РЯДЫ Работу выполнила: Ковалева Надежда ПИЭ-12
Понятие ряда Пусть задана бесконечная последовательность чисел Числовым рядом называется выражение вида Сокращенно ряд обозначают следующим образом. При этом числа называются числами ряда.
Сходящийся ряд: Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частных сумм В этом случае указанный предел называется суммой ряда.
Расходящийся ряд: Если не существует или равен бесконечности, то числовой ряд называется расходящимся и суммы не имеет.
Геометрический ряд: Геометрический ряд имеет вид: - если |q|≥ 1 ∑ расходится ( , …); - если |q|≤ 1 ∑ сходится ( , …);
Ряд Дирихле имеет вид: -если p>1 ∑ сходится ( ); -если 0<p<1 ∑ расходится ( , p>0 ); Частным случаем ряда Дирихле (р=1) является гармонический ряд
Признаки сходимости рядов Первый признак сравнения: - сходится; Из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего. -расходится; Из расходимости меньшего ряда следует расходимость меньшего.
Признаки сходимости рядов Второй признак сравнения: Если существует = с≠ 0 то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Признак Коши -ряд с положительными числами, и ᴲ -если q<1 ∑ сходится; -если q>1 ∑ расходится; - если q=1 данный признак не применим (может сходится или расходится). Пример:
Признак Даламбера - ряд с положительными членами, иᴲ ; - если q<1 ∑сходится; - если q<1 ∑расходится; - если q=1 признак не применим;
Признак Даламбера Рассмотрим примеры: 1) 2)
Знакочередующиеся ряды Знакочередующийся ряд- это ряд, в котором любые 2 соседних члена имеют разные знаки. Знакочередующийся ряд имеет вид:
Знакопеременный ряд Ряд, содержащий и положительные отрицательные члены, называется знакопеременным. Рассмотрим примеры: Пусть дан знакопеременный ряд Если ряд -сходится, то -сходится абсолютно. Если - расходится не обладает абсолютной сходимостью. Ряд называется условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Пусть задан знакочередующийся ряд. Если выполнены 2 условия: 1) - абсолютные величины членов ряда монотонно убывают. 2) то ряд сходится.
Примеры Рассмотрим примеры: Исследовать по признаку Коши: сходится исходный ряд сходится абсолютно.
Примеры Применим признак Лейбница: , при n от 1 до ∞ 1) 2) ∑ сходится наш ряд сходится условно
Интегральный признак сходимости Коши -ряд с положительными членами, для которого существует положительная , непрерывная, монотонно убывающая на [1; -∞) ф-ия f(x), такая, что f(n)= , n=1, 2, … Когда и несобственный сходятся или расходятся одновременно.
Степенные ряды Выражение вида: , где - постоянные числа (действительные или комплексные), а xпеременная величина ( так же действительная или комплексная), называется степенным рядом. Числа называются коэффициентами степенного ряда. Сокращенно степенной ряд обозначают так:
Степенные ряды Придавая переменной n конкретное числовое значение , получаем числовой ряд, который сходится или расходится. Множество всех значений переменной, при которой ряд сходится называется областью сходимости этого ряда. Интервал сходимости:
Скачать презентацию РЯДЫ Работу выполнила Ковалева Надежда ПИЭ-12 Понятие
Ковалева ПИЭ-12, Ряды.pptx