Ряди. План. 1. Означення ряду, необхідна умова збіжності ряду. 2. Додатні ряди. Ознаки збіжності. 3. Знакопереміжні ряди. 4. Степеневі ряди.
1. Означення. Нехай задано нескінченну числову послідовність. Тоді вираз вигляду: називають числовим рядом, а числа: членами ряду. Суми: називають частинними сумами ряду. Ряд називають збіжним, якщо послідовність частинних сум
має границю для n→∞. Величину називають сумою ряду і записують: Якщо границя послідовності частинних сум не існує, або дорівнює ∞, ряд називають розбіжним. Необхідна умова збіжності ряду. Якщо числовий ряд збіжний, то його загальний член прямує до нуля, тобто.
2. Додатні ряди. Ознаки збіжності. Числовий ряд , у якого всі члени є невід’ємними називають додатнім рядом. 1. Ознака порівняння. Нехай задано два додатні ряди: і відомо, що Тоді із збіжності другого ряду випливає збіжність першого, а із розбіжності першого ряду - розбіжність другого ряду.
Ряди, які найчастіше використовують для порівняння: а) геометричний ряд - збіжний для розбіжний для. б) гармонічний ряд - розбіжний; в) узагальнений гармонічний ряд збіжний для , розбіжний для. 2. Ознака Даламбера. Нехай для додатного ряду існує границя. Тоді: а) якщо r<1 ряд є збіжний; б) якщо r>1 -розбіжний (для r=1 потрібно інші ознаки збіжності)
3. Інтегральна ознака Коші. Нехай члени додатного ряду є значеннями для x=1, 2, …, n. деякої додатної, неперервної, спадної функції на проміжку , тобто: . Тоді 1) якщо збіжний, то вихідний ряд збіжний. 2) якщо розбіжний, то вихідний ряд розбіжний.
Приклад 1.
Приклад 2.
Приклад 3.
Скачать презентацию Ряди План 1 Означення ряду необхідна умова збіжності
Ряди.pptx