С. Г. ЛУКИНОВА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

С. Г. ЛУКИНОВА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

1. Предмет теории вероятностей Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности массовых случайных явлений. Случайным событием называется событие, которое в результате испытания может произойти или не произойти. Обозначают события буквами латинского алфавита: A, B, C, … Виды событий - события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же испытании, в противном случае события называют совместными. -событие называется противоположным для события , если появление одного из них равносильно не появлению другого. Например, Если А = { при бросании игральной кости выпадет четное число очков }, то А = { при бросании игральной кости выпадет нечетное число очков }. . - Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет, обозначают Ω. - Событие А= называется невозможным, если в результате испытания оно не может произойти.

Операции над событиями 1. Суммой нескольких событий называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий, А + В= С. 2. Разностью двух событий А и В называется событие D, которое состоит в том, что событие А произойдет, а событие В не произойдет, А В = D 3. Произведением событий называется событие Е, состоящее в совместном наступлении этих событий, А ∙В = Е.

диаграммами Виена : - Сумма событий - Разность событий - Произведение - Противоположное событие

Пример Описать следующие события А + В, D В, А ∙В, С D, если А = { при бросании игральной кости выпадет четное число очков }; В={ при бросании игральной кости выпадет 5 очков}, С={ при бросании игральной кости выпадет 6 очков}, D = { при бросании игральной кости выпадет нечетное число очков }; Решение: А + В = { 2, 4, 6, 5 }; D В= { 1, 3 }; А ∙В= ; ∙В = {5 }; С ∙D= .

Классическое определение вероятности Вероятностью события А называется число, равное отношению числа m - благоприятствующих исходов событию А, к числу n - всех возможных исходов Геометрическое определение вероятности Геометрической вероятностью события называется отношение меры области к мере всей области Если область А - отрезок в пространстве, то мера области А – длина этого отрезка, если область А – некоторая фигура на плоскости, то мера области А – площадь этой фигуры, если же область А - тело в пространстве, мера области А – объем этого тела.

Пример В квадрат со стороной, равной а, наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка попадет в круг, радиус которого равен r ( r ≤ а∕ 2) и центр находится в точке пересечения диагоналей квадрата. Решение. Площадь квадрата . Площадь круга , тогда .

Свойства вероятности 1. Для любого случайного события выполняется 2. Вероятность достоверного события равна единице 3. Вероятность невозможного события равна нулю P( )=0. 4. Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B) = P(A) + P(B). 5. Вероятность противоположного события равна P( ) = 1 - P(А), так как сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице: P(А) + P( ) = 1 или P( ) = 1 - P(А). 6. Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(A∙B) = P(A)∙ P(B).

Упражнение. Показать самостоятельно, что, если события совместные, то P(A+B) = P(A) + P(B)- P(A∙B). Пример Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка – 0, 7, для второго – 0, 8. Найти вероятности следующих событий: а) оба стрелка попадут в цель; б) оба стрелка промахнутся; в) только один стрелок попадёт в цель; г) хотя бы один попадёт.

Решение. Рассмотрим следующие события: А – «попал первый стрелок» , В - «попал второй стрелок» , – «первый не попал» , – «второй не попал» . Тогда, по условию задачи вероятности этих событий равны Используя операции над событиями, найдем искомые вероятности: а) оба стрелка попадут в цель б) оба стрелка промахнутся в) только один стрелок попадёт в цель г) хотя бы один попадёт: событие ( «оба стрелка промахнулись» ) будет противоположным для события «хотя бы один попал в цель» . Следовательно, искомая вероятность находится так:

Условная вероятность. Формула полной вероятности. Условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло называется вероятность Условная вероятность обозначается или Теорема умножения (для зависимых событий). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Пример Студент выучил 15 из 40 экзаменационных вопросов. Найти вероятность того, что в наудачу взятом билете он знает оба вопроса. Решение. Рассмотрим события А={ первый вопрос в билете студент знает }, В={второй вопрос в билете студент знает }. Тогда , Вероятность события В найдем из условия, что всех исходов осталось 39 и благоприятствующих 14. Поскольку была найдена вероятность события В, при условии, что событие А уже произошло, то эту условная вероятность, Итак, искомая вероятность, что в наудачу взятом билете он знает оба вопроса, будет равна

Формула полной вероятности События Н 1, Н 2, Н 3, …, Нn образуют полную группу событий, если выполняются следующие условия: 1) Нi ∙ Нj=Ø, события попарно несовместны; 2) , их сумма равна достоверному событию Пусть требуется найти вероятность события А, которое может произойти после того, как произойдет одно из событий Н 1, Н 2, Н 3, …, Нn , образующих полную группу событий. Искомая вероятность находится по следующей формуле, которая называется формулой полной вероятности: или где,

Пример С первого станка-автомата поступают 30% деталей, со второго – 25%, с третьего – 45%. Бракованных деталей поступает с первого станка 2%, со второго – 1%, с третьего – 3%. Какова вероятность того, что выбранная наудачу деталь бракованная? Решение. Пусть А={ выбранная наудачу деталь бракованная }. Введем события Hi= { деталь изготовлена на i-ойм станке }, i=1, 2, 3. Из условия задачи следует, что События попарно несовместны, сумма их вероятностей равна единице, следовательно, они образуют полную группу событий и можно воспользоваться формулой полной вероятности: Из условия задачи означает вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной и изготовленной на первом станке, она равна . Аналогично По формуле полной вероятности найдем требуемую вероятность события А:

Независимые испытания, формула Бернулли Схема независимых испытаний состоит в следующем: проводится n последовательных независимых экспериментов в одинаковых условиях, в каждом из которых рассматривается одно и то же событие А, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента. Вероятность p наступления события А в каждом испытании одна и та же. Вероятность противоположного события обозначим q она равна Вероятность того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях находится по формуле Бернулли: где число сочетаний из n различных элементов по k элементов вычисляется по формуле: n-факториал равен

Число наступления события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз, обозначают . Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключено между числами : Пример Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 1/3. Производится шесть выстрелов. а) Какова вероятность двух попаданий в цель? б) Каково наивероятнейшее число попаданий? Решение. Пусть А={попадание в цель при одном выстреле}. Тогда , а) Число выстрелов . Естественно предположить, что выстрелы не зависят друг от друга. Тогда, полагая , по формуле Бернулли находим вероятность двух попаданий из шести б) Наивероятнейшее число попаданий в цель или или Следовательно,

Cлучайнaя величина Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее не известно, какое именно значение она примет. Обозначают случайные величины заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z…, а возможные значения случайной величины соответствующими строчными буквами x, y, …. Случайные величины могут быть дискретными, непрерывными и смешанного типа. Дискретная случайная величина Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные изолированные значения. Множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное. Законом распределения дискретной случайной величины имеет вид: хi х1 х2 х3 … Хn pi p 1 p 2 p 3 … pn причем, Функцией распределения случайной величины Х называется функция , значение которой для любого х (-∞, ∞), равно вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:

Свойства функции распределения 1. 2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси. 3. 4. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале:

Непрерывная случайная величина Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме быть может отдельных точек. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид: где - любая непрерывная, неотрицательная функция: Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения, обозначается Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, а функция распределения непрерывной случайной величины- интегральной функцией.

Свойства функции плотности. 1. Плотность вероятности – неотрицательная функция: 2. 3. Несобственный интеграл от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице: 4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна

Пример Известна функция распределения некоторой случайной величины: Найти, , Решение Функцию плотности найдем из свойства тогда Вероятность того, что случайная величина x примет значения, принадлежащие интервалу (2, 5) найдем, используя четвертое свойство:

Числовые характеристики случайных величин. Математическим ожиданием дискретной Математическим ожиданием непрерывной : Дисперсия случайной величины: Для вычисления дисперсии случайной величины часто на практике используют формулу: или дисперсия дискретной случайной величины = Дисперсия непрерывной случайной величины Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Пример Закон распределения случайной величины Х задан таблицей хi -2 -1 0 1 2 pi 0, 1 0, 2 0, 4 0, 2 0, 1 Найти числовые характеристики случайной величины Х. Решение. Сначала найдем математическое ожидание случайной величины Математическое ожидание квадрата случайной величины: Итак, дисперсия равна Среднее квадратическое отклонение = = = 1, 1

Мода и медиана случайной величины. Модой случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение, то есть то значение, для которого вероятность pi или плотность вероятности достигает максимума. Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого Геометрически, прямая делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Пример Найти моду, медиану и математическое ожидание случайной величины Х, плотность вероятности которой задана функцией

Решение. Очевидно, что плотность вероятности максимальна при х=1, следовательно, мода Медиану найдем из условия Таким образом Найдем математическое ожидание:

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Нормальный закон распределения Нормальным распределением или распределением Гаусса, называется непрерывная случайная величина, плотность вероятности которой имеет вид:

Числовые характеристики некоторых законов распределения Числовые характеристики № Распределение График M (x) D (x) A Э 1 Биноминальное np npq (k = 0, 1, …, n) 2 Пуассоновское (k = 0, 1, …, n) 3 Нормальное (гауссовское или Лапласа) a 0 3 4 Показательное (экопоненциальное) 2 9 5 Равномерное для 0 1, 8 f (x) = 0, вне

Математическая статистика. Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений (измерений) массовых случайных явлений с целью выявления закономерностей. Выборка, дискретный и интервальный вариационные ряды. Совокупность всех возможных значений случайной величины Х называется генеральной совокупностью (или популяцией). Совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности n значений (вариант) хi называется выборкой. Число объектов в выборке называют объемом выборки. Метод, основанный на том, что по данным выборки, выделенной из генеральной совокупности, делается заключение обо всей генеральной совокупности, называется выборочным методом. Выборка называется репрезентативной, если ее значения отобраны случайно, то есть все объекты генеральной совокупности имеют равную вероятность попасть в выборку.

Вариационным рядом называется таблица, состоящая из расположенных в порядке возрастания вариант хi , соответствующих им частот ni и (или) относительных частот wi. Число ni, показывающее, сколько раз встречается варианта хi , называется частотой. Относительной частотой (частостью) варианты хi называется число где, n – объем выборки. Накопленной частотой nх называется число, показывающее, сколько раз случайная величина Х приняла значение, меньшее заданного значения хi. Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений называют накопленной частостью и обозначают Если значения варианты хi , которые может принимать случайная величина Х, могут отличаться одно от другого на сколь угодно малую величину, либо число вариант хi слишком велико, то данные группируют в интервалы. Таблицу распределения частот (или частостей) по интервалам называют интервальным вариационным рядом.

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Выборочные числовые характеристики Числовые характеристики случайной величины, вычисленные по выборке, называют выборочными или эмпирическими. Рассмотрим выборочный вариационный ряд. х1 х2 х3 … Хi n 1 n 2 n 3 … ni Выборочной средней называется средняя арифметическая по данным наблюдений, обозначают или Где Хi – варианты, ni – соответствующие частоты, n – объем выборки, относительная частота.

Выборочной дисперсией DВ называют среднее арифметическое значение квадратов отклонений от выборочной средней Для сгруппированных выборочных данных получим формулу DB = Применяют также другую формулу для вычисления дисперсии: DB = Выборочным средним квадратическим отклонением SB называется арифметическое значение квадратного корня из выборочной дисперсии. =

Коэффициент вариации безразмерная характеристика изменчивости, равная процентному отношению среднего квадратического отклонения к выборочной средней (при ) = 100% Если коэффициент вариации высок (например, более 100%), то это свидетельствует о неоднородности значений признака. Медианой называется середина вариационного ряда: 1. Если - четное число дискретных наблюдений, то 2. Если - нечетное число дискретных наблюдений, то Модой называется такое значение хi, которое наблюдается наибольшее число раз. Мода – это значение хi, повторяющееся с наибольшей частотой, поэтому моду используют в случаях, когда нужно ответить на вопрос какой товар имеет наибольший спрос, каковы преобладающие в данный момент уровни производительности труда, себестоимости и т. д.

Пример Найти точечные оценки по заданной выборке х1 2 6 7 8 n 1 2 4 2 1 n=10 Решение DB = = = или

Спасибо за внимание