Ряды Фурье Рассмотрим последовательность непрерывных функций 1 x 2 x

Ряды Фурье Рассмотрим последовательность непрерывных функций 1(x), 2(x), 3(x), …, n (x), …, (1) заданных на отрезке [a, b], среди которых нет функций тождественно равных нулю. Определение. Последовательность функций (1) называется ортогональной на отрезке [a, b], если m n. Основная тригонометрическая система функций на [– l, l]: (2) 1 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

Ряды Фурье Определение. Пусть система функций 1(x), 2(x), 3(x), …, n (x), …, ортогональна на отрезке [a, b]. Рассмотрим ряд вида (3) где a 1, a 2, …, an, … – числа, называемые коэффициентами ряда (3). Пусть ряд (3) сходится равномерно и f(x) – его сумма. Выражение (3) называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций n (x). Определение. Если { n (x)} – тригонометрическая система функций (2), то ряд (3) называется тригонометрическим рядом Фурье: (4) 2 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

Тригонометрический ряд Фурье Теорема. Если функция f(x) – определена и непрерывна на отрезке [– l, l] и разлагается в тригонометрический ряд рый вать, единственное и (5) . 3 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

Тригонометрический ряд Фурье Теорема (Дирихле). Пусть на отрезке [– l, l] функция f(x) удовлетворяет условиям: 1) f(x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода; 2) f(x) монотонна или имеет конечное число точек экстремума. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходимость во всех точках отрезка [– l, l] и его суммой будет функция S(x), определенная на этом отрезке следующим образом: а) S(x) = f(x), если x [– l, l] и x – точка непрерывности функции f(x); б) S(x) = (f(x – 0) + f(x + 0))/2 , если x [– l, l] и x – точка разрыва функции f(x); в) S(– l) = S( l) = (f(– l + 0) + f(l – 0))/2. Причем на любом отрезке [a, b] [– l, l], не содержащем точек разрыва функции f(x), сходимость тригонометрического ряда Фурье будет равномерной. 4 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

Тригонометрический ряд Фурье Замечание. 1. Условия 1) и 2) называются условиями Дирихле. 2. Если представить функцию f(x) периодически продолженной на всю ось с периодом 2 , то утверждение теоремы Дирихле будет справедливо для всех x. Если f(x) – нечетная функция, то (6) Если f(x) – четная функция, то (7) 5 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

Тригонометрический ряд Фурье Если функция f(x) задана на отрезке [0, l] и удовлетворяет условиям Дирихле, то ее можно разложить в ряд Фурье: v по косинусам продолжив функцию f(x) на отрезке [– l, 0] четным образом, полагая f(–x) = f(x) и коэффициенты вычисляются по формулам (7). v 6 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

Тригонометрический ряд Фурье Если функция f(x) – периодическая с периодом Т = 2 l, то для коэффициентов ряда Фурье функции f(x) на отрезке [a, a+2 l] справедливы формулы: . 7 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

Спасибо за внимание Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10 8