Скачать презентацию Самарский государственный аэрокосмический университет ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ О. Л. Скачать презентацию Самарский государственный аэрокосмический университет ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ О. Л.

Лекция 1.ppt

  • Количество слайдов: 20

Самарский государственный аэрокосмический университет ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ О. Л. Старинова Кафедра Космического машиностроения 2015 г. Самарский государственный аэрокосмический университет ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ О. Л. Старинова Кафедра Космического машиностроения 2015 г.

Структура курса Курс вариационные методы 10 лекций 8 лабораторных работ Зачет Самостоятельная работа 20 Структура курса Курс вариационные методы 10 лекций 8 лабораторных работ Зачет Самостоятельная работа 20 час

Рейтинг Курс вариационные методы Зачет ставится при условии: Количество набранных баллов ≥ 60 Рейтинг Курс вариационные методы Зачет ставится при условии: Количество набранных баллов ≥ 60

Задача Дидоны Задача Дидоны

Задача о брахистохроне Была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли и решена 26 января Задача о брахистохроне Была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли и решена 26 января 1697 года Исааком Ньютоном.

Задача о цепной линии Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка Задача о цепной линии Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия.

Изопериметрические задачи Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности которая Изопериметрические задачи Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности которая проходя через две окружности, имеет минимальную площадь. Такая поверхность излучает наименьшее количество тепла.

Основной принцип геометрической оптики Пьер Ферма сформулировал основной принцип геометрической оптики, в силу которого Основной принцип геометрической оптики Пьер Ферма сформулировал основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время.

Принцип наименьшего действия Основной принцип современной физики, химии, социологии, и многих других наук. Впервые Принцип наименьшего действия Основной принцип современной физики, химии, социологии, и многих других наук. Впервые был сформулирован Пьером Луи де Монпертюи для оптики и механики. В дальнейшем его идею развили Гамильтон, Эйлер и Лагранж.

Применение вариационного исчисления • Задачи сопротивления материалов и прочности • Задачи теоретической механики • Применение вариационного исчисления • Задачи сопротивления материалов и прочности • Задачи теоретической механики • Задачи теории оптимального управления Карл Густав Якоби Карл Те одор Вильге льм Ве йерштрасс Софья Васильевна Ковалевская

Функциональные пространства Функциональное пространство совокупность функций, обладающих тем или иным набором свойств, с определенным Функциональные пространства Функциональное пространство совокупность функций, обладающих тем или иным набором свойств, с определенным для них тем или иным способом понятием расстояния. Элементами (точками) функционального пространства являются функции. Расстояние между функциями (точками) может определяется по разному, на основании введенного в данном пространстве понятия нормы. Различают пространства: • Непрерывных функций; • Функций, имеющих одну непрерывную производную; • Функций, имеющих n непрерывных производных; • Интегрируемых функций, и т. д.

Функциональное пространство непрерывных функций Обозначается Элементами являются непрерывные на отрезке функции. Норма в этом Функциональное пространство непрерывных функций Обозначается Элементами являются непрерывные на отрезке функции. Норма в этом пространстве (норма Чебышёва) определяется формулой: В соответствии с этой нормой расстояние между функциями вычисляется:

Функциональные пространства непрерывно дифференцируемых функций Обозначается , где n – порядок существующей непрерывной производной. Функциональные пространства непрерывно дифференцируемых функций Обозначается , где n – порядок существующей непрерывной производной. Элементами являются функции, имеющие непрерывные производные до n-го порядка включительно на заданном отрезке. Норма в этом пространстве определяется формулой: В соответствии с этой нормой расстояние между функциями вычисляется:

Пример 1. Вычисление расстояний между функциями в функциональных пространствах Расстояние между функциями , пространстве Пример 1. Вычисление расстояний между функциями в функциональных пространствах Расстояние между функциями , пространстве непрерывных функций на отрезке следующим образом: Между этими же функциями в пространстве определится следующим образом: в определится расстояние

Функционалы Функционалом называют отображение, заданное на множестве функций и имеющее числовую область значений. Примеры Функционалы Функционалом называют отображение, заданное на множестве функций и имеющее числовую область значений. Примеры функционалов: 1. Длина кривой, определенной заданной функцией: 2. Площадь верхней полуплоскости, ограниченную кривой заданной длины l, проходящей через заданные точки (-a, 0), (a, 0) (простейшая задача Дидоны): при выполнении условия:

Функционалы 3. Время, за которое материальное тело проходит путь из точки A(0, 0) в Функционалы 3. Время, за которое материальное тело проходит путь из точки A(0, 0) в точку B(a, b), под действием силы тяжести (задача о брахистохроне): 4. Полная энергия деформированной балки имеющей форму y(x) длиной l, под действием распределенной нагрузки q(x):

Функционалы Функционал называется линейным, если он обладает свойством линейности по своему аргументу: Функционал называется Функционалы Функционал называется линейным, если он обладает свойством линейности по своему аргументу: Функционал называется непрерывным, если он обладает свойством непрерывности по своему аргументу: Функционал называется интегральным, если он имеет вид:

Вариация функционала Вариацией функционала называется главная линейная часть приращения функционала при бесконечно малом изменении Вариация функционала Вариацией функционала называется главная линейная часть приращения функционала при бесконечно малом изменении функции: , причем Примеры вычисления вариации функционалов: 1. Для функционала , функции одной переменной, вариация будет вычисляться:

Вариация функционала 2. Для функционала , функции одной переменной x(t), вариация будет вычисляться: Вариация функционала 2. Для функционала , функции одной переменной x(t), вариация будет вычисляться:

Лабораторная работа № 1 1. Построить графики функций y(x) и z(x), заданные на промежутке Лабораторная работа № 1 1. Построить графики функций y(x) и z(x), заданные на промежутке [a, b]. 2. Вычислить расстояние между функциями y(x) и z(x) в пространстве непрерывных функций. 3. Вычислить значение функционала J(y) на функциях y(x), z(x). 4. Выписать вариацию функционала в форме Ady. 5. Оценить, какая из функций лежит ближе к точке минимума заданного функционала. 6. Оформить отчет.