РЯДЫ ФУРЬЕ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ Понятие базиса

РЯДЫ ФУРЬЕ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ Понятие базиса для множества функций Пусть на отрезке (a, b) задана последовательность функций (1) отличных от тождественного нуля, и некоторое множество M функций, также определенных на отрезке (a, b). Будем говорить, что последовательность (1) образует базис на множестве M, если любая функция может быть представлена в виде (2)

где cn – некоторые константы относительно x. Пример 1: В рядах Тейлора функции образуют базис для некоторого подкласса бесконечно дифференцируемых функций на интервале ( – R, R), причем в этом случае Если имеет место (2), то говорят, что функция разложена по базису (1). Числа cn можно назвать координатами функции f(x) относительно базиса При этом имеется почти полная аналогия с линейной алгеброй.

Функция f(x) называется кусочно – непрерывной на интервале [a, b], если она непрерывна на этом отрезке за исключением конечного числа точек разрыва непрерывности первого рода. Такие функции будем относит к классу С'. Скалярное произведение функций. Норма функций. Ортогональность Пусть – любые две функции класса С'. Определение 1. Скалярным произведением функций из множества С' на интервале [a, b] назовется число, обозначаемое и определяемое равенством

(3) Скалярное произведение, введенное равенством (3), обладает следующими свойствами: • а) • б) • в) Определение 2. Две функции из множества С' называются ортогональными на интервале [a, b], если их скалярное произведение равно нулю, т. е.

Ортогональность функций зависит от интервала [a, b], то есть функции, ортогональные на одном интервале, могут быть не ортогональными на другом. Определение 3. Нормой функции f(x) (обозначается | f(x)|) называется число Определение 4. Система функций называется ортогональной на интервале [a, b], если при i ≠ j, т. е/ если они попарно ортогональны

• Пример 2. Доказать, что система функций ортогональна на отрезке (0, 1). Найти норму этих функций. При m ≠ n т. е. данная система ортогональна.

Для определения нормы нужно вычислить интеграл т. е. на интервале (0, 1) Базис называется ортогональным, если он состоит из ортогональной системы функций, имеющих норму, отличную от нуля. Базис называется ортонормиированным, если он ортогональный, а нормы всех входящих в него функций равны единице.

Основная тригонометрическая система функций Система функций (4) называется основной тригонометрической системой. Все функции системы (4) – периодические с общим периодом T. Легко получить следующие соотношения

Следовательно, основная тригонометрическая система функций ортогональна на периоде T. Широко применяются и другие системы ортогональных функций: полиномы Лежандра, Чебышева, функции Бесселя, Уолша, Радемахера и т. д.

РЯДЫ ФУРЬЕ Понятие гармонического анализа и синтеза Простейшей из периодических функций является синусоидальная функция где ω – угловая частота, связанная с периодом T соотношением а – фаза. Эта функция называется гармоникой с амплитудой A, угловой частотой ω и фазой . Пусть заданы функции: – первая гармоника, – вторая гармоника, – третья гармоника. Сумма первых трёх гармоник даст новую функцию

f(t) f 1(t) f 2(t) f 3(t) t Если число гармоник устремить к бесконечности, то выражение для f(t) будет имеет вид бесконечного ряда:

(5) где частоты соседних гармоник будут отличаться на частоту первой гармоники ω. Учитывая, что ряд (5) можно записать в виде: (6) Общий член ряда (6) называется k-той гармоникой, ее частота кратна частоте первой гармоники. Пусть в функции f(t) присутствует постоянная составляющая – “нулевая” гармоника, тогда

(7) Учитывая, что и вводя обозначения ряд (7) примет вид (8)

• Суммирование конечного или бесконечного ряда гармоник с целью получения новой периодической функции называется гармоническим синтезом, обратная задача, то есть разложение периодической функции на гармонические составляющие (гармоники), называется гармоническим анализом.

Понятие тригонометрического ряда Фурье Пусть функция f(t) имеет период и принадлежит к классу функций, для которых разложение (8) существует. Определим неизвестные коэффициенты разложения (8). Для этого воспользуемся свойством ортогональности тригонометрических функций. Полагая что ряд (8) является равномерно сходящимся, проинтегрируем этот ряд почленно от до т. е.

Заменим интеграл от бесконечной суммы суммой интегралов от отдельных слагаемых (это возможно благодаря равномерной сходимости интегрируемого ряда), тогда Т. к. интегралы, расположенные в скобках, равны нулю, то (9)

Умножив обе части ряда (8) на , где n целое положительное число, и аналогично проинтегрируем. Тогда Первый интеграл, а также все интегралы, стоящие под знаком суммы, кроме второго при k = n, равны нулю вследствие свойства ортогональности тригонометрических функций. Оставшийся в правой части интеграл

тогда (10) Аналогично, умножая ряд (8) на интегрируя, получим и

(11) Формулы (8) – (11) позволяют для заданной функции f(t) с произвольным периодом T найти коэффициенты разложения этой функции в тригонометрический ряд (8) вида который называется тригонометрическим рядом Фурье. Коэффициенты a 0, ak, bk называют коэффициентами Фурье.

Амплитуда постоянной составляющей (нулевой гармоники) может быть рассчитана по формуле: (12) Амплитуды и фазы k-тых гармоник (k = 1, 2, 3, …) определяются по соотношениям (13) (14)

В формулах (9) – (11) интегрирование производилось на интервале (– T/2, T/2). Результат интегрирования не изменится, если производить интегрирование на любом другом интервале длительностью T , например, на интервале (0, T). Это имеет смысл, если функция f(t) является оригиналом и равна нулю при t < 0. Тогда: (15) (16) (17)

Ряд Фурье для четных и нечетных функций f 1(t) 0 T t f 2(t) Пусть на интервале (0, T) заданы две функции: чётная f 1(t) и нечётная f 2(t). Для чётной функции f 1(t) на интервале (0, T/2) и разложение будет иметь вид: (18)

где коэффициенты Фурье (19) (20) Для нечётной функции f 2(t) коэффициенты и разложение получится в виде: (21) где (22)

Таким образом, если функция f(t) – четная, то она оказывается разложенной по косинусам. Для нечетной функции f(t) имеет место разложение по синусам. Оба ряда (18) и (21) на заданном интервале имеют своей суммой заданную функцию f(t), однако вне этого интервала суммы этих рядов различны.

Погрешность разложения в ряд Фурье. Сходимость тригонометрического ряда Фурье При разложении периодических функций на сумму гармоник на практике обычно ограничиваются конечным числом гармоник, а остальные отбрасываются. В этом случае представление функции гармоническим рядом зависит от числа отброшенных членов ряда. Приближенно представляя функцию f(t) с помощью тригонометрического многочлена вида можно получить большую или меньшую ошибку в зависимости от вида коэффициентов многочлена.

Оценить величину ошибки наиболее удобно с помощью средней квадратической погрешности δn, определяемой для периодической функции с периодом равенством: (23) • Теорема 1. Средняя квадратическая погрешность приближенного представления функции f(t) с помощью тригонометрического многочлена порядка n будет наименьшей, если коэффициенты этого многочлена являются коэффициентами Фурье для функции f(t).

Из данной теоремы можно получить соотношение, называемое неравенством Бесселя: (24) Было установлено, что для всякой функции с интегрируемым квадратом средняя квадратическая погрешность равна нулю при Неравенство (24) дает соотношение, называемое равенством Парсеваля:

• Теорема 2. Коэффициенты Фурье для любой непрерывной или кусочно - непрерывной на интервале функции f(t) стремятся к нулю при , то есть: Ряд Фурье будет сходиться и его сумма будет равна функции f(t) только в том случае когда на эту функцию будут наложены определенные ограничения. Функция f(t) называется кусочно - монотонной на интервале (a, b), если этот интервал можно разбить на конечное число интервалов, внутри каждого из которых функция монотонна.

• Теорема 3 (условия Дирихле). Тригонометрический ряд Фурье для всякой ограниченной кусочно - непрерывной функции f(t) на интервале сходится в каждой точке этого отрезка, причем сумма ряда (25) В точках непрерывности функции f(t) сумма ряда S(t) совпадает с f(t).

Функцию f(t) называют кусочно - дифференцируемой на интервале , если этот интервал можно разбить на конечное число интервалов, на которых функция дифференцируема, а на концах и имеет конечные односторонние производные. Если при этом производная кусочно - непрерывна, то функцию называют кусочно - гладкой на интервале. Теорема 4. Тригонометрический ряд Фурье кусочно - гладкой на интервале функции f(t) сходится в каждой тоске этого интервала. Его сумма определяется соотношением (25).

• Теорема 5. Если непрерывная и кусочно - гладкая на интервале функция f(t) имеет равные на концах интервала значения, то есть S(t) = f(t), то ее тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно на этом отрезке, причем к каждой точке этого интервала. Скорость сходимости тригонометрического ряда зависит от степени гладкости функции.

Комплексная форма ряда Фурье Для тригонометрического ряда Фурье (26) тригонометрические функции представим в виде Тогда общий член ряда Фурье Введём обозначения:

тогда Обозначив через получим для функции f(t), заданной на интервале , ряд Фурье в комплексной форме: (27) В выражении (27) величина представляет собой частоту первой гармоники разложения функции f(t) в ряд Фурье. Величины ck являются комплексными коэффициентами разложения функции f(t) в ряде (27).

Функция называется комплексной гармоникой. Если ряд (26) сходится к функции f(t), то к этой же функции сходится и ряд (27). Получим формулу для определения неизвестных коэффициентов разложения ряда Фурье в комплексной форме. Т. к.

то (28) Если обозначить частоту k-той гармоники через то коэффициенты ряда Фурье можно считать функцией частоты, т. е. • Спектральной функцией или спектральной плотностью функции f(t) называется отношение коэффициента к приращению частоты т. е. :

(29) Понятие о спектрах Совокупность коэффициентов ak, bk разложения периодической функции f(t) в ряд Фурье называется частотным спектром этой функции. Если период функции f(t) равен T, то ak = a(kω), bk = b(kω). Здесь частота первой гармоники Следовательно, спектры являются функциями, зависящими от номера гармоники k как независимой переменной. Т. к. k = 1, 2, 3, очевидно, что спектры имеют дискретный характер.

Расстояние между отдельными линиями частотного спектра в общем случае равно Спектральная функция представляет собой комплексную величину и характеризуется амплитудой и фазой. Совокупность комплексных чисел для функции f(t) с периодом T называется комплексным амплитудным частотным спектром. Совокупности величин (30) (31) называются амплитудным и фазовым спектрами

Для четной функции f(t) коэффициент bk =0, а для нечетной функции ak =0. Следовательно, амплитудный и фазовый частотные спектры четной периодической функции для нечетной функции • Пример 1. Построить амплитудный спектр для функции периода T = 0, 02 с вида

Здесь – частота, t 1 – момент коммутации (варьируемая величина). f(t) 1 0. 5 0 t 1 0. 005 t 2=T/2 + t 1 0. 01 t 0. 5 1 Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье:

Амплитудные спектры: 0. 6 Ak 0. 4 0. 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 k

Ak 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 1 3 5 7 9 11 13 15 k

График зависимости амплитуды первых пяти гармоник от момента времени t 1 A 1 ( t 1) 0. 8 A 3 ( t 1) T 20 0. 6 A 5 ( t 1) T 8 A 7 ( t 1) 0. 4 A 9 ( t 1) 0. 2 0 t 1