Сечение многогранников Геометрия является самым могущественным средством для

Сечение многогранников Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. Галилео Галилей.

Сечением поверхности геометрических тел называется плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости

Демонстрация сечений

Плоскость (в том числе и секущую) можно задать следующим образом

Основные методы сечений многогранников Метод вспомогательных сечений Метод следов Комбинированный метод

Методы построения сечений Аксиоматический метод Аксиомы стереометрии

Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Призма Сечение Се ку ща яп ло ск ос ть Даны три точки на боковых ребрах ей кущ е ед с ти Сл кос с пло Плоскость основания

! Секущая плоскость пересекает грани многогранника по прямым, а точнее по отрезкам - разрезам. ! Так как секущая плоскость идет непрерывно, то разрезы образуют замкнутую фигурумногоугольник. ! Полученный таким образом многоугольник и будет сечением тела.

Пример. Постройте сечение призмы, проходящее через точки O, F, G Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB • Проводим через точки F и O прямую FO. L M F K N • Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью. • Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB. G B O C A Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях? D Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания L • Проводим прямую АВ до пересечения с прямой FO. • Получим точку H, которая K принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания. • Аналогичным образом получим точку R. • Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости M F N G B O A C R D H Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

Шаг 3: делаем разрезы на других гранях L • Так как прямая HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе. • Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD. • Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC). H M F N K G B O A C R S E Почему мы уверены, что все делаем правильно? D

Шаг 4: выделяем сечение многогранника L Все разрезы образовали пятиугольник K OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O, F, G. O F M N B G C S A E D

Задание № 1 Построй сечения призмы по трем данным точкам. Вариант 1 Вариант 2 А теперь проверь себя!!! Ответ

Отлично!

Задание № 2 Построить сечение призмы по трем данным точкам Удачи вам, в решении задачи! Ответ

Молодцы!

Комбинированный метод Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Пример. Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q. 1. Точки P и R лежат в одной плоскости, проведём прямую PR. P 2. Прямая PR лежит в плоскости AA’B’B, точка Q лежит в плоскости DD’C’C, параллельной AA’B’B. A’ 3. Проведём через точку Q прямую параллельную прямой PR, R получим точку K Почему мы уверены, что все делаем правильно? Теорема B’ C’ D’ Q C B K D A Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L. 5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK 6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF. 7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости BB’C’C, параллельной плоскости AA’D’D. B’ M C’ 8. Проведём прямую параллельную P прямой RF, через точку Q, получим точку M. Почему мы уверены, что все делаем A’ правильно? Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются R по прямой, проходящей через эту точку. Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Теорема Если две параллельные плоскости прямые пересечения параллельны A L D’ Q C B F D K пересекаются третьей, то

9. Проведем PM. B’ M C’ P 10. Полученный шестиугольник является искомым сечением A’ R A D’ Q C B F D K

Задание № 3. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через указанные точки К, M, N (точка N лежит на грани основания). Построение. D 1. Точки M и К лежат в плоскости одной грани. Проводим MK. M 2. МК ∩ АС=L 3. Точки L и N лежат в плоскости основания. Соединим их. 4. NL ∩ АB=E, NL ∩ CB=P 5. Соединяем M и N, К и P. Получено искомое сечение ЕМКР. K C А E L P N B

Задание № 4 Постройте сечение куба по трем данным точкам. А теперь проверь себя!!!

Если все сечения совпали, то тема усвоена!

Домашнее задание 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через ребро основания АВ и центр Е грани. 2. Построить сечение треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 плоскостью, проходящей через точки М, N и Р, причем прямые NP и А 1 В 1 не параллельны.