РОЗДІЛ 4 Диференціальне числення функції однієї змінної Лекція

РОЗДІЛ 4 Диференціальне числення функції однієї змінної Лекція 12 Тема. Похідна функції однієї змінної. 1. Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної. Диференційовність та неперервність функції. Задача продуктивність праці. Нехай функція виражає кількість випущеної продукції за час . Потрібно знайти продуктивність праці в момент часу .

За період часу від до кількість випущеної продукції зміниться від значення до значення , тоді середня продуктивність праці за цей період часу. Миттєва продуктивність праці у момент часу можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від до при , тобто Означення 1. Дотичною до графіка функції в точці називається граничне положення січної, яка проходить через точку та довільну точку графіка за умови, що прямує вздовж графіка до.

Кутовий коефіцієнт січної. Якщо , то Одержана границя характеризує швидкість зміни функції по відношенню до зміни аргументу. Розв’язуючи різні задачі, ми приходимо до границі одного вигляду. Ця границя відіграє важливу роль в математичному аналізі і є основним поняттям диференціального числення. Нехай задана функція , визначена на проміжку Х. Розглянемо точку. Надамо аргументу х приросту , тоді функція отримає приріст

Означення 2. Похідною функції в даній точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля довільними чином, тобто Позначають: Зауваження. Довільне прямування до нуля в означенні істотне, бо відповідні границі зліва і справа від можуть бути різними. Означення 3. Функцію, яка має скінчену похідну в даній точці, називають диференційовною в цій точці.

Функцію, диференційовану в кожній точці інтервалу, називають диференційовною на інтервалі. Теорема 1. Якщо функція диференційована в точці , то в цій точці вона неперервна. Наслідок 1. Якщо функція має похідну в кожній точці інтервалу , то вона неперервна в цьому інтервалі. Цю властивість можна використати для наближеного обчислення функції.

Наслідок 2. Якщо функція розривна в деякій точці, то вона не має похідної у цій точці. Таким чином, необхідною умовою диференційовності функції у точці х є її неперервність у цій точці.

2. Правила диференціювання функцій. Таблиця похідних. Теорема 2. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо , де , то. Теорема 3. Похідна алгебраїчної суми скінченої кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій. Для двох функцій і можна записати Теорема 4. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну від другого плюс добуток другого множника на похідну від першого:

Теорема 5. Сталий множник можна виносити за знак похідної. Теорема 6. Якщо чисельник і знаменник дробу – диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різниця добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат знаменника початкового дробу:

Зауваження. Похідну від функції , де зручно обчислювати як похідну від добутку величини 1/с на функцію : ,

Таблиця похідних 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8. 16. 9. 17. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Геометричний зміст похідної. Похідна функції в точці - це тангенс кута нахилу дотичної до додатного напряму осі Ох, або , де - кутовий коефіцієнт дотичної. Розглянемо рівняння дотичної і нормалі до графіка функції у точці.

Оскільки дотичної , то дістанемо рівняння , або Означення 4. Нормаллю до графіка функції в точці називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці. Використовуючи перпендикулярність дотичної та нормалі, знаходимо кутовий коефіцієнт нормалі і записуємо її рівняння у вигляді:

Зауваження. Якщо в деякій точці похідна дорівнює нулю , то дотична до графіка функції в цій точці паралельна віссі , а якщо похідна перетворюється в нескінченність , то це означає, що дотична в цій точці паралельна осі.

3. Похідна складної і оберненої функції. Похідна складної функції. Якщо аргументом функції в свою чергу є функція, тобто , де , то функція називається складною. Функція називається зовнішньою, а функція внутрішньою, або проміжним аргументом. Для знаходження похідної складних функцій необхідно вміти їх подати у вигляді ланцюга елементарних функцій.

Теорема 7. Якщо , диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює добутку похідної зовнішньої функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною Похідна оберненої функції. Розглянемо функцію - диференційовану і строго монотонну на деякому проміжку. Якщо змінну у розглядати як аргумент, а змінну х як функцію, то нова функція є оберненою до даної і неперервною на відповідному проміжку

Теорема 8. Для диференційовної функції з похідною, що не дорівнює нулю, похідна оберненої функції дорівнює оберненій величині похідної даної функції. Приклад 4. Знайти похідну . Область визначення функцій , тому Обернена функція , тому За теоремою про похідну оберненої функції маємо тобто

Лекція 13 Тема. Диференціювання функцій заданих неявно, параметрично та степеневопоказникових. 1. Диференціювання параметрично заданих функцій. Означення 1. Функція, задана у вигляді де є параметрично заданою. Часто при заданні функцій х та у виражаються через деяку третю величину параметром. , що називається

Наприклад, якщо еліпс , то параметричне рівняння еліпса. Ту саму функцію параметрично можна задати різними способами, але зміст буде іншим. Теорема 1. Якщо функція у від х задана параметрично , де диференційовні функції, і і , то похідна цієї функції Приклад 1. Знайти похідну функції

Розв’язання.

2. Диференціювання неявно заданих функцій. Означення 2. Функція у від аргументу задана неявно, якщо вона записана рівнянням , нерозв’язаним відносно залежної змінної у. Наприклад, Для обчислення похідної неявно заданої функції необхідно знайти похідну лівої і правої частини за відомими правилами і таблицею похідних. При цьому необхідно пам’ятати, що х – незалежна змінна, а у – функція від х, тому

Алгоритм диференціювання неявно заданих функцій. 1. Продиференціювати по х, розглядаючи ліву частину як складну функцію х. 2. Розв’язати одержане рівняння відносно . Приклад 2. Знайти похідну неявно заданої функції Розв’язання.

3. Похідна степенево-показникових функцій. Означення 3. Степенево-показниковою функцією називають функцію виду Алгоритм диференціювання степеневопоказникової функції. 1. Прологарифмувати дану функцію за основою е: 2. Продиференціювати обидві частини рівності, враховуючи, що і - складні функції: 3. З останньої рівності визначити похідну функції у, враховуючи, що

Приклад 3. Знайти похідну функції Розв’язання.

4. Похідні вищих порядків. До цього часу ми розглядали похідну від функції , яку називали похідною першого порядку. Але похідна сама є функцією, яка теж може мати похідну. Похідною n - го порядку називається похідна від похідної - го порядку. Позначаються похідні - другого порядку (або друга похідна), - третього порядку (або третя похідна). Для позначення похідних більш високого порядку використовують арабські цифри в дужках, наприклад