Ряды динамики Учебные вопросы 1 Цели этапы

Ряды динамики

Учебные вопросы 1. Цели, этапы и методы анализа временных рядов. 2. Детерминированный и случайный компоненты ряда. 3. Тренд. Сезонный и циклический компоненты. 4. Обработка динамических рядов. 5. Методы выравнивания динамических рядов.

Группировка первичного материала и вычисление обобщающих показателей позволяют на этапе статистического исследования решать задачи анализа развития изучаемых явлений, во-первых, во времени и, во-вторых, во взаимосвязи. Первая задача решается путем построения и обработки динамических (временных) рядов, которые представляют собой совокупности последовательно расположенных показателей, характеризующих изменение какого-либо явления во времени.

Вопрос 1. Цели, этапы и методы анализа временных рядов При изучении временных рядов ставятся следующие задачи: - краткое описание характерных особенностей ряда; - подбор статистических моделей, описывающих временной ряд; - предсказание будущих значений на основе прошлых наблюдений (прогноз); - управление процессом, порождающим временной ряд.

При практическим анализе временных рядов последовательно проходятся следующие этапы: - графическое представление и описание поведения временного ряда; - выделение и удаление закономерных составляющих временного ряда, зависящих от времени: тренда, сезонных и циклических составляющих; - выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса; - исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления перечисленных выше составляющих;

- построение математической модели для описания случайной составляющей; - прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом; - исследование взаимодействий между различными временными рядами.

Для решения указанных задач используются методы: - сглаживания и фильтрации; - модели скользящего среднего и регрессии; - экстраполяции и прогнозирование; - корреляционный анализ; - спектральный анализ.

Количество зарегистрированных умышленных убийств в Татарстане – интервальный ряд

Численность населения в Татарстане – моментный ряд

Вопрос 2. Детерминированный и случайный компоненты ряда При анализе временного ряда его видимую изменчивость разделяют на закономерную и случайную составляющие. Под закономерной (детерминированной) составляющей Yt временного ряда Y 1, Y 2, …, Yn понимается числовая последовательность D 1, D 2, …, Dm, элементы которой Dt вычисляются по определенному правилу как функция времени t. Если удается выявить закономерную составляющую в поведении временного ряда, то оставшаяся часть выглядит хаотично и непредсказуемо. Ее называют случайным компонентом и обозначают εt

Формы разложения временного ряда на детерминированный и случайный компоненты могут различаться. Аддитивной моделью временного ряда называется представление ряда в виде суммы детерминированного и случайного компонентов: Yt = Dt + εt Мультипликативной моделью временного ряда называется представление ряда в виде произведения детерминированного и случайного компонентов: Yt = Dt * εt

Вопрос 3. Тренд. Сезонный и циклический компоненты В детерминированном компоненте временного ряда Dt обычно выделяют три составляющие: - тренд TRt, - сезонный компонент St - циклический компонент Ct.

Тренд Анализ временного ряда обычно начинается с выделения именно этого компонента: его присутствие или отсутствие наглядно показывает график временного ряда. Трендом временного ряда TRt при t=1, 2, …, n называют плавно изменяющийся, не циклический компонент, описывающий чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно

Сезонный компонент отражает повторяемость процессов во времени. Сезонный компонент St временного ряда при t=1, 2, …, n описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели, дня и т. п. ). Он состоит из последовательности почти повторяющихся циклов. Сезонные эффекты присущи многим сферам человеческой активности: некоторые виды преступлений (кражи, изнасилования)

Циклический компонент - занимает промежуточное положение между закономерной и случайной составляющими временного ряда. Если: тренд – это плавное изменение, проявляющееся на больших временных промежутках; сезонный компонент – это периодическая функция времени, ясно видимая, когда ее период много меньше общего времени наблюдений; то под циклическим компонентом подразумевают изменения временного ряда, достаточно плавные и заметные для того, чтобы не включать их в случайную составляющую, и которые нельзя отнести ни к тренду, ни к сезонному, периодическому компоненту.

Вопрос 4. Обработка динамических рядов Числовые значения показателей динамического ряда называются уровнями ряда, которые могут быть выражены абсолютными показателями, относительными и средними величинами. В тех случаях, когда уровни выражены абсолютными показателями, различают интервальные и моментные ряды

Интервальным называется такой ряд, абсолютные уровни которого характеризуют величину изучаемого явления, полученную в итоге за определенный период времени. Моментным называется ряд, абсолютные уровни которого характеризуют величину явления по состоянию на определенный момент времени.

Таким образом, в интервальном ряду интервал – это промежуток времени, за который обобщены приводимые сведения, а в моментном ряду интервал – это промежуток времени между датами, на которые приведены сведения. В связи с этом значения показателей интервального ряда можно складывать. Значения показателей же моментного ряда складывать нельзя.

Простейшими характеристиками динамического ряда являются: - уровни ряда; - абсолютный прирост; - средний уровень ряда; - темп роста; - темп прироста

Абсолютный прирост

Средний уровень ряда - будучи обобщающим показателем для интервальных рядов и рядов средних величин, рассчитывается как среднее арифметическое из отдельных уровней

Задача Динамика зарегистрированных преступлений характеризуется следующими данными:

Расчет среднего уровня для моментных рядов

Формула расчета среднего уровня для моментных рядов (средняя хронологическая)

Темп роста - отношение данного уровня к сравниваемому. Это относительный показатель, выраженный в %; если этот показатель исчисляется в долях, то он называется коэффициентом роста

Темп прироста - это относительный показатель, характеризующий, на сколько процентов один уровень больше (или меньше) другого уровня. Он может быть получен путем вычитания 100% из темпа роста

Вопрос 5. Методы выравнивания динамических рядов Построение динамического ряда может сразу обнаружить тенденцию развития явления во времени. Но чаще всего уровни ряда на протяжении определенного времени колеблются за счет случайных и систематических, краткосрочных и долговременных факторов. Задача состоит в том, чтобы, отбросив случайные факторы, выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда. Эта задача решается путем применения методов выравнивания динамических рядов.

Эмпирические методы выравнивания динамических рядов Метод укрупнения интервалов:

Метод скользящей средней:

Аналитические методы обработки динамических рядов На основе фактических данных подбираются подходящие для отражения тенденций развития явления математические уравнения, по которым рассчитываются теоретические значения уровней ряда. Используя математические критерии сравнения, среди уравнений выбирается такое, которое наилучшим образом описывает экспериментальные данные

Простейшей математической формулой, выражающей тенденции развития, является формула прямой линии. Прямая линия характеризует равномерное изменение динамики. Выравнивание по прямой осуществляется методом наименьших квадратов. Этот метод обеспечивает минимальную разность между фактическими и теоретическими уровнями.

Выравнивание решает задачу выявления тенденции развития того или иного явления к настоящему моменту. Но при исследовании может возникнуть другая задача – как данное явление будет развиваться в будущем. Рассматриваемая задача может быть решена с помощью специальной обработки динамических рядов и сводится к нахождению уровней, лежащих за пределами данного динамического ряда. Указанный метод обработки динамических рядов получил название экстраполяции

Нахождение по известным значениям недостающих уровней внутри динамического ряда называется интерполяцией. Таким образом, экстраполяция и интерполяция – это распространение выводов, полученных из наблюдения над одной частью явления на другую его часть