I 3 jxm 13+I 4 jxm 14 -I 2 R 2+I 2 jxc 2 = E 1 * * I 1 xm 43 xm 14 1. Уравнения по законам Кирхгофа I 2 -jxc 2 I 22 I 3 I 2 R 2 - I 2 jx. C 2 - I 3 jx. L 3+ I 4 jxm 43+I 1 jxm 13+I 3 jxc 3= -E 3 -jxc 3 I 4 R 4+I 4 jx. L 4 -I 3 jxm 13+I 1 jxm 14= 0 E 3 2. Составим систему уравнений по методу контурных токов I 11 (R 1+jx. L 1 + R 2 - jxc 2 )- I 22 (R 2 - jxc 2 )+ I 22 jxm 13+I 33 jxm 14= E 1 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод I 22( R 2 - jx. C 2+ jx. L 3 - jxc 3)- I 11( R 2 - jx. C 2) +I 11 jxm 13+I 33 jxm 43=- E 3 I 33 (R 4+jx. L 4 )+I 11 jxm 14+I 22 jxm 34= 0 Полученные системы уравнений достаточно сложны, так как учитывают наводимые потоками взаимоиндукции напряжения в катушках индуктивности. Для упрощения расчетов можно произвести эквивалентную замену индуктивных связей. Тогда получим обычную электрическую цепь, при расчетах можно использовать любые известные методы. 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод Эквивалентная замена индуктивных связей или "развязка" 2 1 I 2 м * * I 1 U 13 Цель: Получить эквивалентную схему L 1 L 2 без магнитных связей U 23 Система уравнений по законам Кирхгофа 1. I 1 + I 2 - I 3= 0 I 3 Рис. 1 2. -I 1 jx. L 1 – I 2 jxm +U 13=0 3. -I 2 jx. L 1 – I 1 jxm +U 23=0 3 Xm= ωм- реактивное сопротивление взаимной индукции Выразим из 1 го уравнения токи I 1 и I 2 I 1=I 3 - I 2 подставим их в уравнения 2 и 3 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами I 2=I 3 -I 1 и

Символический метод I 1(jx. L 1 - jxm)+ I 3 jxm= U 13 4. I 1 jx. L 1+I 3 jxm-I 1 jxm=U 13 5. I 2 jx. L 2+I 3 jxm-I 2 jxm=U 23 I 2(jx. L 1 - jxm)+ I 3 jxm= U 23 6. 7. По уравнениям (6) и (7) может составлена электрическая схема 1 I 1 2 jx. L 1 U 13 jx. L 2 -jxm +jxm I 3 Рис. 2 2003 г I 2 U 23 В электрической цепи Рис. 2 уже нет магнитной связи, однако в ветвях 1 и 2, а также за узлом появились дополнительные сопротивления хм. Цепь "развязана. " Полученная электрическая цепь эквивалентна заданной. В цепи рис. 2 и заданной одинаковы токи I 1 , I 2 , I 3 , а также напряжения U 13 и U 23. 3 Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод Правило знаков при эквивалентной замене индуктивных связей Если две индуктивно связанных катушки подключены к узлу одинаковыми зажимами , то при "развязке" в свои ветви (где находятся катушки) добавляются сопротивления ( -j. Хm), а в ветвь за узлом сопротивление (+jxm). Если катушки присоединены разноименными зажимами , то знаки у сопротивлений xm противоположные. 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами

Символический метод I 1 R 1+ I 1 jx. L 1+I 2 jxm-I 2 jx. L 2 -I 1 jxm-I 2 R 2= - U 1+ U 2 2003 г Цепи с магнитосвязанными элементами