«Симметрия устанавливает забавное и удивительное сродство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности. . . » Дж. Ньюмен
Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором, как отмечал академик В. И. Вернадский (1863— 1945), «слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений". Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций, как о «соразмерности» , что и означает в переводе с греческого слово «симметрия» , с течением времени приобрело универсальный характер и было осознано как всеобщая идея инвариантности (т. е. неизменности) относительно некоторых преобразований. Таким образом, геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными. Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72° (360° : 5), займет первоначальное положение, а ваш будильник одинаково звенит в любом углу комнаты. Важнейшим свойством симметрии является сохранение (инвариантность) тех или иных признаков (геометрических, физических, биологических и т. д. ) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Математическим аппаратом изучения симметрии сегодня является теория групп и теория инвариантов. В «Современном словаре иностранных слов» под симметрией понимается «соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра. . . такое расположение точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии. . . » Термин «соразмерный» мы применяем по отношению к человеку, картине или какому-либо предмету, когда мелкие несоответствия не позволяют употребить слово «симметричный» .
1) объект - носитель симметрии; в роли симметричных объектов могут выступать вещи, процессы, геометрические фигуры, математические выражения, живые организмы и т. д. 2) некоторые признаки - величины, свойства, отношения, процессы, явления - объекта, которые при преобразованиях симметрии остаются неизменными; их называют инвариантными или инвариантами. 3) изменения (объекта), которые оставляют объект тождественным самому себе по инвариантным признакам; такие изменения называются преобразованиями симметрии; 4) свойство объекта превращаться по выделенным признакам в самого себя после соответствующих его изменений. Важно подчеркнуть, что инвариант вторичен по отношению к изменению; покой относителен, движение абсолютно. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям - к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т. д. В связи с этим выделяют разные типы симметрии. vдвусторонняя симметрия — симметричность относительно зеркального отражения vсимметрия n-порядка — симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси vаксиальная симметрия — симметричность относительно поворотов на произвольный угол вокруг какой-либо оси vсферическая симметрия — симметричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы vтрансляционная симметрия — симметричность относительно сдвигов пространства в каком-либо направлении на некоторое расстояние vлоренц-инвариантность — симметричность относительно произвольных вращений в пространстве-времени Минковского vкалибровочная инвариантность — независимость вида уравнений калибровочных теорий в квантовой теории поля (в частности, теорий Янга — Миллса) при калибровочных преобразованиях vсуперсимметрия — симметрия теории относительно замены бозонов на фермионы
ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S (рис. 1), если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E’ этой же фигуры, так что отрезок EE’ перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам ( EA = AE’ ). Плоскость S называется плоскостью симметрии. Симметричные фигуры, предметы и тела не равны другу в узком смысле слова ( например, левая перчатка не подходит для правой руки и наоборот ). Они называются зеркально равными. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ Геометрическая фигура ( или тело ) называется симметричной относительно центра C (рис. 2), если для каждой точки A этой фигуры может быть найдена точка E этой же фигуры, так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке пополам (AC = CE). Точка C называется центром симметрии.
СИММЕТРИЯ ВРАЩЕНИЯ (ИЛИ ПОВОРОТНАЯ СИММЕТРИЯ) Тело ( фигура ) обладает симметрией вращения (рис. 3), если при повороте на угол 360°/n ( здесь n – целое число, например 2, 3, 4 и т. д. до бесконечности) вокруг некоторой прямой AB ( оси симметрии ) оно полностью совпадает со своим начальным положением. При n = 2 мы имеем осевую симметрию. СИММЕТРИИ ПОДОБИЯ Рис. 4 представляют собой своеобразные аналоги предыдущих симметрий с той лишь разницей, что они связаны с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки (рис. 4). ПЕРЕНОСНАЯ СИММЕТРИЯ (ИЛИ ТРАНСЛЯЦИОННАЯ) О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние, либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние а - элементарным переносом или периодом. С данным типом симметрии связано понятие периодических структур или решеток, которые могут быть и плоскими, и пространственными.
Шар ( сфера ) обладает и центральной, и зеркальной, и симметрией вращения (рис. 5). Центром симметрии является центр шара; плоскостью симметрии является плоскость любого большого круга; осью симметрии – диаметр шара. Круглый конус обладает осевой симметрией; ось симметрии – ось конуса (рис. 6). Прямая призма обладает зеркальной симметрией. Плоскость симметрии параллельна её основаниям и расположена на одинаковом расстоянии между ними (рис. 7). ЗЕРКАЛЬНО-ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ Если плоская фигура ABCDE (рис. 8) симметрична относительно плоскости S (что возможно, если только плоская фигура перпендикулярна плоскости S), то прямая KL, по которой эти плоскости пересекаются, является осью симметрии второго порядка фигуры ABCDE. В этом случае фигура ABCDE называется зеркально-симметричной. Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ Если плоская фигура (ABCDEF, рис. 9) имеет ось симметрии второго порядка, перпендикулярную плоскости фигуры (прямая MN, рис. 9), то точка O, в которой пересекаются прямая MN и плоскость фигуры ABCDEF, является центром симметрии.
Параллелограмм имеет только центральную симметрию. Его центр симметрии – точка пересечения диагоналей (рис. 10). Равнобочная трапеция имеет только осевую симметрию. Её ось симметрии – перпендикуляр, проведенный через середины оснований трапеции (рис. 11). Ромб имеет и центральную, и осевую симметрию. Его ось симметрии – любая из его диагоналей; центр симметрии – точка их пересечения (рис. 12). Рис. 11 Рис. 10 Рис. 12
Широко используя идею симметрии, ученые любили обращаться не только к сферической форме, но также к правильным выпуклым многогранникам. Еще во времена древних греков был установлен поразительный факт - существует всего пять правильных выпуклых многогранников разной формы. Впервые исследованные пифагорейцами, эти пять правильных многогранников были впоследствии подробно описаны Платоном и стали называться в математике платановыми телами. Обитатели даже самой отдаленной галактики не могут играть в кости, имеющие форму неизвестного нам правильного выпуклого многогранника. М. Гарднер Идея симметрии часто являлась отправным пунктом в гипотезах и теориях ученых прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявление божественного начала. Существование только пяти правильных многогранников представлялось им фундаментальным фактом, который должен иметь прямое отношение к строению материи и Вселенной. Так, пифагорейцы, а затем и Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов — огня, земли, воздуха и воды, вселенной. Согласно их воззрениям, атомы основных элементов должны иметь форму различных платоновых тел: атомы огня — форму тетраэдра, земли — форму куба, воздуха — форму октаэдра, воды — форму икосаэдра, вселенной – форму додекаэдра.
Многогранник называется правильным, если все его грани – равные другу правильные многоугольники, а все его двугранные углы равны между собой. Мы знаем, что существует правильный многоугольник с любым количеством сторон, т. е. число видов правильных многоугольников – бесконечно. Однако, для правильных многогранников это не так. Ещё Евклид доказал, что существует всего 5 видов правильных многогранников. Нетрудно понять, почему может быть только пять типов правильных многогранников. Возьмем простейшую грань - равносторонний треугольник. Многогранный угол можно образовать, приложив друг к другу три, четыре либо пять равносторонних треугольников, то есть тремя способами. (Если число треугольников равно шести, то сумма плоских углов при общей вершине будет равна 360°. ) При использовании квадратов в качестве граней можно образовать многогранный угол лишь одним способом - с помощью трех приложенных друг к другу квадратов. Единственным способом может быть образован многогранный угол и из правильных пятиугольников (при помощи трех пятиугольников). Правильные n-угольники при n > 6 многогранных углов, очевидно, не образуют вообще. Таким образом, могут существовать только пять типов правильных многогранников: три многогранника с треугольными гранями (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр), один с квадратными гранями (куб) и один с пятиугольными гранями (додекаэдр). СВОЙСТВА МНОГОГРАННИКОВ: 1) внутри каждого правильного многогранника существует точка, которая служит центром трех сфер: описанной сферы (т. е. проходящей через все вершины многогранника); вписанной сферы (т. е. касающейся всех его граней); полувписанной сферы {т. е. касающейся всех его ребер). 2) для каждого правильного многогранника существует такой другой правильный многогранник, называемый взаимным (двойственным) по отношению к данному многограннику, что из любого истинного предложения о пяти характеристиках В (количество вершин), Г (количество граней), Р (количество ребер), n (количество вершин в каждой грани), s (количество граней, сходящихся в одной вершине) для данного многогранника можно получить истинное предложение для взаимногогранника, если в исходном предложении поменять местами слова «грань» и «вершина» . 3) центры граней правильного многогранника служат вершинами взаимногогранника.
ДВОЙСТВЕННЫЕ (взаимные) МНОГОГРАННИКИ Взаимным многогранником для куба служит октаэдр (н наоборот), для икосаэдра — додекаэдр (и наоборот), для тетраэдра — тетраэдр. Приведем пример. Возьмем истинное предложение: «У икосаэдра 12 вершин и 20 граней» . Поменяем в нем слово «икосаэдр» на «додекаэдр» и переставим слова «вершина» и «грань» . Получим другое, опять-таки истинное, предложение. «У додекаэдра 12 граней и 20 вершин» . ТЕТРАЭДР ГЕКСАЭДР (КУБ) ОКТАЭДР Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Элементы симметрии: Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии. Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Элементы симметрии: Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Элементы симметрии: Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
ИКОСАЭДР Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер. Элементы симметрии: Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. ДОДЕКАЭДР Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Элементы симметрии: Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.
Благодаря элементам симметрии, правильные многогранники обладают особенной красотой, а их свойства находят применение в архитектуре и строительстве, используются при изучении структур различных веществ, так как симметрии правильных многогранников проявляются в атомных структурах молекул и кристаллов.
Скачать презентацию «Симметрия устанавливает забавное и удивительное сродство между
Симметрия в математике.ppt