Розділ 2 ЕЛЕКТРОСТАТИКА LOGO 1 LOGO Зміст

Розділ 2. ЕЛЕКТРОСТАТИКА LOGO 1

LOGO Зміст 2. 1. Закон взаємодії електричних зарядів 2. 2. Основні характеристики електричного поля 2. 3. Закон Гауса 2. 3. 1. Закон Гауса в інтегральній формі 2. 3. 2. Закон Гауса в диференціальній формі 2. 3. 3. Перетворення (теорема) Гауса-Остроградського 2. 4. Робота сил та потенціал електростатичного поля 2. 5. Еквіпотенціальні поверхні. Градієнт потенціалу 2. 6. Рівняння Пуассона та Лапласа 2. 7. Граничні умови електростатики 2. 7. 1. Нормальні складники векторів та 2. 7. 2. Тангенціальні складники векторів та 2. 7. 3. Граничні умови для потенціалу 2. 7. 4. Граничні умови на поверхні ідеального провідника 2. 8. Поняття електричної ємності. електростатичного поля 2. 9. Висновки 2. 10. Контрольні питання та завдання Енергія 2

2. 1 Закон взаємодії електричних зарядів LOGO Із повсякденної практики відомо, що наелектризовані тіла взаємодіють між собою. Явище взаємодії електричних зарядів відкрив у 1773 р. Генріх Кавендіш, але його результати були невідомі протягом майже 100 років. В 1785 р. Шарль Августін Кулон незалежно від Кавендіша відкрив та опублікував експериментальний закон, який описує взаємодію нескінченно малих заряджених тіл – точкових електричних зарядів і відтоді носить його ім’я. Два нерухомих точкових електричних заряда та взаємодіють один з одним із силою, яка направлена вздовж прямої, що з’єднує ці заряди де коефіцієнт пропорційності Рисунок 2. 1 – Взаємодія електричних зарядів: а – одного знаку, б – різних знаків 3

2. 2 Основні характеристики електричного поля LOGO v 2. 2. Основні характеристики електричного поля v На підставі закону Кулона встановлено, що один або декілька зарядів, які розташовано будь-яким чином у деякому об’ємі, спричинюють у просторі електричне поле. Нерухомі та незмінні у часі електричні заряди, які існують у деякій області простору створюють електростатичне поле. Якщо в це поле внести пробний точковий заряд , то на нього впливає сила, яка дорівнює рівнодійний усіх сил від кожного з цих зарядів. Необхідно визначити це поле, як поле електричної природи. Тому введено поняття – напруженість електричного поля. v Тобто напруженість електричного поля – це характеристика силової дії поля на пробний точковий заряд , якщо припустити, що внесення його у поле не впливає безпосередньо на розташування, зарядів які створюють це поле. E = [В/м] = [Н/Кл]. 4

. LOGO v Напруженість електричного поля залежить від середовища, що характеризує діелектрична проникність ( ), тобто на межі середовищ з різними значеннями , функція напруженості поля має розрив. Для зручності деяких розрахунків доцільно застосовувати іншу характеристику поля – вектор електричного зміщення, який також характеризує електричне поле, але не залежить безпосередньо від параметра середовища 5

LOGO v Для однорідного лінійного ізотропного середовища (середовища, фізичні властивості яких у будь-якій точці однакові в усіх напрямках, називають ізотропними) та монохромного поля вектор поляризованості речовини дорівнює: v де – відносна діелектрична сприйнятливість. v Діелектрична сприйнятливість – це величина, яка характеризує здатність діелектриків поляризуватися в електричному полі, що є скалярною для ізотропної речовини і яку визначають як відношення модуля поляризованості до модуля напруженості електричного поля, та тензорною для анізотропної речовини. 6

LOGO v Визначимо вектор електричного зміщення із урахуванням поляризованості: де – абсолютна діелектрична проникність, – відносна діелектрична сприйнятливість, – відносна діелектрична проникність. – діелектрична проникність у вакуумі (електрична стала). Таким чином, абсолютна діелектрична проникність – це величина, яка характеризує діелектричні властивості матеріалу діелектрика, яка є скалярною для ізотропної речовини і дорівнює відношенню модуля електричного зміщення до модуля напруженості електричного поля, та тензорною – для анізотропної речовини, тобто – це перше матеріальне рівняння: 7

LOGO v Параметр характеризує діелектричне середовище. За станом змінення параметрів, середовище можна класифікувати як: однорідне або неоднорідне (властивості середовища можуть змінюватись від точки до точки – неоднорідне середовище, або бути незмінними – однорідне середовище); ізотропне або анізотропне; лінійне або нелінійне (якщо між значеннями величин, що характеризують зовнішній вплив на середовище, які спричиняють його зміну, існує зв’язок). v Поле може бути гармонічним – величина, яка характеризує поле має одну гармоніку (монохромним), або може мати багато гармонік, його характеризують спектральною густиною. v Для монохромного поля та неоднорідного лінійного ізотропного середовища діелектрична проникність у загальному випадку є функція узагальнених криволінійних координат : 8

LOGO v Для монохромного поля та однорідного нелінійного ізотропного середовища діелектрична проникність залежить від значення параметра поля, тобто : Для монохромного поля та однорідного лінійного анізотропного середовища маємо У скороченій формі: Запровадження вектора електричного зміщення доцільне також для дослідження поля в неоднорідних середовищах. 9

LOGO v Нехай маємо поле точкового заряду, розрахуємо умовну кількість силових ліній, що перетинає деяку поверхню радіусом з центром у точці розташування джерела. Кількість силових ліній, які перетинають деяку поверхню, визначає потік векторного поля. v Стосовно сфери потік вектора 10

LOGO 2. 3 Закон Гаусса 2. 3. 1. Закон Гаусса в інтегральній формі Рисунок 2. 3 – Приклад орієнтації векторів та. Міра тілесного кута – співвідношення площі елемента сферичної поверхні до квадрату відстані з урахуванням орієнтації. Рисунок 2. 4. До визначення поняття тілесний кут 11

LOGO v Нехай вектор , який створено зарядом , перетинає нескінченно малу площину – плаский елемент поверхні, зорієнтований у просторі. Тобто ця площина має дві характеристики: значення та напрям, як векторна величина, тому має назву векторплощадка. Вектор – перпендикулярний до поверхні, а його значення чисельно дорівнює. v Орієнтація площини у просторі ( яку характеризує вектор-площадка) є принципово-важливим фактором під час аналізу векторних величин. 12

LOGO - закон Гаусса в інтегральній формі Закон Гаусса в інтегральній формі свідчить, що потік вектора електричного зміщення через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, які розташовані всередині об’єму, обмеженого цією поверхнею. За цією формулою можна розв’язувати пряму задачу електродинаміки – за відомими кількістю і значеннями зарядів можна визначити характеристики поля та . 13

LOGO 2. 3. 2. Закон Гауса в диференціальній формі Рисунок 2. 5 – Визначення закону Гаусса в диференціальній формі. Модель елемента простору в електричному полі 14

LOGO v Визначимо будь-яку точку (x, y, z) у просторі, в якому є електричне поле. Значення вектора у точці складено з компонентів: v Отже, маємо замкнену поверхню, за формою елементарного кубу з центром у точці із сторонами довжиною , та застосуємо закон Гаусса, тобто визначимо потік вектора крізь цей куб за формулою : v Для визначення цього інтегралу треба розкласти його на шість складників – відповідно кожній поверхні куба: 15

LOGO Оскільки елемент поверхні дуже малий, значення модуля вектора на ньому можна вважати незмінним і тоді: де потрібно визначити на цій поверхні куба, , 1234. Ця поверхня є на відстані х від точки, тому де – значення в точці ; частинна похідна визначає змінення значення вздовж осі . 16

LOGO v Додамо інтеграли (1234) та (5678), й отримаємо: (1) (2) (3) Об’єднанням формул (1)…(2) (за всіма поверхнями) маємо: 17

LOGO v Таким чином, застосовано закон Гауса для обмеженого простору – елементарного об’єму . У результаті маємо формулу, яка показує, що заряд, зосереджений в об’ємі, дорівнює: v Зауважимо, що операція змінює одиницю вимірювання відповідної функції на м-1 (до речі, теж саме притаманне операціям та ). v Із застосуванням оператора Гамільтона – «набла» – 18

LOGO v Якщо врахувати, що потоку можна приписати алгебраїчний знак, то немає необхідності враховувати вхідний та вихідний потоки окремо, все буде автоматично враховано при підсумовуванні з урахуванням знака. Тому можна дати більш коротке визначення дивергенції : v Дивергенція - це лінійний диференційний оператор на векторному полі, що характеризує потік даного поля через поверхню досить малої (в умовах конкретного завдання) околиці кожної внутрішньої точки області визначення поля. 19

2. 3. 3 Перетворення (теорема) Гауса. Остроградського LOGO . З’ясуємо взаємозв’язок сумарного заряду в об’ємі з об’ємною густиною зарядів. Починаємо із визначення заряду з відомих формул (2. 19): (2. 3 -24) та (2. 36) Тоді з урахуванням (2. 35) маємо: (2. 37) Це співвідношення отримало назву перетворення (теорема) Гаусса. Остроградського – потік вектора через замкнену поверхню дорівнює інтегралу від дивергенції цього вектора, за об’ємом, обмеженим цією поверхнею. Тобто воно пов’язує об’ємний інтеграл з поверхневим і дозволяє змінювати порядок інтегрування. 20

. . 2. 4. Робота сил та потенціал електростатичного поля LOGO . З’ясуємо ситуацію таку, що в електростатичному полі точкового заряду в деякому просторі переміщується пробний заряд за траєкторією (рис. 2. 6). Рисунок 2. 7 – Замкнутий контур переміщення заряду в полі Рисунок 2. 6 – Траєкторія руху заряду Робота сил електростатичного поля не залежить від форми траєкторії, а визначена найкоротшою відстанню між початковою та кінцевими точками. Сили, робота яких не залежить від траєкторії, називають консервативними. Це важливе співвідношення свідчить про те, що напруженість електричного поля можна визначити як градієнт скалярної величини – потенціала . Пояснимо, що знак “–” має фізичний зміст, бо напрями векторів та grad – протилежні (див. рис. 2. 8). З формули (2. 48) випливає, що за відомим значенням потенціалу можна розв’язати пряму задачу електростатики, якщо відомий зв’язок між потенціалом та густиною заряду. Цей зв’язок отримаємо із розв’язку рівняння Пуассона. 21

. . 2. 5. Еквіпотенціальні поверхні. Градієнт потенціалу LOGO Градієнт потенціалу - це вектор, який характеризує ступінь змінення скалярної величини та направлений у бік її зростання (за нормаллю до відповідної поверхні). Рисунок 2. 8 - Визначення градієнта потенціалу Це важливе співвідношення свідчить про те, що електричне поле вектора можна визначити як градієнт скалярної величини – потенціала . З формули (2. 5 -9) випливає, що за відомим значенням потенціалу можна розв’язати пряму задачу електростатики, якщо відомий зв'язок між потенціалом та густиною заряду. Цей зв'язок отримаємо із розв'язку рівняння Пуассона. 22

2. 6. Рівняння Пуассона та Лапласа LOGO Нагадаємо закон Гауса в диференціальній формі З використанням оператора Гамільтона узагальнено запишемо - рівняння Пуассона Математичний розв’язок цього рівняння: 23

LOGO Після інтегрування рівняння Пуассона отримаємо: Якщо в деякому об’ємі заряди відсутні, то: - рівняння Лапласа Розв’язок рівняння Лапласа визначають як добуток функцій однієї змінної 24

: . . 2. 7. Граничні умови електростатики LOGO На рис. 2. 9 наведено приклад представлення довільного вектора двома складниками: нормальним та тангенціальним стосовно границі вздовж осі х. Рисунок 2. 9 – Вектор та його проекції , . Аналогічно на межі поділу двох середовищ з різними значеннями діелектричної проникності ( 1 та 2) вектори, які описують електричне поле та можуть бути представлені двома складниками: нормальним (проекцією на нормаль до границі вздовж осі y) тангенціальним, або дотичним складником (проекція на границю розподілу 25 вздовж осі у).

: : 2. 7. 1. Нормальні складники векторів та LOGO Щоб визначити нормальний складник зручним є вибір вектора як такого, що характеризує потік, який пронизує межу поділу. Рисунок 2. 10 – До визначення нормальних складників електричного поля Відповідно до закону Гауса в інтегральній формі маємо визначення потоку вектора , який дорівнює сумарному заряду в об’ємі, обмеженому поверхнею S: Розглянемо циліндр з поперечним перерізом , верхньою та нижньою основами. Відносно циліндра потік вектора – це сума потоків крізь верхню, нижню та бічну поверхні. 26

LOGO У зв’язку з тим, що заряд зосереджено на поверхні, висоту циліндра можна змінювати без спотворення загального результату. За умови зменшення висоти до нуля маємо: Перший доданок характеризує стан поля у першому середовищі, а другий – у другому. Зменшуємо площу так, щоб можна було вважати, що в кожній точці цієї поверхні. Тоді: або 27

LOGO Перший доданок – нормальний складник у першому середовищі а другий – у другому. Зауважимо, що протилежні за напрямками до та однакові за модулем Тоді граничні умови нормального складника вектора : тобто нормальний складник вектора за наявності поверхневого заряду зазнає стрибок. Стосовно складників вектора , маємо: В окремому випадку, якщо поверхневий заряд відсутній Отже, нормальний складник вектора напруженості електричного поля змінюється стрибком. 28

. . 2. 7. 2. Тангенціальні складники векторів та Для визначення тангенціального складника зручним є вибір вектора як такого, що характеризує циркуляцію вздовж границі поділу. LOGO , Рисунок 2. 11 – До визначення тангенціальних складників електричного поля Якщо наближати контур до межі середовищ, то інтеграли дорівнюють нулю. Тоді 29

LOGO Перший доданок характеризує перше середовищі, другий – друге. Сторони ab та cd – нескінченно малі величини й дорівнюють , тому можна вважати, що значення однакові, тоді: З урахуванням та напрямків обходу контуру, отримаємо: З урахуванням, що ab=cd та після скорочення, маємо: Стосовно складників вектора маємо: 30

2. 7. 3. Граничні умови для потенціалу LOGO Розглянемо граничні умови для потенціалу електростатичного поля. Згадаємо співвідношення , , яке стосовно площини ділянки границі, в прямокутній системі координат представимо таким чином: Оберемо координати таким чином, що вісь х спрямовано вздовж межі двох середовищ, а вісь у – співпадає з напрямком нормалі до межі. Тоді отримаємо: 31

LOGO Рис. 2. 12 Складники вектора на межі двох середовищ На межі розподілу середовищ для y=0: 32

LOGO З останнього рівняння та на підставі граничних умов для тангенціальних складників вектора , який подано як функцію потенціалу , отримаємо: 33

2. 7. 4. Граничні умови на поверхні ідеального LOGO провідника Отже ідеальний провідник має достатню кількість зарядів, щоб компенсувати зовнішнє поле у межах всього об’єму провідника. Тому сумарне поле всередині ідеального провідника дорівнює нулю. Для тангенціальних складників маємо рівність: 34

2. 8. Поняття електричної ємності. Енергія електростатичного поля LOGO Нагадаємо, який компонент електричного кола може накопичувати електричну енергію. Цей елемент – конденсатор. Відомо, що основним функціональним параметром конденсатора є електрична ємність. Для кожного відокремленого провідника відношення заряду до потенціалу є сталою величиною і має назву: електрична ємність (далі ємність). Тобто ємність визначають як відношення накопиченого в конденсаторі заряду до прикладеної до нього напруги (різниці потенціалів ): За одиницю ємності прийнято ємність конденсатора, в якому накопичено заряд 1 Кл за умови, що до його обкладинок прикладино напругу 1 В. Ця одиниця має назву фарад [Ф]: 1 Ф=1 Кл/1 В. Перетворимо формулу, з урахуванням формул для ємності конденсатора з відстанню між пластинами d, та різниці потенціалів між його обкладинками 35

LOGO Відповідно електрична енергія зарядженого конденсатора дорівнює роботі, яку необхідно виконати, щоб його зарядити: З урахуванням першого матеріального рівняння маємо рівність: Електрична енергія може накопичуватись не лише в конденсаторі, який застосовують під час розв’язку різних інженерних задач. Таким чином, будьякі провідники, розміщені близько один від одного, контакти тощо, мають електричну ємність, тобто здатні накопичувати електричну енергію та впливати на процеси в електричних колах, на що треба звертати увагу під час 36 розрахунків та проектуванні електричних пристроїв та приладів.

2. 9. Висновки LOGO 37

LOGO 38

2. 10. Контрольні питання та завдання LOGO 1. Поясніть сутність закону Кулона, як прояву електричного поля. 2. Порівняйте силу взаємодії двох електронів: електричну, механічну. 3. Сформулюйте сутність та наведіть визначення напруженості як силової характеристики електричного поля; обґрунтуйте одиниці вимірювання. 4. Поясніть сутність та наведіть визначення вектора електричного зміщення. 5. Наведіть основні дескриптори електричного поля. 6. Поясніть сутність понять: поляризованість та діелектрична сприйнятливість. 7. Поясніть необхідність застосування поняття тензор. 8. Поясніть сутність фізичного та математичного поняття потік. 9. Сформулюйте сутність закону Гауса в інтегральній формі. 10. Виведіть формулу для закону Гауса в диференціальній формі. 11. Поясніть фізичну сутність поняття дивергенція. 12. Доведіть теорему (перетворення) Гауса-Остроградського. 13. Опишіть роботу сил під час руху електричного заряду в електричному полі. 14. Обґрунтуйте співвідношення інтегральне та диференціальне між напруженістю електричного поля та потенціалом. 15. Наведіть сутність понять градієнт, потенціал та еквіпотенціальна поверхня. 16. Сформулюйте рівняння Пуассона та наведіть його розв’язок. 17. Поясніть сутність граничних умов електростатики. 18. Обґрунтуйте співвідношення для нормальних складників векторів електричного поля. 19. Обґрунтуйте співвідношення для тангенціальних складників векторів електричного поля. 20. Поясніть граничні умові для векторів електричного поля, якщо одне середовище – ідеальний провідник. 21. Поясніть граничні умови для потенціалу. 22. Поясніть сутність поняття електрична ємність. 23. Виведіть формулу для ємності плаского конденсатора. 39 24. Виведіть формулу для питомої та повної енергії електричного поля.