Сила давления жидкости на плоскую стенку p 0

Сила давления жидкости на плоскую стенку p 0 α Рис. Схема для определения силы давления жидкости па плоскую стенку

Вычислим силу F давления, действующую со стороны жидкости на некоторый участок рассматриваемой стенки, ограниченный произвольным контуром и имеющий площадь равную S. Плоская стенка наклонена к горизонту под произвольным углом (рис. ). Ось Ох направим по линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости, ось Оу - перпендикулярно к этой

Используем основное уравнение гидростатики (1. 22 р = р0 + hρg = p 0 + hγ; z+p/(ρg)=z 0+p 0/(ρg). ) для нахождения этой силы. Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке d. S: d. F=pd. S=(p 0+ρgh)d. S=p 0 d. S+ρgh d. S, где p 0 - давление на свободной поверхности; h глубина расположения площадки d. S.

Для определения полной силы F проинтегрируем полученное выражение по всей площади S: где у — координата площадки d. S. Интеграл есть статический момент площади S относительно оси Ох и равен произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точка С). 25 03 11 ст 21

Следовательно, где hс - глубина расположения центра тяжести площади S. (1. 31) т. е. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление рс в центре тяжести этой площади.

В частном случае, когда давление p 0 является атмосферным и действует также с другой стороны стенки, сила Fизб избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна лишь силе Fж давления от веса жидкости, т. е. Fизб = Fж = ρghc. S = pc изб. S.

В общем случае давление р0 может существенно отличаться от атмосферного, поэтому полную силу F давления жидкости на стенку следует рассматривать как сумму двух сил: силы F 0 от внешнего давления p 0 и силы Fж от веса жидкости, т. е. F = F 0 + Fж = (p 0 + pc)S.

Рассмотрим вопрос о точках приложения этих сил, называемых центрами давления *. (*т. к. в жидкостях возможны только распределенные силы, то центры давления можно рассматривать лишь условно). Так как внешнее давление р0 передается всем точкам площади S одинаково, то его равнодействующая F 0 будет приложена в центре тяжести площади S.

Для нахождения точки приложения силы давления Fж от веса жидкости (точка D) применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, т. е. где y. D - координата точки приложения силы F.

Выражая Fж и d. Fж через определяя y. D , получаем ус и у и где момент инерции относительно оси Ох. площади S

Учитывая, что (Jx 0 - момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Ох), находим (1. 32) Таким образом, точка приложения силы Fж расположена ниже центра тяжести площади стенки; расстояние между ними

Если давление р0 равно атмосферному, то точка D и будет центром давления. При р0 выше атмосферного центр давления находят по правилам механики как точку приложения равнодействующей двух сил: F 0 и F ж; чем больше первая сила F 0 по сравнению со второй Fж, тем, очевидно, центр давления ближе к центру тяжести площади S.

Когда стенка имеет форму прямоугольника размерами а b (частный случай, рис. ) и одна из его сторон а лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления D находится на расстоянии b/3 от нижней стороны. Рис. Эпюра давления прямоугольную стенку жидкости на

Сила давления жидкости на криволинейные стенки. Плавание тел

жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае приводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов. Чаще всего рассматривают цилиндрические или сферические поверхности, имеющие вертикальную плоскость симметрии. Сила давления жидкости в этом случае сводится к равнодействующей силе, лежащей

Схема для определения силы давления жидкости на цилиндрическую поверхность

цилиндрическую поверхность АВ с образующей, Возьмем перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. ), и определим силу давления жидкости на поверхность в двух случаях: эту 1) жидкость расположена сверху (рис. а); 2) жидкость расположена снизу (рис. б).

Схема для определения силы давления жидкости на цилиндрическую поверхность

В случае (а) выделим объем Ж, ограниченный поверхностью АВ, вертикальными поверхностями, проведенными через границы этого участка, и свободной поверхностью жидкости, т, е. объем ABCD, и рассмотрим условия его равновесия в вертикальном и горизонтальном направлениях. Если Ж действует на стенку АВ с силой F, то стенка АВ действует на Ж с силой F, направленной в обратную сторону. На рис. показана эта сила реакции, разложенная на две составляющие: горизонтальную Fг и вертикальную Fв.

Условие равновесия объема ABCD в вертикальном направлении имеет вид Fв=р0 Sг+ G, (1. 33) где р0 - давление на свободной поверхности жидкости; Sг - площадь горизонтальной проекции поверхности АВ; G - вес выделенного объема жидкости.

Условие равновесия объема ABCD в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления жидкости на поверхности ЕС и АD взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь BE, т. е. на вертикальную проекцию поверхности АВ - Sв. Тогда Fг = Sв ρghc + р0 Sв, (1. 34)

Определив по формулам (1. 33) и (1. 34) вертикальную Fв и горизонтальную Fг составляющие полной силы давления F, найдем

Когда жидкость расположена снизу (см. рис б), гидростатическое давление во всех точках поверхности АВ имеет те же значения, что и в первом случае, но направление его будет противоположным, и суммарные силы Fв и Fг определятся теми же формулами (1. 33) и (1. 34), но с обратным знаком. При этом под величиной G следует понимать так же, как и в первом случае, вес жидкости в объеме ABCD, хотя этот объем и не заполнен жидкостью.

Схема для определения силы давления жидкости на цилиндрическую поверхность

Положение центра давления на цилиндрической стенке можно легко найти, если известны силы Fв и Fг и определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести выделенного объема АВCD. Задача значительно облегчается в том случае, когда рассматриваемая цилиндрическая поверхность является круговой. Равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности, так как любая элементарная сила давления нормальна к поверхности, т. е. направлена по радиусу.

Изложенный способ определения силы давления на цилиндрические поверхности применим и к сферическим поверхностям, причем равнодействующая сила в этом случае также проходит через центр поверхности и лежит в вертикальной плоскости симметрии. Описанный выше прием нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости на криволинейную стенку используют для доказательства закона Архимеда.

Рис. Схема для доказательства закона Архимеда

формы объемом W (рис. ). Спроектируем его на свободную поверхность Ж и проведем проектирующую цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Эта кривая отделяет верхнюю часть поверхности тела АСВ от нижней се части ADB. Вертикальная составляющая Fв 1 силы избыточного давления Ж на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу Ж в объеме АА'В'ВСА. Вертикальная составляющая Fв 2 силы давления Ж на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна

Отсюда следует, что вертикальная равнодействующая сил давления Ж на тело будет направлена вверх и равна весу Ж в объеме, равном разности указанных двух объемов, т. е. FA = Fв 2 – Fв 1 = GACBD =Wρg - закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости, вытесненной телом, и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тела.

Сила FA называется архимедовой силой, или силой поддержания, а точка ее приложения, т. е. центр тяжести объема W — центром водоизмещения. В зависимости от соотношения веса G тела и архимедовой силы FA возможны три случая:

1) G > FA - тело тонет; 2) G < FA - тело всплывает и плавает на поверхности жидкости в частично погруженном состоянии; 3) G = FA - тело плавает в полностью погруженном состоянии.

Для равновесия плавающего тела кроме равенства сил G = FA должен быть равен нулю суммарный момент , что соблюдается, когда центр тяжести тела лежит на одной вертикали с центром водоизмещения. Условие устойчивого равновесия тела, плавающего в полностью погруженном состоянии: центр тяжести тела должен находиться ниже центра водоизмещения. Устойчивость равновесия тел, плавающих на поверхности жидкости, не рассматриваем. 05 04