Сечения поверхности тора Подготовили Мокин Н А

Сечения поверхности тора Подготовили: Мокин Н. А. , ст. 3 курса 1 группы ИСА Радзиевская А. А. , ст. 1 курса 1 группы ИСА Научный руководитель: Степура Е. А. , доцент Москва, 2012

Определение тора. Тор — поверхность четвертого порядка, получаемая вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности.

Второе определение тора Тор – это геометрическое место точек, удаленных от заданной окружности радиуса R на расстояние r.

Элементы тора

Виды тора. открытый (тор – кольцо), если радиус образующей окружности меньше расстояния от центра окружности до оси вращения

Виды тора. замкнутый, если радиус образующей окружности равен расстоянию от центра окружности до оси вращения

Виды тора. самопересекающимся , если радиус образующей окружности больше расстояния от центра до оси вращении

Виды тора. При R 0, тор всё более становится похожим на 2 сферы и в предельном случае, когда это расстояние станет равно 0, тор превратится в пару совпадающих сфер радиусом r.

Изображение тора на эпюре Монжа.

Уравнения тора Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде: Уравнение в декартовых координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень: Тор является частным случаем поверхности четвёртого порядка.

Сечение тора плоскостью Плоскость сечения может: 1) Быть перпендикулярной оси тора 2) Быть параллельной оси тора 3) Занимать общее положение по отношению к элементам тора

Сечение тора плоскостью. Построения на эпюре Монжа

Частный случай наклонного сечения Бикасательное сечение тора (окружности Вилларсо)

Частный случай наклонного сечения Бикасательное сечение тора (окружности Вилларсо)

Сечение тора, параллельное его оси Кривая Персея (спирическая кривая) – общее название для плоских алгебраических кривых четвертого порядка, являющихся линией пересечения поверхности тора плоскостью, параллельной его оси. Уравнение в прямоугольных координатах: где r - радиус образующей окружности, d - расстояние от ее центра до оси тора, ρ - расстояние от оси тора до секущей плоскости.

Сечение тора, параллельное его оси Кривая Персея. Вид кривой Персея в зависимости от d и r

Сечения тора, параллельные его оси

Овалы Кассини Кривая Персея является частным случаем овалов Кассини

Овалы Кассини Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно. Уравнение этой кривой в декартовых координатах где c — половина расстояния между фокусами, a — квадратный корень из произведения расстояний от фокусов до любой точки кривой

Овалы Кассини

Овалы Кассини

Лемниската Бернулли

Свойства лемнискаты.

Общие выводы Мы постарались наиболее полно, в соответствии с форматом конференции, рассказать о всевозможных плоских сечениях тороидальной поверхности, что позволяет: Систематизировать разрозненную информацию о сечениях тора и дополнить её наглядными изображениями для более глубокого усвоения материала; Использовать упорядоченный материал при решении олимпиадных задач различного уровня, а также при подготовке сборной команды университета;

Общие выводы Применять полученные знания в технике и конструкторском деле, помня, что любое тело вращения с дугообразным продольным сечением уже заключает в себе часть тороидальной поверхности (будь то вал машины, ваза или купол)