Симплекс-метод решения ЗЛП Содержание 1 Определение К-матрицы

Симплекс-метод решения ЗЛП

Содержание 1. Определение К-матрицы в КЗЛП 2. Переход от одной К-матрицы КЗЛП к другой К 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. матрице Симплекс-разность К-матрицы КЗЛП Способ построения опорного плана, более близкого к оптимальному Критерий оптимальности опорного плана Критерий отсутствия конечного решения Алгоритм симплекс-метода Пример 1 Пример 2 АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА 2

Симплекс-метод решения ЗЛП Пусть требуется решить задачу (1) Или (2) Симплекс-метод 3

Так как решением задачи (2) является крайняя точка множества Р ее допустимых решений, или, что то же самое, неотрицательное базисное решение системы линейных уравнений , то метод решения задачи (1) должен содержать 4 момента: 1) обоснование способа перехода от одного опорного плана (Кматрицы) к другому; 2) указание признака оптимальности, позволяющего проверить, является ли данный опорный план оптимальным; 3) указание способа построения нового опорного плана, более близкого к оптимальному; 4) указание признака отсутствия конечного решения. Симплекс-метод 4

Определение К-матрицы в КЗЛП Рассмотрим каноническую задачу линейного программирования (КЗЛП): Будем считать, что ранг матрицы А равен m, причем m

Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой К-матрице. Пусть известна К-матрица (3) Обозначим через вектор номеров базисных (единичных) столбцов матрицы , - вектор, компоненты которого есть базисные компоненты опорного плана, определяемого матрицей , и могут быть отличны от нуля. Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 6

Остальные (n - m) компонент опорного плана, определяемого матрицей , равны нулю. Очевидно, что векторы и полностью задают опорный план, определяемый матрицей Например, пусть: , тогда ; опорный план, определяемый и, следовательно, , имеет вид: Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 7

Итак, пусть К-матрица (3) определяет невырожденный опорный план Выберем в матрице столбец , не принадлежащий единичной подматрице, т. е. , , и такой, что в этом столбце есть хотя бы один элемент больше нуля. Пусть матрицей новую матрицу . Считая направляющим элементом, совершим над один шаг метода Жордана - Гаусса. В результате получим , в которой стал единичным, но которая может и не быть К-матрицей, т. к. среди величин могут быть отрицательные. Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 8

Теорема 1. Пусть в каком-либо столбце К-матрицы один строго положительный элемент ( , есть хотя бы ). Тогда с помощью одного шага метода Жордана-Гаусса можно построить новую К-матрицу , выбрав направляющий элемент из условия Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 9

Доказательство: Пусть известна К-матрица задачи линейного программирования, которая определяет невырожденный опорный план , , следовательно, Остальные n-m компонент опорного плана равны нулю. Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 10

Возьмем в матрице столбец К , не принадлежащий единичной подматрице ( , ) и такой, что в этом столбце есть хотя бы один отличный от нуля элемент. Пусть. Считая направляющим элементом, совершим над матрицей один шаг метода Жордана-Гаусса. В результате получим новую матрицу , элементы которой выражаются через элементы матрицы следующим формулам: АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА по 11

(1*) (2*) (3*) Таким образом, в результате одного шага метода Жордана. Гаусса мы получили L-матрицу ЗЛП, причем компоненты вектора выражаются по следующим формулам: (4*) Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 12

Однако матрица как среди величин может и не быть К-матрицей ЗЛП, так могут быть отрицательные. Получим условия, которым должен удовлетворять направляющий элемент , чтобы. Из следует, что тогда и только тогда, когда (4) Это первое условие, которое мы должны наложить на выбор направляющего элемента. Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 13

Из следует, что тогда и только тогда, когда (5) Условие (5) выполняется для всех , Перепишем неравенство (5) для строго положительных в виде (6) Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 14

Очевидно, неравенство (6) будет выполняться для всех если выбрать таким, что , (7) Если минимум в соотношении (7) достигается при одном значении индекса i, то , т. е. матрица определяет в этом случае план ЗЛП. Если минимум в соотношении (7) достигается при нескольких значениях индекса i , то Тогда при определяет вырожденный опорный план ЗЛП. , т. е. матрица (ч. т. д. ) Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 15

Симплекс-разность К-матриц ЗЛП. Изменение функции при переходе от одной К-матрицы к другой. Определение. Величину , где - вектор, компонентами которого являются коэффициенты линейной функции при базисных ( опорного плана, определяемого матрицей симплекс - разностью матрицы Симплекс-разность К-матриц ЗЛП ) переменных , назовем j-й . 16

Пусть и и - опорные планы, определяемые матрицами соответственно. Тогда и , где К-номер столбца матрицы из , вводимого в базис при получении. Симплекс-разность К-матриц ЗЛП 17

Способ построения опорного плана (матрицы ), более близкого к оптимальному, чем Теорема 2. Пусть в матрице ( , есть , и в столбце ) есть хотя бы один строго положительный элемент. Тогда от матрицы можно перейти к матрице , причем . Способ построения опорного плана 18

Доказательство. Так как в К-ом столбце К-матрицы есть строго положительный элемент, то согласно теореме 1 от матрицы К-матрице можно перейти к новой ЗЛП, выбрав направляющий элемент По условию , из условия (7). а по построению , поэтому из соотношения следует (ч. т. д. ) Если все опорные планы ЗЛП невырождены, то Способ построения опорного плана и 19

Критерий оптимальности опорного плана Теорема 3 Пусть все симплекс - разности матрицы неотрицательные. Тогда опорный план , определяемый матрицей , является оптимальным. Доказательство. По условиям теоремы или Пусть (8) Произвольный план ЗЛП. Умножим левую и правую части (8) на неотрицательности получим Критерий оптимальности опорного плана , тогда в силу (9) 20

Согласно (9) имеем: или Что и доказывает теорему. Критерий оптимальности опорного плана 21

Критерий отсутствия конечного решения. Теорема 4 Пусть в матрице есть , и в столбце ( , ) нет ни одного положительного элемента. Тогда ЗЛП (1) не имеет конечного решения. Доказательство. Пусть К-я симплекс-разность матрицы (10) и все (11) Матрица определяет опорный план Критерий отсутствия конечного решения 22

Рассмотрим вектор у которого где -любое положительное число. Остальные n-m+1 компонент вектора положим равными нулю. В силу условия (11) компоненты вектора неотрицательны. Легко убедиться в том, что компоненты вектора удовлетворяют и функциональным ограничениям ЗЛП, т. е. вектор - план ЗЛП при любом положительном. Критерий отсутствия конечного решения 23

Имеем: Или окончательно (12) Т. к. , то из (12) следует, что для любого числа М >0 всегда можно найти план ЗЛП, для которого т. е. линейная форма не ограничена сверху на множестве планов. Терема доказана. Критерий отсутствия конечного решения 24

Алгоритм симплекс-метода Пусть известна исходная К-матрица определяющая исходный опорный план ЗЛП, Последовательно строятся К-матрицы ЗЛП, пока не выполнится критерий оптимальности или критерий, позволяющий убедиться в отсутствии конечного решения. Рассмотрим алгоритм S-ой итерации симплекс-метода. В начале S-ой итерации имеем К-матрицу ЗЛП, определяющую опорный план Алгоритм симплекс-метода 25

Шаг 1. Вычисляем для столбцов матрицы , -разности и находим номер К из условия симплекс Шаг 2. Если , то опорный план является оптимальным, а есть оптимальное значение линейной формы , иначе переходим к шагу 3 Шаг 3. Если то ЗЛП не имеет конечного решения. Иначе находим номер L из условия ; направляющий элемент на S-ой итерации метода есть элемент Алгоритм симплекс-метода 26

Шаг 4. Вычисляем компоненты вектора : Шаг 5. Производим один шаг метода Жордана-Гаусса с направляющим элементом . Присваиваем переменной S алгоритма значение S+1 и переходим к шагу 1. Алгоритм симплекс-метода 27

Пример 1 • Симплекс-методом решить ЗЛП: (1) (2) ПРИМЕР № 1 28

• Приводим систему линейных неравенств (2) к каноническому виду, вводя в каждое неравенство дополнительную переменную , . • Получим систему линейных уравнений: (3) ПРИМЕР № 1 29

• Целевая функция (1) будет иметь вид • Расширенная матрица системы линейных уравнений (3) является исходной К -матрицей ЗЛП, которая определяет исходный опорный план: ПРИМЕР № 1 30

• Введём следующие обозначения: S-номер итерации • i-номера строк таблицы • • • -номера столбцов, образующих единичную подматрицу -коэффициенты целевой функции при столбцах, образующих единичную подматрицу -соответствуют переменным задачи -сначала содержит правые части системы уравнений , в конце алгоритма - искомые значения переменных -для вычисления значений ПРИМЕР № 1 31

Результаты последовательных итераций симплексалгоритма оформим в виде симплекс-таблицы. 32

• На второй итерации S=2, все опорный план определяемый К-матрицей следовательно, , оптимальный, • Оптимальное значение линейной формы равно: ПРИМЕР № 1 33

Пример 2 • Симплекс-методом решить ЗЛП: (4) (5) § Приводим ЗЛП (4 -5) к каноническому виду (6) ПРИМЕР № 2 34

Результаты последовательных итераций запишем в симплекс-таблицу. ПРИМЕР № 2 35

• Из симплекс-таблице при S=2 следует, что согласно шагу 3 симплекс-алгоритма данная ЗЛП не имеет конечного решения, т. к. отрицательная симплекс-разность соответствует столбцу , все элементы которого неположительны. • Итак, ПРИМЕР № 2 36