Симплекс метод
Теорема 1. Пусть G - выпуклое множество. Тогда любая выпуклая комбинация точек, принадлежащих этому множеству, также принадлежит этому множеству. Теорема 2. Допустимая область задачи линейного программирования является выпуклым множеством. Замечание: В канонической форме область G определена условиями Теорема 3. Множество оптимальных планов задачи линейного программирования выпукло (если оно не пусто). Теорема 4. Для того, чтобы задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы целевая функция на допустимом множестве была ограничена сверху (при решении задачи на максимум) или снизу (при решении задачи на минимум). Теорема 5. Любая точка выпуклого многогранника является выпуклой комбинацией его вершин.
Теорема 6. (Основная теорема линейного программирования) Целевая функция задачи линейного программирования достигает своего экстремума (минимума или максимума) в вершине допустимой области. Если целевая функция достигает экстремального значения более, чем на одной вершине, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих вершин. Замечание. Совсем не надо перебирать все точки допустимой области. Достаточно перебрать вершины допустимой области, а ведь их - конечное число. Кроме того, как это окажется далее, не нужно перебирать все вершины, можно этот перебор существенно сократить. Только вот как узнать, имеем ли мы дело с вершиной или нет?
• • Пусть число ограничений в задаче линейного программирования равно m. Так каждая система из n векторов в m-мерном пространстве линейно зависима (n>m), то среди компонент плана, соответствующего вершине, не более m отличных от нуля компонент. Определение. План, соответствующий вершине допустимой области, называется опорным планом. Если опорный план имеет ровно m отличных от нуля компонент, то он называется невырожденным опорным планом. Если число ненулевых компонент опорного плана меньше m, то он называется вырожденным опорным планом. Проблема вырожденных опорных планов - сложная проблема. К счастью, в обычных ситуациях вырожденные опорные планы встречаются очень редко. Поэтому мы всюду далее будем считать, что все опорные планы невырождены.
Переход от вершины к вершине
• Замечание. Новый опорный план (вершину) определяется через отношение Причем, он выбирается так , чтобы отношение было минимальным из всех индексов j, для которых компоненты неотрицательны. Требование минимальности позволяет оставить число ненулевых компонент неизменным и обеспечивает достаточно легкую процедуру перехода от одной вершины к другой. Отметим следующее. Если все компоненты Xjm+1 ≤ 0 неположительны, то в этом случае допустимая область неограничена и постановка задачи теряет смысл.
Основная идея симплекс-метода заключается в том, чтобы так переходить от вершины к вершине, чтобы при каждом переходе значение целевой функции уменьшалось или увеличивалось.
Алгоритм симплекс метода
Этапы построения
Если исходная задача линейного программирования записана в произвольной форме, то для записи двойственной задачи следует сначала записать исходную задачу в канонической или стандартной форме, а затем выписать двойственную задачу. При желании, получившуюся двойственную задачу также можно привести к какой-либо нестандартной форме.
• Экономическая интерпретация двойственной задачи в симметричной форме:
Свойства двойственных задач Следствие 1. Если в одной задаче из пары двойственных задач целевая функция неограничена, то во второй задаче допустимая область пуста.
• • • Определение. Решение системы линейных уравнений, определяемое базисом, называется псевдопланом задачи, если для любого j. Двойственный симплекс-метод позволяет за конечное число итераций найти оптимальный план двойственно невырожденной задачи, или обнаружить, что множество планов пусто. Теорема 1. Если в псевдоплане, определяемом базисом из m векторов, есть хотя бы одно отрицательное число, для которого все координаты вектора больше либо равны 0. Теорема 2. Если в псевдоплане, определяемом базисом из m векторов, есть хотя бы одно отрицательное число, для которого хотя бы одна координата вектора меньше 0, то можно перейти к новому псевдоплану, при котором значение целевой функции уменьшится. Теорема 3. При решении задачи двойственным симплекс-методом одновременно строится и оптимальный план другой (двойственной) задачи или устанавливается неограниченность снизу.
Алгоритм двойственного симплекс-метода • Этап 1 Находим псевдоплан задачи. • Этап 2 Проверяем псевдоплан на оптимальность. Если псевдоплан оптимален, то найдено решение задачи. В противном случае либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому псевдоплану. • Этап 3 Выбираем направляющую строку с помощью определения наибольшего по абсолютной величине компоненты плана и направляющий столбец находят при подсчете наименьшей по абсолютной величине отношения элементов строки разностей к соответствующим отрицательным элементам направляющей строки. • Этап 4 Находим новый псевдоплан и продолжают действия с этапа 2.
