Сегодня Tuesday February 6 2018 Лекция Тема КОЛЕБАНИЯ

Сегодня: Tuesday, February 6, 2018 Лекция Тема: КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Содержание лекции: 1. Введение 2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 3. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 4. Волны 5. Волновые уравнения

Литература 1. Ю. И. Тюрин, И. П. Чернов, Ю. Ю. Крючков ФИЗИКА, Ч. 3. Оптика. Квантовая физика. 2. И. В. Савельев, КУРС ФИЗИКИ Ч. 3; 3. А. А. Детлаф, Б. М. Яворский КУРС ФИЗИКИ. 4. Т. И. Трофимова. Курс физики. 5. С. И. Кузнецов. Колебания и волны. 2

1. Введение Под колебаниями в физике понимают движения или состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания свойственны всем явлениям природы. Пульсирует излучение звезд, внутри которых идут циклические ядерные реакции. С высокой степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы.

Ветры возбуждают колебания на поверхности водоемов. Внутри любого живого организма от клетки до высокоразвитых популяций непрерывно идут ритмично повторяющиеся процессы – биение сердца, колебания психических состояний и т. д.

В технике колебания либо выполняют определенные функциональные обязанности – колесо, маятник, генератор и т. д. , либо возникают какнеизбежное проявлениефизических свойств– вибрации машин и сооружений, неустойчивости и т. д. В физике особенно выделяют колебания двух видов – механические и электромагнитные и их электромеханические комбинации, поскольку они чрезвычайно актуальны для жизнедеятельности человека.

Колебания могут осуществляться в широком диапазона частот и периодов Т. Так, период обращения: Солнца вокруг центра Галактики Т 1011 1012 с, обращение Земли вокруг Солнца Т 3, 6 107 с, обращение Луны вокруг Земли Т 2, 4 106 с, вращение Земли вокруг своей оси Т 9 104 с. Звуковые колебания, воспринимаемые человеком, 5 10 5 5 10 2 с, видимый свет Т 2, 5 10 14 1, 33 10 14 с, короткоживущие частицы резонансы Т 10 22 10 24 с

Примеры колебательных процессов Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая точечным источником (гармонически колеблющимся шариком). Генерация акустической волны громкоговорителем. 7

Примеры колебательных процессов Поперечная волна в сетке, состоящей из шариков, скреплённых пружинками. Колебания масс происходят перпендикулярно направлению распространения волны. Возможные типы колебаний атомов в кристалле. 8

Примеры колебательных процессов В случае абсолютно упругого столкновения шаров (нет потерь энергии) скорость и угол отклонения крайних шаров одинаковы, а все промежуточные шары находятся в покое. В реальности общая энергия системы со временем уменьшается за счет трения о воздух, нагревания шаров, возбуждения акустических волн и т. д. В результате амплитуда отскока крайних шаров уменьшается, а центральные шары начинают совершать 9 колебательные движения.

10

Из приведенного примера следуют три признака колебательного движения: повторяемость (периодичность) – движение по одной и той же траектории туда и обратно; ограниченность пределами крайних положений; действие силы, описываемой функцией F = – kx. 11

2. Гармонические колебания В физике особенно выделяют колебания двух видов – механические и электромагнитные и их электромеханические комбинации, они актуальны для жизнедеятельности человека. Колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому. Различные периодические процессы (повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. 12

По определению, колебания называются гармоническими, если зависимость некоторой величины имеет вид: А и φ – параметры колебаний, которые мы рассмотрим ниже. Простейшим примером гармонических колебаний служит колебания груза на конце пружины 13

Рисунок 1 Закон Гука Fв = – kx – упругая сила x = 0 – положение равновесия; Fвн – внешняя растягивающая сила; Fв – возвращающая сила; A – амплитуда колебаний. k - жесткостью пружины. Знак минус означает, что возвращающая сила, всегда противоположна направлению перемещения x 14 Fвн = + kx

2. 1 Параметры гармонических колебаний • Смещение x - расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится груз. • Амплитуда A - наибольшее расстояние от положения равновесия. определяет смещение x в данный момент времени t и называется фазой колебания. • называется начальной фазой колебания при. • Фаза измеряется в радианах. Т. к. синус и косинус изменяются в пределах от +1 до – 1, то х может принимать значения от +А до –А 15

Рис. 16

17

18

Частота колебаний ν - число полных колебаний в 1 екунду. Частоту, измеряют в герцах (Гц): • Т – период колебаний – минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание 19

• ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за 2π секунд. • Гармонические колебания являются всегда синусоидальными. • Частота и период гармонических колебаний не зависят от амплитуды. 20

• Смещение описывается уравнением тогда, по определению: (1. 2. 4) скорость (1. 2. 5) ускорение – амплитуда скорости; – амплитуда ускорения. 21

Графики x, vx, ax от времени 22

23

скорость колебаний тела максимальна в момент прохождения через положение равновесия ( ). скорость равна нулю при максимальном смещении ( ). Ускорение равно нулю при прохождении телом положения равновесия и достигает наибольшего значения при максимальном смещении. 24

2. 2. Основное уравнение динамики гармонических колебаний • Исходя из второго закона, , можно записать сила F пропорциональна х и всегда направлена к положению равновесия (поэтому ее и называют возвращающей силой). Период и фаза силы совпадают с периодом и фазой ускорения. • Примером сил удовлетворяющих силы. где k – коэффициент квазиупругой силы. являются упругие 25

Из последних 2 уравнений следует: Основное уравнение динамики гармонических (не затухающих) колебаний: Решение этого уравнения всегда будет выражение вида 26

2. 3. Энергия гармонических колебаний Рисунок 1 Потенциальная энергия тела U измеряется работой, которую производит возвращающая сила 27

, отсюда • Потенциальная энергия или (1. 5. 1) • Кинетическая энергия (1. 5. 2) • Полная энергия: , или (1. 5. 3) Полная механическая энергия гармонически колеблющегося 28 тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.

Колебания груза под действием сил тяжести Максимум потенциальной энергии, Максимум кинетической энергии но когда , и наоборот. 29

При колебаниях совершающихся под действием потенциальных (консервативных) сил, происходит переход кинетической энергии в потенциальную и наоборот, но их сумма в любой момент времени постоянна. 30

2 Математический маятник – система, состоящая из невесомой, нерастяжимой нити, на которую подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (шарик на длинной тонкой нити). • При отклонении маятника от вертикали, возникает вращающий момент • Уравнение динамики вращательного движения для маятника: Момент инерции маятника -угловое ускорение 31

Тогда , или Обозначим : Уравнение движения маятника - Это уравнение динамики гармонических колебаний. Решение уравнения (1. 5. 3) имеет вид: Т – зависит только от длины маятника и ускорения свободного падения. 32

3. 2 Сложение гармонических колебаний. Биения Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая гармонически колеблющимся шариком. Интерференция между двумя круговыми волнами от точечных источников, колеблющихся в фазе друг с другом. На поверхности жидкости образуются узловые линии, в которых колебание max. или отсутствует.

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой. Такие два колебания называются когерентными, если их разность фаз не зависит от времени:

По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду, результирующего колебания: Начальная фаза определяется из соотношения Амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных фаз Результирующее колебание, тоже гармоническое, с частотой ω

Рассмотрим несколько простых случаев. 1. Разность фаз равна нулю или четному числу π, т. е. , где Тогда и (2. 2. 4) колебания синфазны Рисунок 3

2. Разность фаз равна нечетному числу π, то есть , где Тогда. Отсюда (2. 2. 5) колебания в противофазе Рисунок 4

3. Разность фаз изменяется произвольным образом во времени (2. 2. 6) Это некогерентные колебания Здесь интересен случай, называемый биениями, когда частоты близки

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами , называются биениями.

Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Сегодня: Tuesday, February 6, 2018 Колебания Содержание лекции: Затухающие колебания • механические

1. 1. Механические затухающие колебания

При наличии сопротивления: r – коэффициент сопротивления ( «–» указывает на В этом случае второй закон Ньютона для деформированной пружины: Введем обозначение , и т. к. - уравнение затухающих колебаний , получим )

получаем решение в виде: - гармоническое колебание с амплитудой, изменяющейся по закону где А 0 – амплитуда в момент времени t = 0.

Затухающие колебания

- коэффициент затухания, определяющий скорость затухания колебаний: где τ – время затухания – время, по истечении которого амплитуда колебаний убывает в e раз. Период затухающих колебаний (моменты обращения в нуль функции х(t)): - при слабом затухании близок к периоду незатухающих колебаний; с ростом β увеличивается период.

Число полных колебаний, совершаемых за время затухания: Отношение амплитуд в моменты последовательных прохождений через максимумы или минимумы: - декремент затухания. Натуральный логарифм этого отношения: - логарифмический декремент затухания.

Связь с числом колебаний Ne: Добротность колебательного контура: - умноженное на число полных колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е раз. Чем меньше затухание, тем выше добротность.

При малом затухании полная энергия изменяется по закону: где Е 0 – энергия в начальный момент времени: 2) 2 = 02: В этом случае - апериодический процесс - выведенный из равновесия маятник плавно возвращается к положению равновесия и останавливается (из-за вязкости среды).

3) 2 > 02: корни характеристического уравнения - вещественные: где Движение в плотной, вязкой среде, когда колебания невозможны.

7. Волновые уравнения Пусть в момент времени t 1 = 0 в точке с координатой х1 возникло некоторое возмущение: всплеск на воде, удар барабана, переменное электрическое поле и т. д. , способное распространяться вдоль оси х вправо со скоростью v. Форма этого возмущения описывается функцией f(x 1).

Если возмущение распространяется без искажений со скоростью v вправо, то функция f будет зависеть от х и t так, чтобы выполнялись соотношения f(x 1, t 1) = f(x 2, t 2). Возмущение переходит из точки (x 1, t 1) в точку (x 2, t 2), не меняя формы, где: x 2 = x 1 + v(t 2 t 1) , Откуда: x 1 = x 2 v (t 2 t 1),

Оба эти уравнения эквивалентны, поскольку из первого следует второе, а из второго первое. Если возмущение распространяется вправо со скоростью v, то функция f будет зависеть лишь от комбинации аргументов x и t f = f 1(x vt). Одному значению аргумента a = x - vt соответствует одно значение функции f(a). Положение координаты х = а - vt этого возмущения распространяется со скоростью

Если возмущение движется влево, то оно описывается уравнением f = f 2(x + vt). Координата этого возмущения смещается влево x = a t со скоростью (рис. )

Рис. Волновой процесс: а – возмущение f 1 распространяется вправо вдоль оси х со скоростью v и описывается функцией f 1(x vt); б – возмущение движется влево параллельно оси x со скоростью v и описывается функцией f 2(x + vt)

Поскольку вид функций f 1, f 2 определяется только начальными условиями начальным смещением и скоростью распространения, то вид волнового движения может быть весьма разнообразным. а – сферическая волна б – плоская волна

Геометрическое место точек, до которых доходит возмущение в момент времени t, называется фронтом волны. Фронт волны отделяет часть пространства, вовлеченного в волновой процесс, от области, куда возмущение еще не дошло. Распространение волны происходит в направлении нормали к волновому фронту.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченную волновым процессом. Волновых поверхностей бесконечно много, волновой фронт в каждый момент времени существует только один. Волновые поверхности и волновые фронты могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют вид сферы или плоскости.

В этих случаях их называют соответственно сферическими или плоскими волнами. Распространение возмущения в пространстве описывается дифференциальным уравнением: В одномерном случае Этому уравнению удовлетворяют функции f 1(x vt), f 2(x + vt) и их суперпозиция f 1(x vt) + f 2(x + vt). Полученное уравнение называется волновым уравнением.

Лекция окончена Нажмите клавишу <ESC> для выхода

Рисунок 5 Колебания вида называются модулированными.

Любые сложные периодические колебания можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами кратными циклической частоте ω: Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ω, 2ω, 3ω, . . . , называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.

63