S E 1 D 1 F 1 C 1 B 1 А 1 E D D С F С А В призма А В пирамида
S Если ABCDE — правильный пятиугольник, то SABCDE — правильная пирамида SO — высота SO ⏊ (ABCDE) В С А O F D
P PA 1 A 2…An — правильная пирамида А 1 Р — боковое ребро ΔА 1 РО — прямоуг. треугольник: А 1 Р — гипотенуза А 1 О = R — катет РН = h — катет ⇒ A 1 P = A 2 P = A 3 P = … = An. P Все боковые рёбра правильной пирамиды равны A 1 A 2… An — правильный многоугольник ⇒ ⇒ A 1 A 2 = А 2 А 3 = … = Аn-1 An ⇒ ΔPA 1 A 2 = ΔPА 2 А 3 = … = ΔPАn-1 An An h О R A 1 A 2 Боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками
Все апофемы правильной пирамиды равны, а так же все двугранные углы при основании равны S Доказательство: SABCDE — пирамида SAB, SBC, SCD, SDE, SAE — бок. грани SAB, SBC, SCD, SDE, SAE — равноб. треугольники ΔSAB = ΔSBC = ΔSCD = ΔSDE = ΔSAE ⇒ ⇒ высоты (апофемы пирамиды) равны ΔSОМ и ΔSОF — прямоугольные (SO — высота пирамиды) ΔSОМ = ΔSОF (SO — общая, SM = SF — апофемы пирамиды) ⇒ SMO = SFO SAEO = SCDO — двугранные углы (SMO, SFO — линейные углы) В А M O С F E D
АВ = ВС = CD = DE = EA — основания F = F 1 = … = Fn = d — апофемы S В А С O F F Fn D
S Задача 1 Дано: SABCD — правильная пирамида SA^(ABC) = 60° SA = 12 см B Найти: Sповерх. Решение: P — периметр основания SH — апофема, AD — ребро основания 2) ∆ASO: SO ⏊ (ABC) ⇒ ∠SAO = 60° ∠ASO = 90°– SAO = 90° – 60° = 30° ⇒ O 60° A H D 4) SH ⏊ AD ⇒ ∆ABO — прямоуг. 3) BD ⏊ AC, BO = AO = 6 см ⇒ ∆ABO — равноб. C
Задача 2 D Дано: DABC — правильная пирамида h — высота (ABC)^(DBC) = 45° h Найти: Sполн. Решение: A 1) DABC — правильная пирамида ⇒ ⇒ О — центр равностороннего ΔАВС. 2) ОЕ ⏊ ВС, DE ⏊ BC ⇒ ∠DEO = 45° 3) Δ DOE — прямоуг. (∠DOE = 90°) равноб. DO = OE = h 45° O E B 4) DО = ОЕ = r = h AB = x ⇒ C