Сегодня Monday March 19 2018 Ларионов В В

Сегодня: Monday, March 19, 2018 Ларионов В. В. Фазовые портреты

Как изменяется характер движения при изменении функции F(r, v) Если сила постоянная, то решение обратной задачи кинематики производят простейшим образом. Из 2 -го закона Ньютона ускорение a = F/m, но a=d. V/dt. Подставляя получаем, d. V=(F/m)dt, m = const. Интегрируем

В векторном виде Интегрирование уравнения по позволяет найти изменение радиуса-вектора.

Если сила пропорциональна смещению (например, сила упругости), то получаем колебательное движение. Рассмотрим частный случай одномерного движения, которое происходит под действием квазиупругой силы F= -kx, где х – изменение длины пружины (r=x). Направление движения F=-kx m x

Уравнение движения имеет следующий вид: Так обозначено ускорение

Это однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка. Его решение известно из курса средней школы и имеет вид (это уравнение колебательного движения): А- амплитуда колебаний, ω0 - циклическая частота, φ-начальная фаза.

ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ Итак смещение точки при колебательном движении имеет вид: Найдем ее скорость И импульс

Преобразуем уравнения в виде Возведем в квадрат и сложим

Полученное уравнение – эллипс или окружность носит название - фазовый портрет колебательного движения частицы P(x) x A

Площадь эллипса равна произведению его полуосей и можно доказать, что энергия Е колебательного движения за один период, деленная на частоту - линейная частота колебаний

Фазовый портрет гармонических колебаний

Фазовый портрет при наличии затухания

Третий закон Ньютона Третий закон утверждает: если тело 1 действует на тело 2 с силой F 1, то в свою очередь тело 1 обязательно действует на тело 2 с силой F 2, равной по величине и противоположной по знаку силе F 1; обе силы направлены вдоль одной прямой. Третий закон отражает тот факт, что сила есть результат взаимодействия двух различных тел. F 1 1 F 2 2

3 -ий закон говорит о том, откуда берется сила во 2 -ом законе Закон сохранения импульса Из 3 -его закона Ньютона, как следствие, можно получить закон сохранения импульса. Пусть имеем замкнутую систему тел 1 и 2. F 1 1 F 2 2

Запишем третий закон Ньютона. С учетом 2 -го закона, имеем: Тогда: Или

Т. е. после интегрирования, получаем: В замкнутой системе двух тел их импульс есть величина постоянная. Этот результат может быть распространен на любое число N тел

Закон сохранения импульса выполняется для замкнутой системы тел. Система считается замкнутой, если внешнее воздействие отсутствует или мало по сравнению с внутренними силами.

Работа и энергия Работой А называют интеграл от точки 1 по криволинейной траектории до точки 2 (под интегралом – векторы) А 12= 2 1 F

Кинетическая энергия Рассмотрим частицу массой m, на которую действует некоторая сила F. Вычислим работу данной силы при движении частицы (тела) по некоторой траектории от 1 до 2. По определению А 12= Fdr = mvdv но dr/dt =v. В классической механике m=const, т. е. массу можно вынести за знак интеграла.

Этот интеграл равен m. V 22/2 – m. V 12/2 =ΔEk Из формулы видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия есть функция состояния ее движения.

Кинетическая энергия в релятивистском случае Если масса зависит от скорости, то ее величину нельзя вынести за знак интеграла.

Преобразуем данную формулу (т. е. возведем в квадрат и раскроем скобки, введем импульс) (1) c 2 m 2 -p 2 = m 02 c 2 , т. к. p= mv

Продифференцируем формулу (1) 2 c 2 mdm – 2 pdp =0. Сократим на 2. c 2 mdm = pdp, или c 2 dm = pdp/m Вычисляем работу, помня, что Fdr = mv dv=p(dv m)/m= (p dp)/m. Следовательно, А 12=

Получили элементарный интеграл, который равен С 2(m 2 – m 1). Если частица стартовала с массой покоя m 0 , то индекс 1 заменяем на 0, а m 2 становится текущей, т. е получаем С 2(m – m 0). Величина С 2 m 0 называется энергией покоя. Кинетическая энергия равна Ek = С 2 m - С 2 m 0. Ek + m 0 С 2 = С 2 m = E – полная энергия!!! m 0 – масса покоя частицы

Потенциальная энергия. Консервативные силы Есть силы, для которых выполняется условие Путь 1 Путь 2 Путь 3 Рис.

Такие силы называют консервативными и для сил, обладающих таким свойством, интеграл называют потенциальной энергией и обозначают буквой U: Потенциальную энергию можно представить себе как энергию, запасенную для дальнейшего использования. Во многих случаях ее можно преобразовать в другие полезные формы энергии.

Закон сохранения импульса, наряду с законом сохранения энергии, составляют систему двух линейных уравнений и применяется для анализа физических систем, когда учет всех сил затруднен. Например, при соударениях частиц (шаров), при расчете движения протонов в БАК (ЦЕРН, Швейцария).

Сегодня: Monday, March 19, 2018 Лекция № 4

Момент силы Моментом силы F относительно произвольной оси называется векторное произведение радиусавектора r на вектор силы F. Радиус-вектор r и сила F лежат в одной плоскости, перпендикулярной оси вращения частицы m. M =[r, F] = - [F, r] Вектор М направлен вдоль оси вращения по правилу векторного произведения или правилу правого буравчика. Скалярное значение момента силы равно M =r F sin α

Схема векторов z M β r F α

Момент импульса Понятие момента импульса вводится аналогично понятию момента силы. Моментом импульса L частицы массы m называется векторное произведение радиуса-вектора r на вектор импульса частицы p L = [r, p] = - [p, r]. Вектор направлен по оси вращения по правилу векторного произведения и правилу правого буравчика. Его скаляр равен L=rpsin α

Схема векторов для определения момента импульса Рассмотрим ось, произвольно ориентированную в пространстве, вокруг которой вращается частица с импульсом Р. z Lz L β r P α

Момент силы и момент импульса связаны между собой следующим образом d. L/dt = M

Если система замкнута, или силы действуют вдоль оси, что также означает отсутствие момента силы, то d. L/dt = 0 или L = const. Мы доказали, что если на тело действует центральная сила любого происхождения, или система замкнута, то момент импульса этого тела будет сохраняться.

Для твердого тела момент импульса вычисляется следующим образом L = - момент инерции твердого тела – аналог массы для вращательного движения r dm Ось вращения

Моменты инерции некоторых тел Материальной точки Диска - Шара -

Три фундаментальных закона механики (закон сохранения импульса, энергии и момента импульса имеют общефизическое значение и применяются во всех других областях физики, включая атомную и ядерную)

Специальная теория относительности Механика Ньютона (называемая также классической) неверна при скоростях движения тел, близких к скорости света (v с). Теория для случая v с называется релятивистской механикой или специальной теорией относительности.

Классический закон сложения скоростей по Галилею: y K y’ K’ V 0 x V 0 t 0 K Частица м x’ K′ 0’ Из простого сложения отрезков находим X= X′ + V 0 t, и взяв производную по времени получаем vx = ′ vx x, x’ + v 0

Скорость света по формуле Галилея равна с. R = с V 0, т. е. может быть различной в разных системах отсчета

Постулаты Эйнштейна: 1. Скорость света в вакууме постоянна во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника и наблюдателя. 2. Все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны (принцип относительности Эйнштейна).

Закон сложения скоростей в теории относительности (при больших скоростях) имеет вид При малых скоростях (V<

Связь координат имеет вид Сокращение длины по теории Эйнштейна Замедление времени

Тема: ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА

В газах и жидкостях большое число сталкивающихся атомов и молекул обуславливает важные закономерности в поведении статистических переменных, не отдельным атомам и молекулам. свойственные Такие закономерности называются вероятностными или статистическими. Если ограничиться случаем теплового равновесия в физических системах, то мы будем иметь дело со статистической физикой или статистической механикой.

Статистическая физика позволяет решить принципиальные вопросы, связанные с детализацией описания большой совокупности атомов и молекул. Это вопросы касаются распределения атомов и молекул идеального газа по скоростям и по энергиям, распределения атомов и молекул в пространстве, где на них действуют силы, и от точки к точке меняется их потенциальная энергия.

Распределение молекул по скоростям. Распределение Максвелла Пусть у нас имеется N тождественных атомных частиц, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. В результате каждого акта столкновения молекул их скорости меняются случайным образом. В процессе большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

Функция распределения Максвелла F(v) по абсолютным значениям скоростей Позволяет определить долю молекул = F(v) Δv, имеющих скорости в интервале от v до v + Δv

На рис. показана зависимость F(v) при различных температурах. Рис. Величина площадки под кривой – это доля молекул, обладающих скоростями от v до v + Δv

Наиболее вероятная, средне квадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа Скорость, соответствующая максимуму распределения есть наиболее вероятная скорость – для одной молекулы. Средняя квадратичная скорость равна Средняя арифметическая скорость

Сегодня: Monday, March 19, 2018 Лекция № 5

Следствия из распределения Максвелла

Из распределения Максвелла следует, что средняя кинетическая энергия молекулы массой m идеального газа равна средняя кинетическая энергия молекулы, состоящей из одного атома Если молекула состоит из 2 и более атомов, то энергия равна I - число степеней свободы, k-постоянная Больцмана

Энергия моля (киломоля) газа Чтобы получить полную кинетическую (внутреннюю) энергию моля газа U надо умножить среднюю энергию одной молекулы на число молекул (например, число Авогадро) 1/моль R - универсальная газовая постоянная

Распределение Больцмана определяет распределение частиц в силовом поле, в условиях теплового равновесия n(x) = n 0 exp[ U(x)/k. T]. Это соотношение называется законом распределения Больцмана или просто распределением Больцмана.

Условно это можно изобразить так: Uk U 2 U 1

В однородном поле тяжести, если перейти к давлению, формула преобразуется к виду P(x) = P 0 exp[ gx/RT], где молярная масса газа, P 0 давление при x = 0 (например, на поверхности Земли). Полученное соотношение носит название барометрической формулы.

ИДЕАЛЬНЫЙ И РЕАЛЬНЫЙ ГАЗЫ Идеальный газ -радиус взаимодействия двух молекул много меньше среднего расстояния между ними, т. е молекулы взаимодействуют только при столкновениях (рис. 1. 1). - объем всех молекул газа много меньше объема, занятого газом. - потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю Реальный газ радиус взаимодействия двух молекул сравним с средним расстоянием между ними, т. е молекулы могут взаимодействовать не только при столкновениях, но и на некотором расстоянии между ними – собственный объем молекул газа может быть сравним с объемом газа (сосуда.

Уравнения состояния для газов Уравнение состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона) Уравнение состояния реального газа (Вандер-Ваальса) a, b – постоянные Ван-дер Ваальса, учитывающие взаимодействие и собственный объем молекул газа, соответственно. Основное отличие состоит в следующем: 1) количественное – по виду уравнений; 2) качественное – состоит в том, что реальный газ может быть сжижен, идеальный газ перевести в жидкость нельзя.

ГЛАВНЫЕ СЛОВА: Термодинамика дает полное количественное описание обратимых процессов. Для необратимых указывает направление их протекания. Первое начало термодинамики есть закон сохранения энергии для макроскопических явлений, в которых одним из существенных параметров, определяющих состояние тел, является температура.

Закон сохранения энергии для систем, в которых существенную роль играют тепловые процессы, или первое начало термодинамики записывается в виде Q = d. U + A или Q = d. U + Pd. V.

d. U=Cvd. T; d. Q=Cpd. T; d. A = Pd. V В формулах приняты следующие обозначения: d. U-изменение внутренней энергии газа; Cv-теплоемкость газа при постоянном объеме V, Cp – теплоемкость газа при постоянном давлении P. Теплоемкость- это количество теплоты, необходимое для нагревания одного моля газа на 1 градус.

Циклы или круговые процессы Цикл Карно (обратимый). Никола Леонард Сади КАРНО –французский офицер инженерных войск в 1824 г. показал, что работу можно получить в случае, когда тепло переходит от нагретого тела к более холодному (второе начало термодинамики). Ввел понятие кругового и обратимого процессов, идеального цикла тепловых машин, заложил тем самым основы их теории.

Первое начало термодинамики не может указать направление развития процесса. Этот закон позволяет указать, как изменяются термодинамические величины в процессе. Направление развития процессов описывается вторым началом термодинамики.

Цикл Карно Идеальный цикл Карно состоит из 2 -х изотерм и 2 -х адиабат. Газ получает тепло Q 1 при изотермическом расширении (T 1) и отдает Q 2 при изотермическом сжатии (но при более низкой температуре T 2).

Рис.

Для обратимого цикла Карно Для необратимого цикла Т. е всегда ηобр > ηнеобр – этот вывод справедлив независимо от причин необратимости цикла Карно. η – это коэффициент полезного действия

Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса Все термодинамические процессы, в том числе и круговые, делят на две группы: обратимые и необратимые. Процесс называют обратимым, если он протекает таким образом, что после окончания процесса он может быть проведен в обратном направлении через все те же промежуточные состояния, что и прямой процесс. После проведения кругового обратимого процесса никаких изменений в среде, окружающей систему, не произойдет.

Процесс называется необратимым, если он протекает так, что после его окончания систему нельзя вернуть в начальное состояние через прежние промежуточные состояния. Нельзя осуществить необратимый круговой процесс, чтобы нигде в окружающей среде не осталось никаких изменений. Например, обратимым можно считать процесс адиабатического расширения или сжатия газа. При адиабатическом процессе условие теплоизолированности системы исключает непосредственный теплообмен между системой и

Функция состояния, дифференциал которой , называется – энтропией. d. Q – элементарное тепло, полученное (отданное) газом при температуре газа Т Энтропия обозначается S – это отношение полученной или отданной теплоты к температуре при которой произошла эта отдача. С ее помощью определяют направление процесса

Задание на дом Найти изменение энтропии при переходе газа из состояния T 1 V 1 в T 2 V 2 (все величины известны) Q P T 1 d. Q T 2 V 1 V 2 V

Сегодня: Monday, March 19, 2018 Лекция № 6 Тема: Заряд и его свойства, закон Кулона

КУЛОН Шарль Огюстен (14. 6. 1736 – 23. 8. 1806) – (Couloumb) французский физик и военный инженер. Сформулировал законы трения, качения и скольжения. Установил законы упругого кручения. В 1725 г. , построил прибор для измерения силы – крутильные весы. В 1725 году Кулон открыл закон, названный в последствии его именем. Раньше ожидали, этот закон должен быть похож на закон всемирного тяготения. Так оно и оказалось, только величина сил разная: если передать 1% электронов от одного человека к другому, то сила взаимодействия между ними на расстоянии вытянутой руки будет больше веса земного шара. (Ранее крутильные весы изобрел Кавендиш и на 10 лет раньше Кулона он

Макроскопические носители зарядов. Кварки. Заряженные частицы и ионы, q=1, 6021892*10 -19 Кл. mе = 9, 1*10 -31 кг. 4πr 2ρ Нейтрон. Протон. 0 0, 5 r 1 Рис. 1. 1, 5 r+dr r, 10 -15 м 0 0, 5 1 1, 5 r, 10 -15 м Рис. 2. 7