Сглаживание экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов

Сглаживание экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов. • • • В случае сильного разброса данных возникает задача сглаживания экспериментальных зависимостей. При этом требуется найти такую функцию у= (х), чтобы она некоторым наилучшим образом отражала функциональную зависимость у от х, и вместе с тем были бы сглажены случайные, незакономерные отклонения измерений, связанные с неизбежными погрешностями самих измерений. Часто по полученному экспериментальному материалу можно указать вид функциональной зависимости у от х (линейная, квадратичная, показательная или какая-нибудь другая функция). Требуется только установить численные значения параметров этой зависимости. В случае линейной функциональная зависимость у от х, то есть потребуется определить два параметра a и b

Сглаживание экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов. Задача 5 по ТВ • • Для определения параметров а и Ь применяют метод наименьших квадратов, согласно которому минимизируется суммарное квадратическое отклонение экспериментальных данных от выбранной сглаживающей функции. Следовательно, нужно найти минимум суммы: • Задача сводится к решению системы уравнений

• • Пример. Проведена серия опытов, результат заносится в таблицу ( на слайде – первые три столбца). Требуется по методу наименьших квадратов подобрать линейную функцию, выражающую у через х. Решение. Искомые величины связаны линейной зависимостью: у=ах+Ь, коэффициенты которой и требуется определить. Сумма квадратов невязок равна: • Система нормальных уравнений • •

i xi yi xi 2 yi 2 xiyi 1 0, 342 2, 10 0, 1170 4, 41 0, 718 2 0, 417 4, 70 0, 1739 22, 09 1, 960 3 0, 675 6, 05 0, 4556 36, 60 4, 084 4 0, 867 8, 65 0, 7517 74, 82 7, 500 5 1, 000 10, 00 1, 0000 100, 00 10, 000 6 1, 158 12, 60 1, 3410 158, 76 14, 591 7 1, 283 12, 08 1, 6461 145, 93 15, 499 8 1, 500 14, 68 2, 2500 215, 50 22, 020 9 1, 733 16, 65 3, 0033 277, 22 28, 854 10 2, 008 19, 25 4, 0321 370, 56 38, 654 11 2, 083 19, 98 4, 3389 399, 20 41, 618 12 2, 242 23, 20 5, 0266 538, 24 52, 014 13 2, 508 23, 93 6, 2901 572, 64 60, 016 1, 370 13, 37 224, 31 22, 887 2, 3405

• Раскрывая скобки и группируя, в результате получим следующую систему двух линейных уравнений для определения коэффициентов а и Ь: • Решая эту систему, получим: а=9. 86; Ь=-0. 14 y=9. 89 x-0. 14

Сглаживание экспериментальных данных. Задача 5 • Вариант 1. • Данные опытов по измерению тормозного пути (y - в метрах) в зависимости от износа протектора покрышек (x - в миллиметрах) приведены в таблице. Полагая, что x и y связаны зависимостью y = ax + b, определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов. x 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 1. 2 1. 4 1. 6 1. 8 2. 0 y 3. 3 3. 7 4. 0 4. 3 4. 5 4. 9 5. 1 5. 5 5. 8 6. 2

Сглаживание экспериментальных данных. Задача 5 • Вариант 2 • Данные опытов по определению зависимости жесткости воды от времени ее обработки в установке приведены в таблице. Полагая, что x - время обработки (мин. ) и y - жесткость связаны зависимостью y = a/x + b, найдите ее коэффициенты методом наименьших квадратов. x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 y 10. 15 5. 52 4. 08 2. 85 2. 11 1. 62 1. 41 1. 30 1. 21