РОЗДІЛ 3 Вступ до математичного аналізу Лекція 9

РОЗДІЛ 3 Вступ до математичного аналізу Лекція 9 Тема. Границя числової послідовності та функції. 1. Поняття числової послідовності. Означення 1. Якщо кожному натуральному числу n є N за певним правилом ставиться у відповідність число хn , то множину чисел називають числовою послідовністю і позначають символом.

Окремі числа називають членами числової послідовності: - перший член, другий, - n-й або загальний член послідовності. Очевидно, що довільна функція , задана на множині натуральних чисел N, визначає деяку числову послідовність , якщо. Останню рівність називають формулою n-го члена числової послідовності. Означення 2. Послідовність називається зростаючою (неспадною), якщо для будь-якого n виконується нерівність ( ). Послідовність називається спадною (незростаючою), якщо для будь-якого n виконується нерівність ( ). Усі такі послідовності називаються монотонними.

Означення 3. Послідовність називається обмеженою, якщо існують такі числа m та , що для всіх n виконується нерівність. 2. Границя числової послідовності. Означення 4. Число а називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого числа (яке б мале воно не було), існує номер такий, що для всіх номерів виконується нерівність. Позначають або при.

Геометрична інтерпретація границі послідовності. Нерівність рівносильна нерівності , яка показує, що елемент знаходиться в – околі точки а, тому означення границі можна сформулювати інакше. Означення 5. Число а називається границею послідовності , якщо, для будь-якого – околу точки а існує номер N такий, що, починаючи з номера , усі члени послідовності попадають в цей окіл (рис. 1).

Рис. 1 Послідовність, яка має границю, називають збіжною, а послідовність, що не має границю, називають розбіжною. х1 х3 хn+1 хn+2 хn х2

Основні властивості границі послідовності n n Теорема Вейєрштрасса. Якщо послідовність монотонна й обмежена, то вона має границю. Якщо послідовність збіжна, то вона має тільки одну границю. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена. Якщо послідовності збіжні, то , , , якщо .

3. Границя функції Означення 6. Нехай функція визначена на проміжку. Число А називається границею функції при , якщо для будь-якого малого існує таке додатнє число , що для всіх х таких, що , виконується нерівність. Позначають.

Геометричний зміст означення границі функції при. При достатньо великих за модулем значеннях х значення функції мало (менше ніж на ) відрізняються від числа А (рис. 2), тобто відповідні точки графіка функції лежать у смузі обмеженій прямими.

y y=f(x) A+ A A- –M M х

Означення 7. Число А називається границею функції в точці , якщо для будь-якого малого числа існує число таке, що при всіх х, що задовольняють нерівність , виконується нерівність. Позначають . Зауваження. Означення границі не вимагає існування функції в точці , тобто , але.

Геометричний зміст означення границі функції в точці . За заданим – околом числа А існує –окіл числа такий, що для всіх відповідні значення функції , тобто лежать у смузі шириною (рис. 3).

Рис. 3 y y=f(x) A+ A A- х Рис. 3.

Означення 8. Якщо функція має границею число при , то число називають границею функції зліва (лівосторонньою границею) і позначають. Означення 9. Якщо число є границею функції при , то число називають границею функції справа (правосторонньою границею) і позначають. Для існування границі А функції в точці необхідно і достатньо, щоб існували в цій точці границі функції зліва та справа і щоб вони були рівні, тобто.

4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції. Означення 10. Функція нескінченно малою при ( ). називається , якщо

Властивості нескінченно малих функцій. n. Алгебраїчна сума скінченого числа нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція. n. Добуток нескінченно малої функції на сталу величину, або на обмежену функцію, чи на іншу нескінченно малу функцію є нескінченно мала функція. n. Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю, є нескінченно мала функція. Означення 11. Функція називається нескінченно великою при , якщо , тобто для існує таке, що для всіх х таких, що виконується нерівність.

Властивості нескінченно великих функцій. n. Сума скінченого числа нескінченно великих функцій є нескінченно велика функція. n. Добуток нескінченно великої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю (стала, обмежена, інша нескінченно велика функція) є нескінченно велика функція. n. Частка від ділення нескінченно великої функції на функцію, що має границю в точці , є нескінченно велика функція.

5. Зв’язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями. Теорема 1. Якщо – нескінченно мала функція в точці , то - нескінченно велика в точці , і навпаки, якщо - нескінченно велика функція в точці , то – нескінченно мала в точці.

Приклад 1. Функція є нескінченно мала при , бо , тому функція при є нескінченно великою і. 2. Функція , бо є нескінченно велика при , тому функція при є нескінченно малою і . ,

6. Зв’язок між нескінченно малою функцією та границею функції. Теорема 2. Функція має границю А в точці тоді і тільки тоді, коли її можна подати у вигляді суми числа А і нескінченно малої функції при , тобто.

7. Порівняння нескінченно малих функцій. Означення 12. Якщо нескінченно малі функції в точці і , то функції і називаються еквівалентними нескінченно малими функціями і позначають при. і

Ланцюжок еквівалентних нескінченно малих функцій. Якщо , де Якщо , то

Ланцюжок еквівалентних нескінченно малих функцій застосовується при обчисленні границь функцій, про що свідчить наступна теорема, яку ми наводимо без доведення. Теорема 3. Якщо при і при , то.