Сабақтың тақырыбы: Дискреттік математика негіздері

Жоспары: I. Жиындар теориясы 1) Жиындар және олармен орындалатын амалдар 2) Функциялар 3) Қатынастар II. Графтар теориясы 1) Негізгі түсініктері. 2) Графтың түрлері. 3) Ағаштар.

Жиын. Негізгі түсініктер Ø Жиын деп анықталған нысандардың бірге топтасуын айтады. Ø Жиынның элементі деп жиынның жекеше нысанын айтады. Ø Бос жиын деп, құрамында бір де бір элемент жоқ жиынды айтады. Ø Әмбебап жиын ( универсум ) U деп, қарастырылған барлық қолданылатын элементтер жиынын айтады

Жиындармен орындалатын амалдар Ø Біріктіру A B = {x |x A x B} Ø Қиылысу A B = {x |x A & x B} Ø Айырым AB = {x |x A & x B} Ø Симметриялық айырым A/B = (A B)(A B ) = {x | (x A & x B)} Ø Толықтыру = {x | x A} = UA, мұндағы U - әмбебап жиын.

Біріктіру А және В жиындарын біріктіру деп А немесе В жиындарының ең болмағанда бірінің құрамына енетін элементтерден тұратын А В жиынын айтады. Қасиеттері А 1) рефлексивтік А А = A В 2) коммутативтік А В = В А 3) ассоциативтік А (В С) = (А В) С = А В С 4) Бос жиынмен біріктіру А = А 5) Әмбебап жиынмен біріктіру А U = U

Қиылысу А және В жиындарының қиылысуы деп, А немесе В жиындарының құрамына бірдей енетін элементтерден тұратын А В жиынын айтады. Қасиеттері: А В 1) рефлексивтік А А = A В 2) коммутативтік А В = В А 3) ассоциативтік А (В С) = (А В) С = А В С 4) Бос жиынмен қиылысу А = 5) Әмбебап жиынмен қиылысу А U = А

Айырым А және В жиындарының айырымы деп, тек қана А жиынының құрамына енетін және В жиынының құрамына енбейтін элементтерден тұратын А В жиынын айтады. Қасиеттері 1) А = А А = 2) А U = U А = А В А В

Симметриялық айырым А және В жиындарының симметриялық айырымы деп тек қана А және В жиындарының бірігуінде жататын және олардың қиылысуында жатпайтын элементтерден тұратын жиынды айтады. Қасиеттері: 1) Коммутативтік А / В = В / А 2) Ассоциативтік А/(В/С) = (А/В)/С =А/В/С 3) А / = А В 4) А / U = А

Толықтыру А жиынын әмбебап U жиынмен толықтыру деп, тек қана әмбебап жиынның құрамына енетін және А жиынының құрамына енбейтін элементтерден тұратын жиынды айтады. Қасиеттері: А = U А = U A

Функциялар Функция дегеніміз – бір айнымалының өзгеруіне байланысты өзгеріп отыратын шама. (x 1, y 1) f және (x 2, y 2) f x 1 = x 2 -ден y 1 = y 2 шығады. Кез келген (x, y) f үшін y = f(x), яғни у х-ке тәуелді функция. у-тәуелді, х-тәуелсіз айнымалы Функция бір немесе бірнеше тәуелсіз айнымалылар арқылы тәуелді айнымалыны көрсететін формулалармен беріледі. f = { (x, y) X Y | y = f(x) } f – (x, y) жұбын анықтайтын f(x) – x X элементіне сәйкес сәйкестік y Y элементінің белгіленуі

Қатынас деп әр түрлі нысандар қасиетін және олардың арасындағы байланысты анықтайтын математикалық құрылымды айтады. (Х, R) жиындар жұбын қатынас деп атайды, мұндағы R Хn. Жиында берілетін n- орынды ( n -арнды ) қатынас деп, жиындардың тура көбейтіндісінің ішкі жиындары аталады

Қатынастар түрлері Бір орынды немесе унарлы қатынас деп бір айнымалымен орындалатын қатынасты айтады (терістеу амалы, санның дәрежесін табу). Екі орынды қатынастарды бинарлы деп атайды және оларды инфиксті жазбамен жазады: х. Rу. (конъюнкция, дизъюнкция) Үш орынды қатынастарды тренарлы деп атайды. “ Би ” сөзі “екі”, “ уно ” сөзі “бір” деге мағынаны береді.

Қатынастар қасиеттері § Рефлексивтік х R х - ақиқат ; § Антирефлексивтік х R х - жалған; § Симметриялық х R у у R х ; § Антисимметриялық (х R у)&(у R х) x=y ; § Сызықтық Егер (х R у) – ақиқат, онда (у R х) – жалған; § Транзитивтік (х R у)&(у R z) x R z.

Графтар Граф деп өзара байланысқан нысандар жиынтығын айтады. Нысандар-шыңдар деп аталады және нүктелер арқылы белгіленеді. Ал шыңдар арасындағы байланыс-доғалар немесе қабырғалар деп аталады Граф G = (V, Е) V және Е соңғы жиындар жұбымен беріледі. Бірінші жиын элементтері v 1, v 2, . . . , v M графтың шыңы деп аталады (графикалық көріністе оларға нүктелер сәйкес). Екінші жиын элементтері el, e 2, . . . , e N қабырғалар деп аталады. Әр қабырға шыңдар жұбымен анықталады (графикалық көріністе қабырғалар графтың екі шыңын қосады).

Сурет 1. Ø Суретте бес шыңы және жеті қабырғасы бар бағытталған граф кескінделген.

Графтың түрлері Егер графтың барлық қабырғалары бағытталмаған болса, онда ол бағытталмаған граф деп, ал егер графтың барлық қабырғалары бағытталған болса, онда ол бағытталған граф деп аталады. Егер графта бағытталған және бағытталмаған да қабырғалар болса, ол аралас граф деп аталады. Егер граф қабырғалары шыңдардың реттелген жұбымен анықталса, онда оны бағытталған қабырға немесе доға деп атайды (сызбада бағытталған қабырғаға оның бағытын анықтайтын стрелкалар қойылады).

Графтың қасиеттері § Егер екі шың екі немесе одан да көп қабырғалармен қосылса, онда мұндай қабырғалар параллельді деп аталады (мысалы, қабырғалар е 4 және е 5). § Егер қабырғаның басы мен соңы бір жерден шықса, онда мұндай қабырға ілмек (петля) деп аталады(мысалы, қабырға e 7). Ілмексіз және параллельді қабырғаларсыз графтар қарапайым деп аталады.

Ағаштар Ø Ағаш деп циклсыз бағытталмаған байланысшы графты айтады. Ø Орман – бұл циклсыз кез-келген граф. Суретте бес шыңды мүмкін ағаштар көрсетілген.