Санкт-Петербургский архитектурно-строительный колледж Прикладная математика Основные учебники

Санкт-Петербургский архитектурно-строительный колледж Прикладная математика

Основные учебники: 1. Дадаян А. А. Математика. М. , Форум, 2003 2. Валуцэ И. И. , Дилигул Г. Д. Математика для техникумов. М. , Наука, 1989

Функция основные понятия

Определение функции Соответствие, которое каждому элементу х из множества Х сопоставляет один и только один элемент у из множества Y называется функцией, определенной на множестве Х со значениями в Y

Способы задания функции Аналитический функция задается при помощи формулы, например y =3 x 2 +7; x 2 + y 2=4; U= sin( t 0) Графический Соответствие между функцией и аргументом устанавливается с помощью графика

Способы задания функции Табличный функция задается таблицей некоторых значений аргумента и соответствующих значений функции, например: • таблица квадратов чисел r • таблица тригонометрических функций • таблица опытных величин

Явные функции Если функция задана аналитическим уравнением y = f(x) которое разрешено относительно у, то такое задание функции называется явным

Функции, заданные неявно Функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, и не решенным относительно у, называется неявной неявная форма 2 x +y -5 = 0 x 2 + y 2 = 9 явная форма y = - 2 x + 5 y = 9 - x 2+ lgxy -2 sin(x+y) = 0 Явной формы не имеет

Сложная функция Функция, заданная в виде y= f(g(x)) называется сложной функцией или суперпозицией функций f и g Обычно сложную функцию записывают в виде y = f(u), где u = g(x)

Сложная функция Аргумент х называется независимой переменной, u промежуточным аргументом. Промежуточных аргументов может быть несколько. y = (2 x-1)2 y =f(u) = u 2 u = g(x) = 2 x-1 y = lg(tg 3 x) y =f(u)= lgu u=g(v)= tgv v= 3 x

Основные характеристики функции

Четность - нечетность Пусть D(f) для f(x) симметрична относительно начала координат Если f(-x) = f(x) то функция четная y = x 2 y = cosx График четной функции симметричен относительно оси OY

Четность - нечетность Если f(-x) = - f(x) , то функция нечетная y = sinx y = x 3 График нечетной функции симметричен относительно начала координат

Функции общего вида Функции ни четные, ни нечетные, называются функциями общего вида y = x 3+1 y = (x+1)2 y=2 х

Виды функций

Периодические функции Функция y = f(x) называется периодической, существует такое число Т 0, что если для некого х определено f(x), то определено и f(x Т) и имеет место тождество f(x) = f(x Т)

Периодические функции Число Т называется периодом функции f(x). Наименьшее положительное Т называется главным периодом. у х -2 Т -Т 0 Т

Корень функции Корнем (нулем) функции y = f(x) называются те значения аргумента (х), в которых функция равна нулю f(x) = 0 (точки пересечения графика функции с осью ОХ)

Обратная функция

Обратная функция Функция является обратимой, если каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента из области определения.

Обратная функция Если функция y = f(x) обратима, то обратной называется функция x = g(y) (где х - значение функции а у - аргумент) и для нее справедливо тождество y = f(g(y)) ах logay у= logay = x y=a b y=sinx x=arcsiny y=sin(arcsiny)

Обратная функция При стандартном обозначении функции и аргумента, обратная функция имеет вид y = g(x) Графики взаимо обратных функций симметричны относительно прямой у = х

Обратная функция y y=g(x) y=x y=f(x) x

Элементарные функции

Элементарные функции постоянная у=С С R степенная у=ха a R показательная у = ах а>0 , а 1 логарифмическая у = logax а>0 , а 1

Элементарные функции тригонометрические y= sinx y= cosx y= tgx y=cosecx y= ctgx обратные тригонометрические y= arcsinx y= arccosx y= arctgx y= arcctgx

Степенные функции y = x a При а > 0 степенные функции называются параболами (квадратная, кубическая, полукубическая и т. п. ) y = x 2; y = x 3; y = x 1/2; y = x 3/2 Исключение: При а = 1 функция называется линейной

Степенные функции y = x a При а < 0 степенные функции называются гиперболами y = x -1; y = x -2; y = x - 1/2 Область определения степенной функции есть множество действительных значений х, для которых у принимает действительные значения

Степенная и ей обратная у = х2 у=

Степенная и ей обратная у = х3 у=

Степенная (гиперболы) у= х -1 у= х -2

Показательная функция у = ах Функция при а>1 возрастающая, при а<1 убывающая Особый случай: при а = е (е = 2, 71828. . . ) функция называется экспонентой и записывается y = ex либо у = ехр х

Показательная функция Область определения множество действительных чисел 0, 5 х 5 х ех

Логарифмическая функция у = logах Область определения множество положительных действительных чисел Функция при а>1 возрастающая, при а<1 убывающая Логарифмическая функция у = logах является обратной к показательной у = ах

Показательная и логарифмическая y = 2 х у = log 2 x

Логарифмическая функция Особый случай: при а = 10 записывается у = lgх (десятичный логарифм) при а = е (е = 2, 71828. . . ) записывается у = lnх (натуральный логарифм)

Логарифмическая функция Графики логарифмических функций log 0, 5 x lnx lgx

Тригонометрическая и обратная y = sinx y = arcsinx / -2 - 2 2 - / 2

Тригонометрическая и обратная y = cosx y = arccosx -2 - 2 / 2

Тригонометрическая и обратная y = tgx y = arctgx / - - / 2 2 - / 2

Производная функции и ее приложения

Определение производной Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции f(x 0) к приращению аргумента х при х 0, если этот предел существует

Определение производной Обозначения f’(x) yx ’ df dx dy dx Все обозначения равноправны

Схема нахождения производной 1. Дать приращение аргументу х ( х 0) и найти соответствующее значение функции y+ y= f(x+ х) 2. Найти приращения функции y = f(x) = f(x+ х) - f(x)

Схема нахождения производной 3. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента y / х 4. Найти предел этого отношения

Геометрический смысл производной у T у+Δу N уо y=f(х)- f(хo) M x-xo хо х х

Физический смысл производной Мгновенная скорость (скорость V(t) процесса в каждый момент времени) Мгновенной скоростью V(tо) в момент времени t 0 называется предел к которому стремится средняя скорость Vср за промежуток времени от t до t + t при t 0

Геометрический смысл производной Производная функции f(x) в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0

Правила дифференцирования C x’ = 0 (u ± v)’x = u’x ± v’x (u · v)’x = u’x v + u v’x (Cu)x’ =C ux’ ( ) U ’ = V x u’x v – u v’x 2 v где U и V - дифференцируемые функции независимой переменной х

Производная сложной функции Пусть y = f(u), где u = g(x) – дифференцируемые функции в точках х и g(x) Производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

Производная сложной функции Независимая переменная – х промежуточный аргумент – u y’x = y’u· u’x Любой аргумент, кроме х ± а, указывает на сложную функцию! y=(x 4+x+7)5 y=u 5 u= x 4+x+7 y’= (u 5)’u ·u’x = 5·u 4 ·(x 4+x+7)’x y’=((x 4+x+7)5)’ = 5(x 4+x+7)4· ·(x 4+x+7)’= 5(x 4+x+7)4 ·(4 x 3+1)

Формулы дифференцирования (С)’ = 0 (x n)’ = n x n-1 (u n)’ = n u u ’x n-1

Формулы дифференцирования (sinx)’ = cosx (sinu)’ = cosu u ’ (cosx)’ = – sinx (cosu)’= – sinu u ’ x x

Формулы дифференцирования (ax)’ = ax lna (au)x’ = au lna u x)’ (e u) (e = x e x’ = u u ’ е x ’ x

Формулы дифференцирования

Производные высших порядков Если функция f(x) дифференцируема и имеет производную f’(x), то производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка.

Производные высших порядков f’’(x) Обозначения d 2 f yx’’ d 2 y dx 2 2 dx Все обозначения равноправны

Производные высших порядков Производной n -го порядка функции f(x), если она существует, называется производная от производной (n-1) порядка.

Механический смысл второй производной Ускорение а(t) прямолинейного движения в момент t равно первой производной от скорости v по времени или второй производной от пути по времени.

Исследование функций и построение графиков

Признак монотонности функции Признак возрастания функции Если функция f(x) дифференцируема на (a, b) и f’(x) 0 на (a, b) то функция возрастает ( не убывает) на (a, b)

Признак монотонности функции Признак убывания функции Если функция f(x) дифференцируема на (a, b) и f’(x) 0 на (a, b) то функция убывает ( не возрастает) на (a, b)

Отыскание точек локального экстремума функции Точка называется точкой строгого локального максимума функции f(x) если для всех х из некоторой - окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) < f(x 0) при х x 0

Отыскание точек локального экстремума функции Точка называется точкой строгого локального минимума функции f(x) если для всех х из некоторой - окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) > f(x 0) при х x 0

Необходимое условие локального экстремума функции Если функции f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f’(x) =0 Точки, в которых производная равна нулю называются точками возможного экстремума (критическими точками 1 -го рода).

Достаточное условие локального экстремума функции Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой - окрестности точки х0. Тогда если f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак с «+» на «–» , то х0 — точка локального максимума.

Достаточное условие локального экстремума функции Если f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак с «–» на «+» , то х0 — точка локального минимума. Если знак f’(x) при переходе через точку х0 не изменяется, то в точке х0 экстремума не существует.

Направление выпуклости графика функции График функции f(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если в пределах этого интервала график лежит не ниже (не выше ) любой касательной к графику функции на (a, b)

Направление выпуклости графика функции выпуклая вниз a b выпуклая вверх a b

Направление выпуклости графика функции Если функция f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и f’’(x) 0 во всех точках (a, b), то график функции имеет выпуклость, направленную вверх. Если f’’(x) 0 то график функции имеет выпуклость, направленную вниз.

Направление выпуклости графика функции Примечание. В точке максимума график функции имеет выпуклость, направленную вверх, следовательно в этой точке f’’(xmax) < 0. В точке минимума график функции имеет выпуклость, направленную вниз, следовательно в этой точке f’’(xmin) > 0

Точка перегиба графика функции Точка М(х0, у0) называется точкой перегиба графика функции f(x) если в точке М(х0, у0) график имеет касательную, и существует такая окрестность точки х0 в пределах которой график функции справа и слева от точки х0 имеет разные направления выпуклости.

Необходимое условие точки перегиба графика функции Пусть график функции f(x) имеет перегиб в точке М(х0, у0) и пусть функции f(x) имеет в точке х0 непрерывную вторую производную. Тогда f’’(x) в точке х0 обращается в нуль, т. е. f’’(x) = 0 Точки, где f’’(x) = 0 называются критическими точками 2 -го рода.

Достаточное условие точки перегиба графика функции Пусть функция f(x) имеет вторую производную в окрестности точки х0. Тогда если в пределах указанной окрестности f’’(x) имеет разные знаки слева и справа от точки х0 , то график функции имеет перегиб в точке х0. В противном случае перегиба нет.

Асимптоты графика функции Прямая линия называется асимптотой графика функции f(x) если расстояние от точки М, лежащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при движении точки по графику в бесконечность.

Асимптоты графика функции Существует три вида асимптот: вертикальные; горизонтальные; наклонные. y y a x x

Асимптоты графика функции Вертикальные асимптоты Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции f (x), если хотя бы одно из предельных значений или равно или

Асимптоты графика функции Горизонтальные асимптоты Прямая y = A называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x (x - ) если

Асимптоты графика функции Наклонные асимптоты Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x (x - ) если функцию f (x) можно представить в y = kx + b + (x), где (x) 0 при x (x - )

Асимптоты графика функции Нахождение наклонных асимптот Параметры прямой y = kx + b находят по формулам:

Схема исследования функций и построения графиков 1. Найти область определения функции и исследовать на точки разрыва. 2. Исследовать функцию на четность и нечетность 3. Найти точки возможного экстремума (критические точки первого рода)

Схема исследования функций и построения графиков 4. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции. 5. Найти критические точки второго рода. 6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба. 7. Найти асимптоты графика функции.

Схема исследования функций и построения графиков 8. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно). 9. Составить по результатам исследования таблицу. 10. По полученным данным построить эскиз графика.

y = - 1/3 x 3 - 1/2 x 2 + 2 x + 1/3

y=

Наибольшие и наименьшие значения В полукруг радиуса R вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры. х – высота прямоугольника R А x о В S = AB x; AB = 2√ R 2 – x 2

Наибольшие и наименьшие значения Периметр тоннеля равен L. При каком R площадь сечения тоннеля будет максимальной? R h 2 R

Наибольшие и наименьшие значения Из круглого бревна диаметром D вытесана балка прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. При каких размерах балка будет иметь наибольшую прочность, если прочность пропорциональна bh 2 ? D h b При D=20 см b = 12 cм h = 16 см

Наибольшие и наименьшие значения Картина висит так, что верхний край на а выше уровня глаз, а нижний на b. На каком расстоянии картина видна под наибольшим углом? a b х

Наибольшие и наименьшие значения - угол, под которым видна картина + - угол между линией глаза и верхней точкой картины. х – оптимальное расстояние a b х

Наибольшие и наименьшие значения

Наибольшие и наименьшие значения Два источника яркостью I 1 и I 2 находятся на расстоянии l. Найти точку между источниками, где освещенность имеет экстремальное значение и установить характер экстремума. I 1 Ix x l-x I 2

Наибольшие и наименьшие значения I 1 Ix x l-x I 2

Наибольшие и наименьшие значения На какой высоте х установить лампочку, чтобы освещение края стола шириной а было максимальным? х d a Обозначим: i – яркость лампочки I – освещенность края d – расстояние от лампочки до края - угол падения света

Дифференциал функции

Дифференциал функции Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке х0. Тогда в точке х0 существует предел , и следовательно где малая при x бесконечно

Дифференциал функции Отсюда f(x 0) = f’(x 0) x + x , где x - бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x 0) x при x Следовательно, при x справедливо соотношение: f(x 0) = f’(x 0) x

Дифференциал функции Дифференциалом функции y = f(x) в точке х0 называется главная часть приращения, линейная относительно x. Дифференциал обозначается dy или df(x 0) = f’(x 0) x

Дифференциал функции Если функция y = f(x) дифференцируема в каждой точке данного интервала, то записывают df(x) = f’(x) x Пример y = x 3 + sinx dy = (x 3 + sinx)’· x = (3 x 2 + cosx)· x

Дифференциал независимой переменной х Пусть y = x т. е. f(x) = х. Тогда df(x) = f’(x) x = x’ x = x; dx = x и dy = f’(x)dx Дифференциал функции у = f(x) равен произведению производной функции на дифференциал ее аргумента

Дифференциал сложной функции Пусть y = f(u) где u = g(x) Тогда dy = yx’dx = yu’ux’dx но ux’dx = du и dy = yu’du Форма дифференциала не зависит от того, является аргумент данной функции независимой переменной или функцией другого аргумента.

Геометрический смысл дифференциала у T M 0 хо Δу dy х х

Геометрический смысл дифференциала Дифференциал функции y = f(x) в точке х0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке (хо; уо), соответствующему приращению ее абсциссы хо на величину x

Неопределенный интеграл

Первообразная функция Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если для любого х X выполняется равенство F’(x) = f(x) Пример. F(x) = sin(x) является первообразной для f(x) = cos(x) на х = ( ), т. к. (sin(x))’ = cos(x)

Первообразная функция Если F(x) есть первообразная для f(x), то и функция F(x) + С где С - постоянная , также будет первообразной для f(x) : (F(x)+ С)’ = f(x) Пример. F(x) = sin(x)+ 7 является первообразной для f(x) = cos(x) на х = ( ), т. к. (sin(x)+7)’ = cos(x)

Неопределенный интеграл Если F(x) есть первообразная для f(x), то множество функций F(x) + С где С - произвольная постоянная , называется неопределенным интегралом

Неопределенный интеграл Термины f(x) - подынтегральная функция f(x)dx - подынтегральное выражение х - переменная интегрирования Подынтегральное выражение всегда имеет вид дифференциала

Неопределенный интеграл График первообразной y = F(x) называется интегральной кривой Неопределенный интеграл есть семейство интегральных кривых y получаемых C 1 параллельным C 2 x переносом C 3 C 4 вдоль оси 0 у C 5 y = F(x) + C

Неопределенный интеграл всегда является функцией ( в отличие от определенного, который всегда число). Интегрирование - операция, обратная дифференцированию. (x 5)’ = 5 x 4

Свойства неопределенного интеграла 1. ( f(x)dx)’ = f(x) 2. d f(x)dx = f(x)dx 3. k·f(x)dx =k· f(x)dx 4. (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx 5. 0·dx = C 6. 1·dx = x + C

Формулы интегрирования

Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента функции Если f(x)dx = F(x) + C то и f(t )dt = F(t ) + C где t может обозначать новую переменную, в том числе любую дифференцируемую функцию, например t = (x)

Простейшие преобразования дифференциалов при интегрировании Если y = (x ) , то dy = ’(x )dx или d( (x)) = ’(x)dx Следовательно d(x+b) = dx d(ax) = a·dx d(ax+b) = a·dx d(x 2) = 2 x dx d(sinx) = cosx dx d(cosx) = - sinx dx

Методы интегрирования Непосредственное интегрирование Интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции , применения свойств неопределенного интеграла, либо преобразования дифференциала приводится к одному или нескольким табличным интегралам

Методы интегрирования Замена переменной (подстановка) Введении новой переменной интегрирования позволяет в ряде случаев свести интеграл к новому, который сравнительно легко берется непосредственно

Методы интегрирования Замена переменной Либо представив f (x) как f ( (x))

Определенный интеграл и его приложения

Определенный интеграл Криволинейная трапеция y y = f(x) х=а х=b x Фигура, ограниченная линиями х=а х=b y=0 y = f(x) называется криволинейной трапецией

Определенный интеграл Интегральная сумма y f ( i ) a хi-1 i xi b х n разбиений; хi = хi - хi-1 Sn = f( 1) х1 + f( 2) х2 +. . . + f( i) хi + … + f( n) хn

Определенный интеграл Иначе Если функция f (x) непрерывна, n , причем max (x i - x i-1) 0, то

Определенный интеграл Основные свойства

Определенный интеграл Формула Ньютона-Лейбница Устанавливает связь между интегральной суммой S для f(x) на интервале [a; b] и первообразной F (x) для подынтегральной f (x)

Определенный интеграл Непосредственное вычисление

Определенный интеграл Особенности метода подстановки При подстановке t = (x) и dt = ’(x)dx, подынтегральное выражение имеет вид Ф(t)dt. Пределы интегрирования, заданные для x = a и x = b должны быть соответственно пересчитаны для t : = (x) при x=a и = (x) при x=b

Определенный интеграл Вычисление методом подстановки

Определенный интеграл Вычисление площадей плоских фигур y y = f (x) 0 x a b

Определенный интеграл Вычисление площадей плоских фигур y y = f (x) + 0 a c _ b x

Определенный интеграл Вычисление площадей плоских y фигур y 1 = f 1(x) y 2 = f 2(x) 0 a b x

Определенный интеграл Сечение траншеи имеет форму сегмента параболы. Ширина траншеи на поверхности равна L см, наибольшая глубина равна H см. Найти площадь сечения траншеи. y y = ax 2 М(L/2; H) H 0 L x

Определенный интеграл Вычисление объема тела вращения y yi y = f(x) Si x xi a Si = yi 2 b

Определенный интеграл Вычисление объема тела вращения y y=d x = (y) y=c x

Элементы комбинаторики

Задача комбинаторики Пусть задано конечное множество объектов (элементов) любой природы. Из этих объектов можно составлять определенные комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. Комбинаторика изучает количество таких комбинаций.

Факториал Для любого натурального числа n произведение 1· 2 · 3 ·. . . ·(n-1)·n обозначается n! (эн факториал). 0! = 1; 1! = 1; 2! = 1· 2; n! = 1· 2 · 3 ·. . . ·(n-1)·n ; (n+1)! = 1· 2 · 3 ·. . . ·n ·(n+1) Операции с факториалом:

Правило умножения Если объект А 1 может быть выбран к 1 способами, затем для объекта А 1 объект А 2 может быть выбран к 2 способами, и т. д. , то соединение, составленное из объектов «А 1, А 2, А 3 … Аm» , может быть выбрано к 1·к 2 · к 3 ·. . . ·кm способами

Правило умножения Пример: сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? Решение 1 -я цифра 6 возможностей 2 -я цифра 7 возможностей 3 -я цифра 4 возможностей Число возможностей: 4 · 7 · 6 = 168

Правило умножения В зависимости от того, имеет ли значение порядок элементов в соединении, входят ли в соединение все элементы или их часть, различают три вида: – размещения – перестановки – сочетания (комбинации; выборки)

Размещения Соединения, содержащие m элементов из n (m < n) и отличающиеся составом элементов или порядком их следования. (число размещений из n по m)

Размещения Пример: сколькими способами можно выбрать в группе из 30 студентов старосту и заместителя ? Пример: сколькими существует семизначных телефонных номеров, в которых ни одна цифра не повторяется? А 710 = 604800

Перестановки Соединения, содержащие n элементов, отличающиеся только порядком их следования. Перестановки можно рассматривать как частный случай размещений

Перестановки Пример: сколькими способами можно построить в одну шеренгу группу из 30 студентов ? Р 30= 265252859812191058636308480000000 (33 -х значное число) Пример: сколькими способами можно расставить 7 различных книг на полке ? Р 7 = 1· 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040

Сочетания Соединения, содержащие m элементов из n (m < n), и отличающиеся хотя бы одним элементом (порядок следования не учитывается). (число сочетаний из n по m)

Сочетания Пример: сколькими способами можно выбрать из 30 студентов двоих на уборку помещения ?

Свойства сочетания

Правило Паскаля n m

Бином Ньютона Формула Паскаля позволяет находить коэффициенты Tm+1 разложения бинома Ньютона (х + а)n

Элементы теории вероятностей

Виды случайных событий Событием называется факт, который в результате испытания (опыта) может произойти, либо не произойти. Примеры: Стрельба по мишени: Выстрел - испытание Попадание (промах) - событие Игральные карты Раздача - испытание Карта определенной масти - событие

Виды случайных событий Различают события: Достоверные (произойдет безусловно) Невозможные (заведомо не произойдет) Случайные (может произойти, либо не произойти) События обозначаются заглавными буквами А, В, С. . .

Виды случайных событий Несовместные события Появление одного события исключает появление другого. Пример: Стрельба : одновременно попасть и промахнуться невозможно. Попарно несовместные события Любые два события несовместны Пример: Два выстрела по мишени: событие А 1 - два попадания; А 2 - только одно; А 3 - ни одного.

Виды случайных событий Полная система событий События А 1, А 2 …Аn образуют полную систему, если в результате испытаний произойдет хотя бы одно из них. Пример: В билете два вопроса: А 1 - знает оба вопроса; А 2 - знает первый, не знает второго; А 3 - знает второй, не знает первого; А 4 - знает только один вопрос; А 5 - знает первый, не знает второго; Несовместные: А 1 и А 2 ; А 1 и А 3 и др. Совместные: А 2 и А 4; А 3 и А 4

Операции над событиями Произведение (пересечение, совмещение) событий А и В есть событие С = АВ, состоящее в одновременном наступлении событий А и В С = А В пики дама пик (аналогично функции И() в Excel)

Операции над событиями Сумма (объединение) событий А и В есть событие С = А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В С = А В пики дама Либо пики, либо дама (аналогично функции ИЛИ() в Excel)

Вероятность события Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих событию исходов опыта к общему числу n всех несовместных единственно возможных и равновозможных элементарных исходов. 0 P(A) 1