Самарский государственный аэрокосмический университет ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ О. Л.

Самарский государственный аэрокосмический университет ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ О. Л. Старинова Кафедра Космического машиностроения 2015 г.

Структура курса Курс вариационные методы 10 лекций 8 лабораторных работ Зачет Самостоятельная работа 20 час

Рейтинг Курс вариационные методы Зачет ставится при условии: Количество набранных баллов ≥ 60

Задача Дидоны

Задача о брахистохроне Была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли и решена 26 января 1697 года Исааком Ньютоном.

Задача о цепной линии Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия.

Изопериметрические задачи Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности которая проходя через две окружности, имеет минимальную площадь. Такая поверхность излучает наименьшее количество тепла.

Основной принцип геометрической оптики Пьер Ферма сформулировал основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время.

Принцип наименьшего действия Основной принцип современной физики, химии, социологии, и многих других наук. Впервые был сформулирован Пьером Луи де Монпертюи для оптики и механики. В дальнейшем его идею развили Гамильтон, Эйлер и Лагранж.

Применение вариационного исчисления • Задачи сопротивления материалов и прочности • Задачи теоретической механики • Задачи теории оптимального управления Карл Густав Якоби Карл Те одор Вильге льм Ве йерштрасс Софья Васильевна Ковалевская

Функциональные пространства Функциональное пространство совокупность функций, обладающих тем или иным набором свойств, с определенным для них тем или иным способом понятием расстояния. Элементами (точками) функционального пространства являются функции. Расстояние между функциями (точками) может определяется по разному, на основании введенного в данном пространстве понятия нормы. Различают пространства: • Непрерывных функций; • Функций, имеющих одну непрерывную производную; • Функций, имеющих n непрерывных производных; • Интегрируемых функций, и т. д.

Функциональное пространство непрерывных функций Обозначается Элементами являются непрерывные на отрезке функции. Норма в этом пространстве (норма Чебышёва) определяется формулой: В соответствии с этой нормой расстояние между функциями вычисляется:

Функциональные пространства непрерывно дифференцируемых функций Обозначается , где n – порядок существующей непрерывной производной. Элементами являются функции, имеющие непрерывные производные до n-го порядка включительно на заданном отрезке. Норма в этом пространстве определяется формулой: В соответствии с этой нормой расстояние между функциями вычисляется:

Пример 1. Вычисление расстояний между функциями в функциональных пространствах Расстояние между функциями , пространстве непрерывных функций на отрезке следующим образом: Между этими же функциями в пространстве определится следующим образом: в определится расстояние

Функционалы Функционалом называют отображение, заданное на множестве функций и имеющее числовую область значений. Примеры функционалов: 1. Длина кривой, определенной заданной функцией: 2. Площадь верхней полуплоскости, ограниченную кривой заданной длины l, проходящей через заданные точки (-a, 0), (a, 0) (простейшая задача Дидоны): при выполнении условия:

Функционалы 3. Время, за которое материальное тело проходит путь из точки A(0, 0) в точку B(a, b), под действием силы тяжести (задача о брахистохроне): 4. Полная энергия деформированной балки имеющей форму y(x) длиной l, под действием распределенной нагрузки q(x):

Функционалы Функционал называется линейным, если он обладает свойством линейности по своему аргументу: Функционал называется непрерывным, если он обладает свойством непрерывности по своему аргументу: Функционал называется интегральным, если он имеет вид:

Вариация функционала Вариацией функционала называется главная линейная часть приращения функционала при бесконечно малом изменении функции: , причем Примеры вычисления вариации функционалов: 1. Для функционала , функции одной переменной, вариация будет вычисляться:

Вариация функционала 2. Для функционала , функции одной переменной x(t), вариация будет вычисляться:

Лабораторная работа № 1 1. Построить графики функций y(x) и z(x), заданные на промежутке [a, b]. 2. Вычислить расстояние между функциями y(x) и z(x) в пространстве непрерывных функций. 3. Вычислить значение функционала J(y) на функциях y(x), z(x). 4. Выписать вариацию функционала в форме Ady. 5. Оценить, какая из функций лежит ближе к точке минимума заданного функционала. 6. Оформить отчет.