Семинар 18 Интегрирование по частям в определенном интеграле

Семинар 18. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Замена переменных при вычислении определенного интеграла. Приложения определенного интеграла.

Интегрирование по частям в определенном интеграле Пусть u(x) и v(x) непрерывные дифференцируемые функции на отрезке [a, b]. Имеем d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x). Интегрируя, это равенство в пределах от a до b и учитывая, что du(x)=u’(x)dx и dv(x)=v’(x)dx находим Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле (1) Для краткости употребляется выражение

Замена переменной в определенном интеграле Пусть дан определенный интеграл (1), где f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Ввели новую переменную t, связанную с х соотношением (2) непрерывная дифференцируемая функция на отрезке Если при этом до переменная х меняется от a до b, то есть 1) При изменении t от (3) 2) Сложная функция и непрерывна на отрезке Тогда справедлива формула

Приложения определенного интеграла Определенный интеграл можно применять в следующих задачах: • вычисление площадей, ограниченных некоторыми линиями; • вычисление длин дуг линий; • вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений; • вычисление объемов тел вращения; • вычисление поверхностей тел вращения; • вычисление координат центра тяжести плоской фигуры; • вычисление моментов инерции линии, круга, цилиндра и т. д. Площадь в прямоугольных координатах Задача 1 Найти площадь S криволинейной трапеции a. ABb, ограниченной данной непрерывной линией y=f(x), отрезком [a, b] оси ОХ и двумя вертикалями x=a и x=b, если (1) Для вычисления площади применяется формула где y=f(x) – данная функция

Площадь в полярных координатах Задача 2 Найти площадь S сектора OAB, ограниченного данной непрерывной линией и двумя лучами , где полярные координаты. Для вычисления площади применяется формула , где - данная функция Примеры с решениями 1. 2. 3.

4. Вычислить площадь, ограниченную параболой и прямой x+y=3. Решение Отрезок интегрирования , так как точки пересечения линий определяются при решении системы уравнений На основании формулы (3) находим 5. Найти площадь области, ограниченной эллипсом В виду симметрии можно ограничиться вычислением ¼ площади. Решение Отрезок интегрирования Тогда

6. Найти площадь, ограниченную кардиоидой Решение. Составляя таблицу значений, получим 0 2 a a Примеры для самостоятельного решения. Вычислить интегралы: 1. 2. 3. 0, 5 a 0

4. 7. 5. 8. 6. 9. 10. 11. Найти площадь, ограниченную параболами 12. Вычислить площадь, ограниченную кривыми и и прямой 13. Вычислить площадь, ограниченную линиями, заданными параметрически: и y=0. 14. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах: