Сегодня Friday February 2 2018 Тема 1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ

Сегодня: Friday, February 2, 2018 Тема 1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 1. 1 Виды и признаки колебаний 1. 2 Параметры гармонических колебаний 1. 3 Графики смещения скорости и ускорения 1. 4 Основное уравнение динамики гармон. колебаний 1. 5 Энергия гармонических колебаний 1. 6 Гармонический осциллятор

Примеры колебательных процессов Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая точечным источником (гармонически колеблющимся шариком). Генерация акустической волны громкоговорителем.

Примеры колебательных процессов Поперечная волна в сетке, состоящей из шариков, скреплённых пружинками. Колебания масс происходят перпендикулярно направлению распространения волны. Возможные типы колебаний атомов в кристалле.

1. 1 Виды и признаки колебаний В физике особенно выделяют колебания двух видов – механические и электромагнитные и их электромеханические комбинации, поскольку они чрезвычайно актуальны для жизнедеятельности человека. Для колебаний характерно превращение одного вида энергии в другую – кинетической в потенциальную, магнитной в электрическую и т. д. Колебательным движением (или просто колебанием) называются процессы, повторяющиеся во времени. Существуют общие закономерности этих явлений. Поэтому основные, учения о механических колебаниях, которые мы рассматриваем здесь, должны стать фундаментом для изучения любых видов колебаний.

Различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Говоря о колебаниях или осцилляциях тела, мы подразумеваем повторяющееся движение его туда и обратно по одной и той же траектории. Иными словами колебательное движение является периодическим. Простейшим примером периодического движения служат колебания груза на конце пружины. ) Рисунок 1

Рисунок 1 x = 0 – положение равновесия; Fвн – внешняя растягивающая сила; Fв – возвращающая сила; A – амплитуда колебаний. Fв = – kx (закон Гука) Знак минус означает, что возвращающая сила, всегда противоположна направлению перемещения x Постоянная k в формуле (1. 1. 1) называется жесткостью пружины. F = + kx

Из приведенного примера следуют три признака колебательного движения: повторяемость (периодичность) – движение по одной и той же траектории туда и обратно; ограниченность пределами крайних положений; действие силы, описываемой функцией F = – kx.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. • Простейшим типом периодических колебаний являются так называемые гармонические колебания. • Любая колебательная система, в которой возвращающая сила прямо пропорциональна смещению, взятому с противоположным знаком (например, F = – kx), совершает гармонические колебания. • Саму такую систему часто называют гармоническим осциллятором.

Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; различные периодические процессы (повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Периодический процесс можно описать уравнением: По определению, колебания называются гармоническими, если зависимость некоторой величины имеет вид (1. 1. 2) или Здесь синус или косинус используются в зависимости от условия задачи, А и φ – параметры колебаний, которые мы рассмотрим ниже.

1. 2 Параметры гармонических колебаний • Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится груз, называют смещением x. • Максимальное смещение – наибольшее расстояние от положения равновесия – называется амплитудой и обозначается, буквой A. определяет смещение x в данный момент времени t и называется фазой колебания. , поэтому • При называется начальной фазой колебания. • Фаза измеряется в радианах. Т. к. синус и косинус изменяются в пределах от +1 до – 1, то х может принимать значения от +А до –А (рисунок 1. 2)

Рисунок 2

• Движение от некоторой начальной точки до возвращения в ту же точку, например от к и обратно в , называется полным колебанием. • Частота колебаний ν определяется, как число полных колебаний в 1 секунду. Частоту, измеряют в герцах (Гц): • 1 Гц = 1 колеб. в секунду. (1. 1. 2) • Т – период колебаний – минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание (1. 2. 3)

• ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за 2π секунд. (1. 2. 2) • Фаза φ не влияет на форму кривой х(t), а влияет лишь на ее положение в некоторый произвольный момент времени t. • Гармонические колебания являются всегда синусоидальными. • Частота и период гармонических колебаний не зависят от амплитуды.

• Смещение описывается уравнением тогда, по определению: (1. 2. 4) (1. 2. 5) – амплитуда скорости; – амплитуда ускорения.

1. 3 Графики смещения скорости и ускорения Уравнения колебаний запишем в следующем виде: (1. 3. 1) Из этой системы уравнений можно сделать следующие выводы:

скорость колебаний тела максимальна и, по абсолютной величине, равна амплитуде скорости в момент прохождения через положение равновесия ( ). При максимальном смещении ( ) скорость равна нулю; ускорение равно нулю при прохождении телом положения равновесия и достигает наибольшего значения, равного амплитуде ускорения при наибольших смещениях.

Рисунок 3

1. 4 Основное уравнение динамики гармонических колебаний • Исходя из второго закона, , можно записать (1. 4. 1) сила F пропорциональна х и всегда направлена к положению равновесия (поэтому ее и называют возвращающей силой). Период и фаза силы совпадают с периодом и фазой ускорения. • Примером сил удовлетворяющих (1. 4. 1) являются упругие силы. Силы же имеющие иную природу, но удовлетворяющие (1. 4. 1) называются квазиупругими. (1. 4. 2) Квазиупругая сила где k – коэффициент квазиупругой силы.

Сравнивая (1. 4. 1) и (1. 4. 2) видим, что Получим основное уравнение динамики гармонических колебаний, вызываемых упругими силами: или ; , тогда (1. 4. 3) Решение этого уравнения всегда будет выражение вида Круговая частота незатухающих колебаний , но тогда откуда

1. 5 Энергия гармонических колебаний Рисунок 1 Потенциальная энергия тела U, измеряется той работой, которую произведет возвращающая сила

, отсюда или (1. 5. 1) • Потенциальн ая энергия (1. 5. 2) • Кинетическая энергия (1. 5. 3) • Полная энергия: , или (1. 5. 4) Полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.

Рассмотрим колебания груза под действием сил тяжести (квазиупругих сил) (рисунок 4). Максимум потенциальной энергии, (из 1. 5. 2) Максимум кинетической энергии но когда , и наоборот.

При колебаниях совершающихся под действием потенциальных (консервативных) сил, происходит переход кинетической энергии в потенциальную и наоборот, но их сумма в любой момент времени постоянна. Рисунок 5

1. 6 Гармонический осциллятор 1. Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине с жесткостью k, совершающий гармонические колебания под действием упругой силы Рисунок 7

Из второго закона Ньютона F = mа; или F = - kx получим уравнение движения маятника: (1. 6. 1) или Решение этого уравнения – гармонические колебания вида: циклическая частота ω период Т

2 Математическим маятником – называется идеализированная система, состоящая из невесомой, нерастяжимой нити, на которую подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (шарик на длинной тонкой нити) (рис. 8). • При отклонении маятника от вертикали, возникает вращающий момент, (1. 6. 2) • Уравнение динамики вращательного движения для маятника: где момент инерции маятника Рисунок 8 -угловое ускорение

Тогда , или Обозначим : Уравнение движения маятника (1. 6. 3) - Это уравнение динамики гармонических колебаний. Решение уравнения (1. 5. 3) имеет вид: Т – зависит только от длины маятника и ускорения свободного падения.

3 Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса О, не совпадающую с центром масс С Вращающий момент маятника: l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника О-С. Обозначим: J – момент инерции маятника относит. точки подвеса O.

- угловое ускорение, тогда Уравнение динамики вращательного движения , где – приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебания которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

• Точка называется центром качаний • Применяя теорему Штейнера, получим: Рисунок 9 всегда больше l. Точки и всегда будут лежать по обе стороны от точки С.

• Точка подвеса О маятника и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости • На этом свойстве основано определение ускорения силы тяжести g с помощью так называемого оборотного маятника. Это такой маятник, у которого имеются две точки подвеса и два груза, которые могут перемещаться вдоль оси маятника. • Все приведенные соотношения для математического и физического маятников справедливы для малых углов отклонения (меньше 15°), когда мало отличается от длины хорды (меньше чем на 1%).

Сегодня: Friday, February 2, 2018 Тема 5 УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ 5. 1 Распространение волн в упругой среде 5. 2 Уравнение плоской волны 5. 3 Акустические волны

5. 1 Распространение волн в упругой среде Колеблющиеся тело, помещенное в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

При распространении волны, частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице, передается лишь состояние колебательного движения и его энергии. Поэтому основным свойством всех волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества.

Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения), и продольными (сгущение и разряжение частиц среды происходят в направлении распространения). Граница, отделяющая колеблющиеся частицы от частиц, еще не начавших колебаться, называется фронтом волны. В однородной среде направление распространения перпендикулярно фронту волны

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны где υ – скорость распространения волны – период – частота

Отсюда, скорость распространения волны можно найти по формуле: Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положение равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе). Волновой фронт только один и все время перемещается. В простейших случаях волновые поверхности имеют форму плоскости или сферы

5. 2 Уравнение плоской волны Уравнением волны – называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

Уравнение плоской волны Найдем вид функции, в случае плоской волны предполагая, что колебания носят гармонический характер. Чтобы пройти путь x необходимо время – это уравнение плоской волны.

Введем волновое число или в векторной форме Так как , то Тогда уравнение плоской волны запишется так: . Отсюда

5. 3 Акустические волны • Звук – это колебания, т. е. периодическое механическое возмущение в упругих средах – газообразных, жидких и твердых. Такое возмущение, представляющее собой некоторое физическое изменение в среде (например, изменение плотности или давления, смещение частиц), распространяется в ней в виде звуковой волны. Область физики, рассматривающая вопросы возникновения, распространения приема и обработки звуковых волн, называется акустикой. Звук может быть неслышимым, если его частота лежит за пределами чувствительности человеческого уха, или он распространяется в такой среде, как твердое тело, которая не может иметь прямого контакта с ухом, или же его энергия быстро рассеивается в среде. Таким образом, обычный для нас процесс восприятия звука – лишь одна сторона акустики .

Звуковая волна в газе характеризуется избыточным давлением, избыточной плотностью, смещением частиц и их скоростью. Для звуковых волн эти отклонения от равновесных значений всегда малы. Так, избыточное давление, связанное с волной, намного меньше статического давления газа. В противном случае мы имеем дело с другим явлением – ударной волной. В звуковой волне, соответствующей обычной речи, избыточное давление составляет лишь около одной миллионной атмосферного давления. Важно то обстоятельство, что вещество не уносится звуковой волной. Волна представляет собой лишь проходящее по воздуху временное возмущение, по прохождении которого воздух возвращается в равновесное состояние. Волновое движение, конечно, не является характерным только для звука: в форме волн распространяются свет и радиосигналы, и каждому знакомы волны на поверхности воды. Все типы волн математически описываются так называемым волновым уравнением.

Скорость звуковых волн. Скорость звука – это характеристика среды, в которой распространяется волна. Она определяется двумя факторами: упругостью и плотностью материала. Упругие свойства твердых тел зависят от типа деформации. Так, упругие свойства металлического стержня неодинаковы при кручении, сжатии и изгибе. И соответствующие волновые колебания распространяются с разной скоростью. Упругой называется среда, в которой деформация, будь то кручение, сжатие или изгиб, пропорциональна силе, вызывающей деформацию. Такие материалы подчиняются закону Гука: Напряжение = C * Относительная деформация, где С – модуль упругости, зависящий от материала и типа деформации. Скорость звука v для данного типа упругой деформации дается выражениемρ где ρ – плотность материала (масса единицы объема).

Скорость звука в газах. В газах возможен только один тип деформации: сжатие – разрежение. Соответствующий модуль упругости В называется модулем объемной деформации. Он определяется соотношением –ΔP = B(Δ V/V). Здесь Δ P – изменение давления, Δ V/V – относительное изменение объема. Знак «минус» показывает, что при увеличении давления объем уменьшается. Величина В зависит от того, изменяется или нет температура газа при сжатии. В случае звуковой волны можно показать, что давление изменяется очень быстро и теплота, выделяющаяся при сжатии, не успевает уходить из системы. Таким образом, изменение давления в звуковой волне происходит без теплообмена с окружающими частицами. Такое изменение называется адиабатическим. Установлено, что скорость звука в газе зависит только от температуры. При данной температуре скорость звука примерно одинакова для всех газов. При температуре 21, 1° С скорость звука в сухом воздухе составляет 344, 4 м/с и возрастает с повышением температуры

Скорость звука в жидкостях. Звуковые волны в жидкостях являются волнами сжатия – разрежения, как и в газах. Скорость дается той же формулой Однако жидкость гораздо менее сжимаема, чем газ, и поэтому для нее во много раз больше величина В, больше и плотность r. Скорость звука в жидкостях ближе к скорости в твердых материалах, чем в газах. Она гораздо меньше, чем в газах, зависит от температуры. Например, скорость в пресной воде равна 1460 м/с при 15, 6° С. В морской воде нормальной солености она при той же температуре составляет 1504 м/с. Скорость звука возрастает с повышением температуры воды и концентрации соли.

Любая звуковая волна, которая распространяется в пространстве, может оказывать на встречающиеся препятствия (в том числе и на наши барабанные перепонки) некое давление. Мы субъективно воспринимаем изменение давления звуковых волн в виде ощущения изменения громкости звука. Максимальное изменение давления воздухе при распространении звуковых волн по сравнению с давлением при отсутствии волн называется звуковым давлением. Как и любое другое, звуковое Давление измеряется в Паскалях (Па). Но в акустике, при оценке интенсивности звуковых волн чаще применяется другое понятие - сила звука. Оно показывает поток звуковой энергии, который каждую секунду проходит через квадратный сантиметр условной плоскости, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны. Звуковое давление и сила звука находятся в квадратичной зависимости. То есть, сила звука = звуковое давление в квадрате. Сила звука описывает энергетические свойства самой волны и измеряется в ваттах/квадратный сантиметр (Вт/кв. см. ). Такая единица бывает очень удобна при некоторых расчетах - это единственная причина ее введения. Для того, чтобы мы смогли услышать тот или иной звук, его сила должна быть больше определенного уровня. Этот уровень называется порогом слышимости. То есть, если звуковая волна имеет малую интенсивность - ниже этого порога, мы просто не воспринимаем ее, и нам кажется, что вокруг стоит полная тишина, хотя на самом деле воздух вокруг колеблется. Точно также дело обстоит и со звуками большой интенсивности - мы слышим звук только до определенного уровня, который называется болевым порогом. Если сила звука больше этого уровня, то мы испытываем боль в ушах

Наш слуховой аппарат устроен таким образом, что линейное изменение силы звука (или звукового давления) не воспринимается нами как линейное изменение громкости. Громкость звука и его сила связаны между собой более хитрой зависимостью. Увеличение громкости в два раза соответствует увеличению силы звука в 100 раз (звукового давления - в 10 раз), увеличение громкости в 3 раза соответствует увеличению силы звука уже в 10000 раз (звукового давления - в 100 раз), а увеличение громкости в 4 раза соответствует изменению силы звука в 10000 раз (звукового давления - в 10000 раз)! Такая зависимость называется логарифмической, и именно из-за такой особенности нашего восприятия изменение уровня (громкости) звука принято измерять в логарифмических единицах - белах (Б).

Интерференция звуковых волн. Наложение двух или большего числа волн называется интерференцией волн. Стоячие волны как результат интерференции. Рассмотренные выше стоячие волны – частный случай интерференции. Стоячие волны образуются в результате наложения двух волн одинаковой амплитуды, фазы и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях. Амплитуда в пучностях стоячей волны равна удвоенной амплитуде каждой из волн. Поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату ее амплитуды, это означает, что интенсивность в пучностях в 4 раза больше интенсивности каждой из волн или же в 2 раза больше суммарной интенсивности двух волн. Здесь нет нарушения закона сохранения энергии, поскольку в узлах интенсивность равна нулю.

Измерение скорости, силы и громкости звука

Интерференция звуковых волн